辽宁省部分名校2024-2025学年高二上学期10月联合质量检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份辽宁省部分名校2024-2025学年高二上学期10月联合质量检测数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知几何体为长方体，则，在空间直角坐标系中，，，，，则等内容，欢迎下载使用。

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第四册第十一章，选择性必修第一册第一章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.十三棱锥的顶点的个数为
A.13B.14C.20D.26
2.已知空间向量，.若，则
A.12B.10C.-10D.-12
3.已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是
A.，，B.，，
C.，，D.，，
4.在空间直角坐标系中，已知，，为整数，则的最小值为
A.3B.4C.5D.6
5.某三棱锥的体积为，表面积为，则该三棱锥的内切球的直径为
A.B.C.D.
6.已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为
A.B.C.D.
7.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为.若正四棱锥的侧面与底面所成角的正切值为，则四棱锥在顶点处的曲率为
A.B.C.D.
8.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为
A.1B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知几何体为长方体，则
A.在方向上的投影向量为
B.在方向上的投影向量为
C.在方向上的投影向量为
D.在方向上的投影向量为
10.在空间直角坐标系中，，，，，则
A.点在平面内B.四面体为正四面体
C.点到直线的距离为D.点到平面的距离为
11.如图，现有一个底面直径为，高为的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为，忽略容器的厚度，则
A.此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为
B.容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为
C.当容器内液体的高度增加时，需要增加的液体的体积为
D.当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，容器内液体的高度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12若空间向量，若则_____.
13.已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为_____，球的表面积为__________.
14.在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且.
（1）证明：平面.
（2）证明：平面平面.
16.（15分）
在正四棱台中，.
（1）若，四棱台的体积为，求该四棱台的高；
（2）若，求的值.
17.（15分）
如图，在四棱锥中，底面，平面，.
（1）证明：平面平面.
（2）若，，且异面直线与所成角的正切值为，求平面与平面所成二面角的正弦值.
18.（17分）
如图，在正方体中，，.
（1）当取得最小值时，求与的值.
（2）设与平面所成的角为.
①若，求的值；
②证明：存在常数，使得为定值，并求该定值.
19.（17分）
空间向量的叉乘是三维欧几里得空间中定义的一种新运算，它可以用来描述空间向量之间的垂直关系.设空间向量，，则叉乘的运算公式为
（1）证明：.
（2）设，，是平面内不共线的三个不同的点.
①证明：是平面的一个法向量.
②说明的几何意义（即说明的长度与方向的几何意义）.
高二考试数学试卷参考答案
1.B 十三棱锥的顶点的个数为.
2.A 依题意得，解得，，.
3.C ，A错误.，B错误.易得，，三个向量不共面，C正确.，D错误.
4.C ，当时，为增函数，所以，因为为整数，所以的最小值为.
5.B 设该三棱锥的体积为，表面积为，该三棱锥的内切球的半径为，
则，所以，故该三棱锥的内切球的直径为.
6.D 设与的夹角为，由，得，两边同时平方得，所以1，解得，又，所以.
7.D 如图，连接,，设，连接，则平面.取的中点，连接，，则为侧面与底面所成的角.
设，则，
在中，，
所以，又，所以，
所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形，
所以顶点的每个面角均为，故正四棱锥在顶点处的曲率为.
8.A 因为，所以.
因为，，，所以.
因为，，，四点共面，所以，即.
因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为1.
9.AC 在长方体中，因为平面，所以，所以A正确，B错误.因为，，所以C正确，D错误.
10.ABD 因为，所以为线段的中点，所以点在平面内，A正确.
因为，所以四面体为正四面体，B正确.
因为点到直线的距离为，且为线段的中点，所以点到直线的距离为，C错误.
设平面的法向量为，则令，得，
因为，所以点到平面的距离为，D正确.
11.BCD 此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为，A错误.
设容器内液体倒去一半后液体的高度为，则，解得，B正确.
因为，，所以当容器内液体的高度增加时，需要增加的液体的体积为，C正确.
当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，设容器内液体的高度为，体积，则，，D正确.
12. -2 依题意得，解得.
13.4；设球的半径为，由正弦定理得，则，则点到平面的距离的最大值为4，球的表面积为.
14. 连接，，设，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，
，，.
设与，都垂直的向量为，
则，即
令，得，
则线段的长度的最小值为.
15.证明：（1）连接，则为的中点.
因为为棱的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为，分别为，的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
因为点在棱上，且，所以，
由题意易得，则，
因为平面，平面，所以平面.
因为平面，平面，，所以平面平面.
16.解：（1）设该正四棱台的高为，则，
解得.
（2）在正四棱台中，底面与底面均为正方形，且对应边互相平行，
所以，，
过作，垂足为（图略），易得，所以，
所以.
故.
17.（1）证明：底面，.
，，平面.
平面，平面平面，，
平面.
又平面，平面平面.
（2）解：，直线与直线所成的角为.
底面，，，即.
设为2个单位长度，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.
设平面的法向量为，则
取，则，，得.
易知平面的一个法向量为，
则.
故平面与平面所成二面角的正弦值为.
18.（1）解：以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.
，，
，
所以，
当时，取得最小值，
此时.因为，
所以.
（2）①解：，设平面的法向量为，则即
令，得.
因为，所以.
因为，所以，又，所以.
②证明：由①知，
则，，
所以，
所以存在常数，使得为定值，
且该定值为2.
19.（1）证明：因为，
所以
，
所以.
（2）①证明：设，，
则，
所以，
，
所以，，所以是平面的一个法向量.
②解：设，，则，
.
，
，
所以，
所以.，
所以的几何意义为等于以，为邻边所作的平行四边形的面积，
且的方向与平面垂直.