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高一上学期第一次月考数学试卷（提高篇）-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）
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一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（23-24高一上·重庆·期中）下面命题正确的是（ ）
A．已知x∈R，则“x>1”是“1x<1”的充要条件
B．命题“若∃x0≥1，使得x02<2”的否定是“∀x<1,x2≥2”
C．已知x,y∈R，则“x+y>0”是“x>0”的既不充分也不必要条件
D．已知a,b∈R，则“a−3b=0”是“ab=3”的必要不充分条件
【解题思路】利用充分不必要条件的定义判断A；利用存在量词命题的否定判断B；利用既不充分也不必要定义判断C；利用必要不充分条件的定义判断D.
【解答过程】对于A，当1x<1时，x<0或x>1，故x>1能推出1x<1，但1x<1不能推出x>1，
所以“x>1”是“1x<1”的充分不必要条件，错误；
对于B，由存在量词命题的否定为全称量词命题知：
命题“若∃x0≥1，使得x02<2”的否定是“∀x≥1,x2≥2”，错误；
对于C，由x+y>0得x≠0或y≠0，故x+y>0推不出x>0，
但是当x>0时，x+y≥x+0=x>0一定成立，即x>0能推出x+y>0，
所以“x+y>0”是“x>0”的必要不充分条件，错误；
对于D，已知a,b∈R，当a=b=0时，满足a−3b=0，但是不满足ab=3，
反之，当ab=3时，则a=3b，即a−3b=0，
所以“a−3b=0”是“ab=3”的必要不充分条件，正确.
故选：D.
2．（5分）（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）若M=x∣x=a2+b,a∈Z,b∈Z，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①13−22∈M；
②Z⊆M；
③若x1,x2∈M，则x1+x2∈M；
④若x1,x2∈M且x2≠0，则x1x2∈M；
⑤存在x∈M且x∉Z，满足x−2022∈M.
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】利用集合的特征性质对选项进行判断.
【解答过程】若M=x∣x=a2+b,a∈Z,b∈Z，
对于①，13−22=3+22∈M，①正确；
对于②，当x=a2+b,a∈Z,b∈Z中a=0时，x∈Z，所以Z⊆M，②正确；
对于③，若x1,x2∈M，不妨设x1=a2+b,x2=c2+d，
则x1+x2=a+c2+b+d，a+c∈Z,b+d∈Z，所以x1+x2∈M，③正确；
对于④，若x1,x2∈M且x2≠0，x1x2∈M不正确，例如x1=2,x2=3，x1x2=23∉M，④不正确；
对于⑤，存在x∈M且x∉Z，满足x−2022∈M，
例如x=3−22∈M，x−1=3+22∈M，x−2=17+122∈M，
若x−n=a2+b∈Mn∈N∗，则x−n+1=a2+b3+22=3a+2b2+3b+4a∈M，
故x−2022∈M，⑤正确.
①②③⑤正确.
故选：C.
3．（5分）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知实数a>b>1，c∈R，下列关系正确的是（ ）
A．ac2>bc2B．ba>2ba+b
C．ab<2aa+bD．a+1−a
【解答过程】对于A，取c=0，得ac2=0=bc2，A错误；
对于B，ba−2ba+b=b(b−a)a(a+b)<0，则ba<2ba+b，B错误；
对于C，ab−2aa+b=a(a−b)b(a+b)>0，则ab>2aa+b，C错误；
对于D，a+1−a=1a+1+a<1b+b−1=b−b−1，D正确.
故选：D.
4．（5分）（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题p：任意x∈1,2,x2−a≥0，命题q：存在x0∈R,x02+2ax0+2−a=0，若“p且q”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．−∞,−2B．−∞,1C．−∞,−2∪1D．−2,1∪1,+∞
【解题思路】首先分别求两个命题为真命题时a的取值范围，取其补集即可得答案.
【解答过程】
命题p为真时a≤x2恒成立，x∈1,2，即a≤x2min，a≤1，
命题q为真时Δ≥0，即4a2−42−a≥0 ，解得：a≤−2或a≥1.
命题“p且q”是真命题时，取交集部分，可得a≤−2或a=1，
所以命题“p且q”是假命题时，可得a>−2且a≠1，
故选：D.
5．（5分）（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知x表示不超过x的最大整数，集合A=x∈Z0
【解题思路】由新定义及集合的概念可化简集合A=1,2，再由A∩∁RB=∅可知A⊆B，分类讨论1,2的归属，从而得到集合B的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合B的子集的个数.
【解答过程】由题设可知，A=x∈Z|0
而B=x|x2+axx2+2x+b=0，
因为x2+ax=0的解为x=0或x=−a，x2+2x+b=0的两根x1,x2满足x1+x2=−2，
所以1,2分属方程x2+ax=0与x2+2x+b=0的根，
若1是x2+ax=0的根，2是x2+2x+b=0的根，则有12+1×a=022+2×2+b=0，解得a=−1b=−8，
代入x2+ax=0与x2+2x+b=0，解得x=0或x=1与x=2或x=−4，
故B=0,1,2,−4；
若2是x2+ax=0的根，1是x2+2x+b=0的根，则有22+2×a=012+2×1+b=0，解得a=−2b=−3，
代入x2+ax=0与x2+2x+b=0，解得x=0或x=2与x=1或x=−3，
故B=0,1,2,−3；
所以不管1,2如何归属方程x2+ax=0与x2+2x+b=0，集合B总是有4个元素，
故由子集个数公式可得集合B的子集的个数为24=16.
故选：C.
6．（5分）（23-24高三下·河北·开学考试）已知a，b均为正实数，且满足1a+3b=2，则22a−1+32b−3的最小值为（ ）
A．2B．22C．23D．26
【解题思路】先将1a+3b=2化为3a+b=2ab，把待求不等式先通分，再利用均值不等式可得.
【解答过程】因为a，b均为正实数，且1a+3b=2，得3a+b=2ab，
所以22a−1+32b−3=6a+4b−92a−12b−3=6a+4b−94ab−6a−2b+3=6a+4b−93，
又6a+4b=126a+4b1a+3b=1218+4ba+18ab≥9+62，
当且仅当4ba=18ab,1a+3b=2,即a=1+22,b=32+24时取等号，所以22a−1+32b−3≥22.
故选：B.
7．（5分）（23-24高一上·重庆沙坪坝·期末）关于x的不等式ax−12
C．−32,−1∪1,32D．−32,−43∪43,32
【解题思路】由已知及一元二次不等式的性质可得a+1a−1>0，讨论a结合原不等式整数解的个数求a的范围，
【解答过程】由ax−12
①当a>1时，不等式解集为1a+1,1a−1，因为1a+1∈0,12，故2个整数解为1和2，
则2<1a−1≤3，即2a−2<1≤3a−3，解得43≤a<32；
②当a<−1时，不等式解集为1a+1,1a−1，因为1a−1∈−12,0，故2个整数解为−1，−2，
则−3≤1a+1<−2，即−2a+1<1≤−3a+1，解得−32
8．（5分）（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数x、y满足(x−1)(y−4)=4，且x+y4≥a2−3a恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a|−1
【解答过程】因为正实数x、y满足(x−1)(y−4)=4，
即xy=4x+y，所以4y+1x=1，
所以x+y4=x+y41x+4y=2+4xy+y4x≥2+24xy⋅y4x=4，
当且仅当4xy=y4x，即y=8，x=2时取等号，
因为正实数x、y满足(x−1)(y−4)=4，且x+y4≥a2−3a恒成立，
所以a2−3a≤4，解得−1≤a≤4，即实数a的取值范围是a|−1≤a≤4.
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．x∈A是x∈A∪B的必要不充分条件
B．“a>1,b>1”是‘ab>1’成立的充分条件
C．命题p:∀x∈R,x2>0，则¬p:∃x∈R,x2<0
D．x,y为无理数是x+y为无理数的既不充分也不必要条件
【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义判断ABD，根据全称量词命题的否定为特称量词命题的否定判断C.
【解答过程】对于A，若x∈A，则x∈A∪B，但由x∈A∪B不能推出x∈A，
所以x∈A是x∈A∪B的充分不必要条件，故A错误；
对于B，a>1,b>1时，ab>1一定成立，
所以a>1,b>1是ab>1成立的充分条件，故B正确；
对于C，命题p:∀x∈R,x2>0，则¬p:∃x∈R,x2≤0，故C错误；
对于D，当x=2,y=−2时，x+y=0，
当x=2,y=2时，x+y为无理数，
所以x,y为无理数是x+y为无理数的既不充分也不必要条件，故D正确.
故选：BD.
10．（5分）（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意A,B⊆R，记A⊕B=xx∈A∪B,x∉A∩B，并称A⊕B为集合A,B的对称差．例如：若A=1,2,3,B=2,3,4，则A⊕B=1,4．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若A,B⊆R且A⊕B=B，则A=∅
B．若A,B⊆R且A⊕B=∅，则A=B
C．若A,B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B
D．存在A,B⊆R，使得A⊕B≠∁RA⊕∁RB
【解题思路】集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可.
【解答过程】对于A,因为A⊕B=B，所以B={x|x∈A∪B，x∉A∩B}，
所以A⊆B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A=∅，即A正确；
对于B，因为A⊕B=∅，所以∅={x|x∈A∪B，x∉A∩B}，
即A∪B与A∩B是相同的，所以A=B，B正确；
对于C,因为A⊕B⊆A，所以{x|x∈A∪B，x∉A∩B}⊆A，
所以B⊆A，即C错误；
对于D由于
∁RA⊕∁RB=xx∈∁RA∪∁RB,x∉∁RA∩∁RB=xx∈∁RA∩B,x∉∁RA∪B=xx∈A∪B,x∉A∩B，
而A⊕B=xx∈A∪B,x∉A∩B，故A⊕B=∁RA⊕∁RB，即D错误．
故选：AB．
11．（5分）（23-24高一上·安徽池州·期中）若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2a>0的解集为x−1≤x≤3，则3a+b+2c的值可以是（ ）
A．12B．32C．2D．1
【解题思路】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出a的取值范围，最后3a+b+2c都表示成a的形式即可.
【解答过程】因为不等式0≤ax2+bx+c≤2a>0的解集为x−1≤x≤3，
所以二次函数fx=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，
且需满足f−1=2f3=2f1≥0，即a−b+c=29a+3b+c=2a+b+c≥0，解得b=−2ac=−3a+2，
所以a+b+c=a−2a−3a+2≥0⇒a≤12，所以a∈0,12，
所以3a+b+2c=3a−2a−6a+4=4−5a∈32,4，故3a+b+2c的值可以是32和2，
故选：BC.
12．（5分）（23-24高一上·江西抚州·期末）若正实数a,b满足2a+b=2，则下列结论中正确的有（ ）
A．1a2+4b2的最小值为8
B．14a+b+12a+2b的最小值为23
C．2a+2b的最大值为22
D．b2+2a2的最小值为23
【解题思路】利用基本不等式求解最值判断A，B，C，利用消元法结合二次函数求得最值判断D.
【解答过程】A选项，因为a>0,b>0，且2a+b=2，所以22ab≤2，
所以ab≤12，当且仅当2a=b=1时，等号成立，
∴1a2+4b2≥4ab≥8，当且仅当2a=b=1时，等号成立，故A正确；
B选项，因为14a+b+12a+2b=164a+b+2a+2b14a+b+12a+2b
=162+2a+2b4a+b+4a+b2a+2b≥162+2=23，
当且仅当2a+2b4a+b=4a+b2a+2b，即2a=b=1时取等号，故B项正确；
C选项，(2a+2b)2=4a+2b+42ab=4+42ab≤4+4×2a+b2=4+4=8，
当且仅当2a=b=1时取等号，所以2a+2b≤22，所以2a+2b的最大值为22，故C项正确；
D选项，因为b2+2a2=(2−2a)2+2a2=6a2−8a+4=6a−232+43≥43，当且仅当a=b=23时取等号，
所以a2+2b2的最小值为43，故D项错误．
故选：ABC.
第II卷（非选择题）
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（24-25高一上·上海·课后作业）设x,y∈R，则“x>y>0”是“x2>y2”的 充分不必要 条件．
【解题思路】利用不等式的性质证明充分性，举反例否定必要性即可.
【解答过程】若x>y>0，则x2>y2，故充分性成立，
令x=−3,y=−2，满足x2>y2，但不满足x>y>0，故必要性不成立.
故“x>y>0”是“x2>y2”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
14．（5分）（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知集合M={2,0,−1}, N={x∣x−a<1}.若M∩N的真子集个数是3，则实数a的取值范围是 −1
【解答过程】M∩N的真子集个数是3， M∩N共有n个元素，所以2n−1=3，n=2.
N={x∣x−a<1}=x∣a−1
综上所述：实数a的取值范围是−1
【解题思路】首先确定不等式组的解集，先利用含k的式子表示，根据整数解的情况可以得到关于k的不等式，从而求出k的集合．
【解答过程】由x2−x−2>0，
得x>2或x<−1，
由x2+(3−k)x−3k<0，
得(x+3)(x−k)<0，
当k=−3时，(x+3)2<0，无解，不合题意；
当k<−3时，k
如图，
结合数轴可知，−2
故答案为：{−1,0,1,2,3}.
16．（5分）（2024高三·全国·专题练习）已知b>0，若对任意的x∈0,+∞，不等式4ax3+8x2−abx−2b≤0恒成立，则a2+2a+4b+ab的最小值为 16−82 .
【解题思路】先把原不等式分解为二次不等式，分类讨论后运用整体代换和基本不等式即可.
【解答过程】原不等式4ax3+8x2−abx−2b≤0⇔4x2−bax+2≤0，
由b>0，知0
故由原不等式知0
由恒成立知a<0且a×b2+2=0，即a=−4b，
故所求式a2+2a+4b+ab=16b+4b−8b+4b，
设t=2b+b，则t≥22b×b=22，
则所求式=4t2−t−4=4t−122−174递增，
故最小值在t=22时取得：4×8−22−4=16−82.
故答案为：16−82.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知p:关于x的方程x2−2ax+a2+a−1=0有实数根，q:m−1≤a≤m+3．
(1)若命题¬p是假命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）由命题¬p是假命题，可得命题p是真命题，则由Δ≥0，求出a的取值范围；
（2）由p是q的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解即可.
【解答过程】（1）因为命题¬p是假命题，则命题p是真命题，
即关于x的方程x2−2ax+a2+a−1=0有实数根，
因此Δ=4a2−4(a2+a−1)≥0，解得a≤1，
所以实数a的取值范围是−∞,1.
（2）由（1）知，命题p是真命题，即p:aa≤1，
因为命题p是命题q的必要不充分条件，则{a|m−1≤a≤m+3}⊂aa≤1，
因此m+3≤1，解得m≤−2，
所以实数m的取值范围是−∞,−2.
18．（12分）（2024高三·北京·专题练习）已知集合A=xx2+8x+15≤0，B=x3m−2
(2)若将题干中的集合B改为B=x2m+1≤x≤3m−2，是否有可能使命题p：“∀x∈A，都有x∈B”为真命题，请说明理由.
【解题思路】（1）直接根据A∩B≠∅列不等式求解；
（2）先得到A⊆B，再根据包含关系列不等式求解.
【解答过程】（1）因为A∩B≠∅，
所以−5≤3m−2<−33m−2<2m+2或−5<2m+2≤−33m−2<2m+2或2m+2>−33m−2<−53m−2<2m+2，
解得−1≤m<−13或−72
对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B，
所以2m+1≤−53m−2≥−3，该不等式组无解，
故命题p：“∀x∈A，都有x∈B”为真命题不可能.
19．（12分）（23-24高一上·云南昆明·期中）基本不等式是高中数学的重要内容之一，我们可以应用其解决数学中的最值问题．
(1)已知x，y∈R，证明x2+y2≥2xy；
(2)已知x，y，a，b∈R，证明(x2+y2)(a2+b2)≥(ax+by)2，并指出等号成立的条件；
(3)已知x，y，a，b>0，证明：x2a+y2b≥(x+y)2a+b，并指出等号成立的条件.
(4)应用（2）（3）两个结论解决以下两个问题：
①已知a2+4b2=2，证明：−2≤a+2b≤2；
②已知a，b>0，且a+b=1，求12a+ab+1的最小值.
【解题思路】（1）由(x−y)2≥0展开即可得结果；
（2）根据题意结合（1）中结论分析证明；
（3）根据题意结合（1）中结论分析证明；
（4）①根据题意结合（2）中结论分析证明；②根据题意结合（3）中结论分析求解.
【解答过程】（1）由(x−y)2≥0可知，x2+y2−2xy≥0，当且仅当x=y时取“=” ，
所以x2+y2≥2xy.
（2）因为(x2+y2)(a2+b2)=(ax)2+(by)2+(ay)2+(bx)2，
由（1）可得(ay)2+(bx)2≥2axby，当且仅当ay=bx时取“=”，
则(x2+y2)(a2+b2)=(ax)2+(by)2+(ay)2+(bx)2≥(ax)2+(by)2+2axby=(ax+by)2，
所以(x2+y2)(a2+b2)≥(ax+by)2，当且仅当ay=bx时取“=”.
（3）当x，y，a，b>0时，
因为x2a+y2b(a+b)=x2+y2+bx2a+ay2b，
由（1）可得bx2a+ay2b≥2xy，当且仅当ay=bx时取“=”
则x2a+y2b(a+b)=x2+y2+bx2a+ay2b≥x2+y2+2xy=(x+y)2，
所以x2a+y2b≥(x+y)2a+b，当且仅当ay=bx时取“=”.
（4）①由（2）可知a2+(2b)2(12+12)≥(a+2b)2，当且仅当a=2b时取“=”，
即4≥(a+2b)2，所以−2≤a+2b≤2
②因为12a+ab+1=12a+a−2+22−a=12a+22−a−1=12a+44−2a−1，
由（3）可得：12a+ab+1=12a+44−2a−1≥1+222a+4−2a−1=54，
当且仅当4−2a=4a，即a=23,b=13时，等号成立，
故12a+ab+1的最小值为54.
20．（12分）（23-24高一上·江苏无锡·期中）在①A∩B=A，②A∩∁RB=A，③A∩B=∅这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：
已知集合A=xa−1
(2)若___________，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）可得出B=x−2
A≠∅时，得出a−1<2a+3a−1≥−22a+3≤4，然后解出a的范围．若选择条件②和③，同样的方法，可得出a的取值范围．
【解答过程】（1）a=2时，A=x1
A=∅时，a−1≥2a+3，解得a≤−4；
A≠∅时，a>−4a−1≥−22a+3≤4，解得：−1≤a≤12；
综上知，实数a的取值范围是−∞,−4∪−1,12；
若选择②A∩∁RB=A，则A⊆∁RB的子集，∁RB=−∞,−2∪4,+∞，
A=∅时，a−1≥2a+3，解得a≤−4；
A≠∅时，a>−42a+3≤−2或a>−4a−1≥4，解得：−4
若选择③A∩B=∅，则：
A=∅时，a−1≥2a+3，解得a≤−4；
A≠∅时，a>−42a+3≤−2或者a>−4a−1≥4解得：−4
21．（12分）（23-24高一上·天津和平·阶段练习）已知x>0，y>0.
(1)若x+9y+xy=7，求3xy的最大值；
(2)若x+y=1，若1x+1y+m>12m2恒成立，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）依题意利用基本不等式可得7−xy≥6xy，令t=xy(t>0)，再解关于t的一元二次不等式，即可求出t的最大值，即可得解；
（2）利用乘“1”法及基本不等式求出1x+1y的最小值，依题意可得1x+1ymin>12m2−m，再转化为关于m的一元二次不等式，解得即可.
【解答过程】（1）解：因为x>0，y>0，x+9y+xy=7，
所以7−xy=x+9y≥2x⋅9y=6xy，当且仅当x=9y时取等号，
令t=xy(t>0)，则7−t2≥6t，即t2+6t−7≤0⇔(t+7)(t−1)≤0，解得−7≤t≤1，
又t>0，所以0
故当x=3，y=13时，xy的最大值为1，所以3xy的最大值为3．
（2）解：因为x>0，y>0，x+y=1，
所以1x+1y=1x+1yx+y=2+yx+xy≥2+2yx⋅xy=4，当且仅当yx=xy，即x=y=12时取等号,
因为1x+1y+m>12m2恒成立，即1x+1ymin>12m2−m，
所以4>12m2−m，所以m+2m−4<0，解得−2
(1)当m<0时，解关于x的不等式fx≥3x+m−2；
(2)若存在x∈0,2，使得不等式f(x)≤x2+2x−1成立，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）根据一元二次不等式解集的形式，结合分类讨论思想，求不等式的解集；
（2）采用分离变量的方法，转化成求函数的最值.
【解答过程】（1）由m+1x2−m−1x+m−1≥3x+m−2 ⇒ m+1x2−m+2x+1≥0 ⇒ x−1m+1x−1≥0.
若m+1=0即m=−1，上式可化为：x−1≤0 ⇒ x≤1；
若m+1<0即m<−1，上式可化为：x−1x−1m+1≤0 ⇒ 1m+1≤x≤1；
若m+1>0即−1
综上可知：当m<−1时，原不等式的解集为：1m+1,1；
当m=−1时，原不等式的解集为：(−∞,1]；
当−1
因为x2−x+1>0恒成立，所以：m≤xx2−x+1.
问题转化为：存在x∈0,2，使得m≤xx2−x+1成立，所以m ≤xx2−x+1max，
设gx=xx2−x+1，x∈0,2
当x=0时，g0=0；
当0
综上可知：m的取值范围是(−∞,1].
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