高一数学上学期第一次月考解答题压轴题十七大题型专练-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

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题型1
集合中元素的个数问题
1．（24-25高一上·上海·单元测试）已知U⊆R为一个数集，集合A={s2+3t2|s,t∈U}．
(1)设U=1,3,5，求集合A的元素个数；
(2)设U=Z，证明：若x∈A，则7x∈A．
2．（23-24高一·全国·课后作业）由a2，2−a，4所组成的集合记为A.
（1）是否存在实数a，使得A中只含有一个元素？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由；
（2）若A中只含有两个元素，求a的值.
3．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合A=xax2−3x+2=0,x∈R,a∈R．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
4．（23-24高一·江苏·单元测试）设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则11−x∈A.
(1)若2∈A，试证明A中还有另外两个元素；
(2)集合A是否为双元素集合，并说明理由；
(3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A.
题型2
根据元素与集合的关系求参数
5．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知集合A=x|x2+2ax−a<0，且−1∉A，求实数a的取值范围．
6．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合A中含有两个元素a−3和2a−1．
(1)若−2是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)−5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
7．（23-24高一·江苏·课后作业）已知集合A中有三个元素：a−3，2a−1，a2+1，集合B中也有三个元素：0，1，x．
(1)若−3∈A，求实数a的值；
(2)若x2∈B，求实数x的值．
8．（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合S满足:若a∈S，则11−a∈S.请解答下列问题:
(1)若2∈S，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素.
(2)证明:若a∈S，则1−1a∈S.
(3)在集合S中，元素能否只有一个?若能，把它求出来;若不能，请说明理由.
题型3
有限集合子集、真子集的确定
9．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合A=xax2+bx+1=0,a∈R,b∈R，求：
(1)当b=2时，A中至多只有2个子集，求a的取值范围；
(2)当a、b满足什么条件时，集合A为空集.
10．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合P=x∈Rx2−3x+b=0,Q=x∈Rx+1x2+3x−4=0.
(1)若b=4，存在集合M使得P为M 的真子集且M为Q的真子集，求这样的集合M；
(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围.
11．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）集合A={x|(a−1)x2−2x+3=0}．
(1)若A是∅，求实数a的取值范围
(2)是否存在这样的实数a，使得集合A有且仅有两个子集，若存在，求出实数a及对应的子集，若不存在，说明理由．
12．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合M=x∈Nx<2,N=x∈Z−2(1)写出集合M的子集、真子集;
(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数;
(3)猜想:含n个元素的集合a1,a2,⋯,an的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?
题型4
根据集合间的关系求参数
13．（23-24高一上·全国·课后作业）已知A=x|x2−2x−8=0,B=x|x2+ax+a2−12=0.
(1)若A⊆B，求a的值；
(2)若B⊆A，求实数a的取值范围.
14．（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合A=x|4−2k(1)若A⊆B，求实数k的取值范围；
(2)若BA，求实数k的取值范围.
15．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知集合A=2,6.
(1)若集合B=a+1，a2−23，且A=B，求a的值；
(2)若集合C=xax2−x+6=0，且A与C有包含关系，求a的取值范围.
16．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合A=x|x2−8x+12=0，B=a+1,a2−23，C=x|ax2−x+6=0
(1)若集合A=B，求实数a的值；
(2)若集合C⊆A，求实数a的取值范围.
题型5
集合混合运算中的求参问题
17．（23-24高一上·陕西渭南·期中）已知集合P=x|x<−1 或 x>6，Q=x|1−m≤x≤1+m，全集为R.
(1)求集合∁RP；
(2)若∁RP∪Q=∁RP，求实数m的取值范围.
18．（23-24高一上·北京·期中）已知集合A={x|x2−5x−14≤0}，B={x|m+1≤x≤m+3 ， m∈R}.
(1)当m=5时，求A∪B和B∩∁RA；
(2)若A∩∁RB=A，求m的取值范围.
19．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合A=x|x<−3或x>7，B=x|m+1≤x≤2m−1．
(1)若∁RA∪B=∁RA，求实数m的取值范围；
(2)若∁RA∩B=x|a≤x≤b，且b−a≥1，求实数m的取值范围．
20．（23-24高一上·江苏无锡·期中）在①A∩B=A，②A∩∁RB=A，③A∩B=∅这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：
已知集合A=xa−1(1)当a=2时，求A∪B；
(2)若___________，求实数a的取值范围．
题型6
集合的新定义问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
21．（23-24高二下·云南昆明·期中）设A是非空实数集，且0∉A.若对于任意的x,y∈A，都有xy∈A，则称集合A具有性质P1；若对于任意的x,y∈A，都有xy∈A，则称集合A具有性质P2.
(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质P1的集合A，并证明；
(2)若非空实数集A具有性质P1，求证：集合A具有性质P2；
(3)设全集U=x∣x≠0,x∈R，是否存在具有性质P2的非空实数集A，使得集合∁UA具有性质P1？若存在，写出这样的一个集合A；若不存在，说明理由.
22．（23-24高一上·北京丰台·期末）设n∈N∗，若非空集合A,B,C同时满足以下4个条件，则称A,B,C是“n−无和划分”：
①A∪B∪C={1,2,⋯,n}；
②A∩B=∅,B∩C=∅,A∩C=∅；
③1∈A，且C中的最小元素大于B中的最小元素；
④∀x∈A,∀y∈B,∀z∈C，必有x+y∉C,y+z∉A,z+x∉B.
(1)若A=1,3,B=2,4,C=5,6，判断A,B,C是否是“6−无和划分”，并说明理由.
(2)已知A,B,C是“n−无和划分”（n≥4）.
①证明：对于任意m,k∈C(m②若存在i,j∈C，使得j=i+2，记Ω=A∪B∪C，证明：Ω中的所有奇数都属于A.
23．（23-24高一下·北京顺义·期中）已知G为实数集的一个非空子集，称G,+是一个加法群，如果G连同其上的加法运算满足如下四条性质：
①∀a,b∈G，a+b∈G；
②∀a,b,c∈G，a+b+c=a+b+c；
③∃θ∈G，∀a∈G，使得a+θ=θ+a=a；
④∀a∈G，∃b∈G，使得a+b=b+a=θ．
例如Z,+是一个无限元加法群，0,+是一个单元素加法群．
(1)令A=2k,k∈Z，B=2k+1,k∈Z，分别判断A,+，B,+是否为加法群，并说明理由；
(2)已知非空集合T⊆R，并且∀x,y∈T，有x−y∈T，求证：T,+是一个加法群；
(3)已知非空集合S⊆Z，并且∀x,y∈S，有x−y∈S，求证：存在d∈Z，使得S=daa∈Z．
24．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）对于正整数集合A=a1,a2,⋅⋅⋅,an（n∈N*,n≥3），如果任意去掉其中一个元素ai i=1,2,⋯,n之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；
(1)判断集合2,4,6,8,10和3,5,7,9,11,13,15是否是“可分集合”（不必写过程）；
(2)求证：四个元素的集合A=a1,a2,a3,a4一定不是“可分集合”；
(3)若集合A=a1,a2,⋅⋅⋅,ann∈N*,n≥3是“可分集合”，证明：n为奇数.
题型7
由充分条件、必要条件求参数
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
25．（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合A={x|m−36}．
(1)当m=2时，求A∩B，A∪B；
(2)设命题p:x∈A，命题q:x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
26．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合A=xx2−4x−12=0，集合B=xax−1=0，集合C=x1−m≤x≤1+m，且A∪B=A．
(1)求实数a的值组成的集合；
(2)若a=−12，x∈A∩B是x∈C的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
27．（23-24高一上·安徽六安·期中）设集合U=R，A=x0≤x≤3，B=xm≤x≤2m+1,m∈R.
(1)m=2，求A∪B；
(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围.
28．（23-24高一上·广东梅州·期末）已知全集U=R，集合A=x|m−1(1)当m=4时，求A∪B和A∩∁RB；
(2)若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
题型8
全称量词与存在量词中的含参问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
29．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）设全集U=R，集合A=x1≤x≤5，集合B=x−1−2a≤x≤a−2．
(1)若A∩B=A，求实数a的取值范围；
(2)若命题“∀x∈B，则x∈A”是真命题，求实数a的取值范围．
30．（23-24高一上·辽宁丹东·阶段练习）已知命题p:∀1≤x≤2,x2−a≥0，命题q:∃x∈R,x2+2ax+2a+a2=0.
（1）若命题¬p为真命题，求实数 a 的取值范围；
（2）若命题 p 和¬q均为真命题，求实数 a 的取值范围.
31．（23-24高二下·湖北武汉·期末）设命题p:∀x∈−1,1，使得不等式x2−2x−3+m<0恒成立；命题q:∃x∈0,1，不等式2x−2≥m2−3m成立．
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
32．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）已知命题p:∀x∈R，x2+2m−3>0，命题q:∃x0∈R，x02−2mx0+m+2<0.
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
(3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.
题型9
利用作差法、作商法比较大小
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
33．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小：
(1)已知a>b>0，试比较a2+b2a2−b2与a+ba−b的大小；
(2)已知x<1，比较x3−1与2x2−2x的大小．
34．（23-24高一·全国·课后作业）试比较下列组式子的大小：
(1)x+1−x与x−x−1，其中x>1；
(2)M=a1+a+b1+b与N=b1+a+a1+b，其中a>0，b>0；
(3)a2−b2a2+b2与a−ba+b，a>b>0．
35．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)（假设全部溶解），糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；
(2)在锐角△ABC中，根据（1）中的结论，证明：AB+C+BC+A+CA+B<2.
36．（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）（1）已知b克糖水中含有a克糖b>a>0，再添加m克糖m>0（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．
（2）东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：A种糖每千克p1元，B种糖每千克p2元（两种糖价格不相等）.东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格=物品的总价钱÷物品的总质量）
题型10
利用不等式的性质求取值范围
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
37．（23-24高一上·湖北黄冈·阶段练习）（1）已知12（2）已知038．（2024高三·全国·专题练习）已知239．（23-24高一上·湖北十堰·阶段练习）（1）已知2（2）已知240．（23-24高一上·广西河池·阶段练习）（1）已知实数x,y满足1≤x≤2,12≤y≤3，求xy和x−2y的取值范围.
（2）已知0题型11
利用不等式的性质证明不等式
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
41．（23-24高一上·云南·阶段练习）证明下列不等式：
(1)若a>0,b>0，求证：a2b+b2a≥a+b；
(2)若a>b>0，ceb−d2．
42．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知a,b,c为三角形的三边长，求证：
(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca；
(2)(a+b+c)2<4ab+4bc+4ca.
43．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立：
(2)利用（1）中的结论证明：若a,b,c为三角形的三边长，则ab+c+ba+c+ca+b<2.
44．（23-24高一·全国·课后作业）若a,b∈0+∞，则a2a+b+ba+2b≤23.
(1)若存在常数M，使得不等式a2a+b+ba+2b≤M≤aa+2b+b2a+b对任意正数a，b恒成立，试求常数M的值，并证明不等式：M≤aa+2b+b2a+b；
(2)证明不等式：a3a+2b+b2a+3b≤a2a+3b+b3a+2b.
题型12
利用基本不等式求最值
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
45．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知a>0，b>0，3a+2b+2ab−9=0.
(1)求ab的最大值；
(2)求2a+b的最小值.
46．（23-24高一上·全国·期末）（1）已知x>1，求y=4x+1x−1的最小值；
（2）若a,b均为正实数，且满足a+2b=1，求4a+1+1b的最小值.
47．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知a>0，b>0．
(1)若a−b=4，证明：a+4b+1≥7．
(2)若a+b+ab=8，求a+b的最小值．
(3)若a2+9b2+3ab=27，求a+3b的最大值．
48．（23-24高一上·山西长治·期末）已知x>0,y>0，xy=x+y+a.
(1)当a=3时，求xy的最小值；
(2)当a=0时，求x+y+1x+1y的最小值.
题型13
利用基本不等式证明不等式
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
49．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、d∈R，证明下列不等式，并指出等号成立的条件：
(1)a2+b2c2+d2≥ac+bd2；
(2)a2+b2+c2≥ab+bc+ca．
50．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知a>0，b>0，且a+b=2，证明：
(1)a2b+ab2≤2；
(2)a3+ba+1+b3+ab+1≥2．
51．（2024·广西河池·模拟预测）已知a，b，c都是正数，且3a+2b+1c=3，证明：
(1)若b=c，则ac≥4
(2)b+c2a+a+c3b+b+a6c≥ abc.
52．（2024·全国·模拟预测）已知x，y，z∈0,+∞．
(1)若x+y=1，证明：4x+4y≤48；
(2)若x+y+z=1，证明yx+zy+xz>1+z−z．
题型14
基本不等式的恒成立问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
53．（2024高三·全国·专题练习）设正实数x,y满足x>23,y>2，不等式9x2y−2+y23x−2≥m恒成立，求m的最大值．
54．（23-24高一上·天津和平·阶段练习）已知x>0，y>0.
(1)若x+9y+xy=7，求3xy的最大值；
(2)若x+y=1，若1x+1y+m>12m2恒成立，求实数m的取值范围.
55．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知x，y都是正数，且2x+1y=1．
(1)求2x+y的最小值；
(2)已知不等式λx+2y≤3x+2y2恒成立，求实数λ的取值范围．
56．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知x、y、z都是正数．
(1)求证：x−yyz+y−zzx+z−xxy≥0；
(2)若xy2+yx2≥m2−2m−21x+1y恒成立，求实数m的取值范围．
题型15
由一元二次不等式的解确定参数
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
57．（23-24高一上·天津·期末）函数fx=ax2+bx+1a,b∈R.
(1)若fx<0的解集是xx<−2或x>3，求不等式ax2+bx+13>0的解集；
(2)当a>0时，求关于x的不等式fx+a−b+1x>0的解集.
58．（23-24高一上·福建三明·期中）已知二次函数y=ax2+bx−a+2．
(1)若关于x的不等式ax2+bx−a+2>0的解集是{x|−1(2)若a>0，b=2，解关于x的不等式ax2+bx−a+2>0．
59．（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）已知不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为x∣2≤x≤3
(1)若a>0，且不等式ax2+b−3x−c≤0有且仅有10个整数解，求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式：ax2+b−1x+5<0.
60．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知函数y=(m+1)x2−mx+m−1(m∈R)．
(1)若不等式y<0的解集是空集，求m的取值范围；
(2)当m>−2时，解不等式y≥m；
(3)若不等式y≥0的解集为D，若−1,1⊆D，求m的取值范围．
题型16
一元二次不等式恒成立问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
61．（2024高三上·河南·专题练习）已知a>0,b>0，a+2b=12，且ab的最大值为m．
(1)求实数m的值；
(2)若∀x∈R，关于x的不等式x2−(t−1)x+m2>0恒成立，求实数t的取值范围．
62．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知函数fx=m+1x2−m−1x+m−1.
(1)当m<0时，解关于x的不等式fx≥3x+m−2；
(2)若不等式fx≥x2+2x对一切x∈0,2恒成立，求实数m的取值范围.
63．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数fx=x2−ax+4，gx=2x−a−1，a∈R
(1)若关于x的不等式fx−2x<0的解集为1,m，求实数a和实数m的值；
(2)若对∀1≤x≤4，fx≥gx恒成立，求实数a的取值范围.
64．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数f(x)=(m+1)x2−(m−1)x+m−1．
(1)若不等式fx<1的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式fx≥(m+1)x；
(3)若不等式fx≥0对一切x∈−12,12恒成立，求m的取值范围．
题型17
一元二次不等式有解问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
65．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数fx=mx2−2m+1x+2m∈R．
(1)若m>0，解关于x的不等式fx<0；
(2)若不等式fx≤x−4在x∈3,+∞上有解，求实数m的取值范围．
66．（23-24高一上·山东济南·阶段练习）已知函数f(x)=x2−ax+b.
(1)若不等式f(x)>0的解集为(−∞,1)∪(3,+∞)，求实数a,b的值；
(2)当f−1=0时，
（i）解关于x的不等式fx>0；
（i）若存在x∈[1,2] ，使得fx≤0，求实数a的取值范围.
67．（23-24高一上·湖南·期末）设函数fx=ax2+b−1x+2.
(1)若不等式fx<0的解集为1,2，求实数a，b的值；
(2)若f−1=5，且存在x∈R，使fx<1成立，求实数a的取值范围.
68．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数fx=2x2−ax+a2−4，gx=x2−x+a2−314，a∈R
(1)当a=1时，解不等式fx>gx；
(2)若任意x>0，都有fx>gx成立，求实数a的取值范围；
(3)若∀x1∈0,1，∃x2∈0,1，使得不等式fx1>gx2成立，求实数a的取值范围.