江西省赣州市大余县2024届九年级下学期中考第二次模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份江西省赣州市大余县2024届九年级下学期中考第二次模拟考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列四个有理数中，是负整数的是（ ）
A. 15B. C. D.
答案：C
2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
答案：A
3. 已知：m、n在数轴上的位置如图所示，下列大小关系错误的是（ ）

A. B. C. D.
答案：D
4. 下列计算正确的是( )
A B. C. D.
答案：A
5. 物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
答案：B
6. 如图，二次函数的图象与x轴交于和原点．下列说法正确的是（ ）

A. B. C. D.
答案：D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 单项式的次数是______．
答案：4
8. 分解因式：______．
答案：
9. 党的二十大报告中指出，我国已建成世界上规模最大的社会保障体系，基本养老保险覆盖1040000000人，请将数据1040000000用科学记数法表示为_______．
答案：
10. 某工厂接到加工600件衣服的订单，预计每天做25件，正好按时完成，后因客户要求提前3天交货，工人则需要提高每天的工作效率，设工人每天应多做件，依题意列方程正确的是______________.
答案：
11. 如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知，米，米，该宣传栏后处共有 _______棵树．（不计宣传栏的厚度）．
答案：26
12. 已知菱形的边长为4，，点在边上且，是菱形边上的一点，若是以为腰的等腰三角形，则的面积为_________．
答案：或3或
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）解不等式组： ．
答案：（1）1；（2）
解：（1）原式．
（2）解不等式，
得，
解不等式，
得，
原不等式组的解集为．
14. 图1与图2均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均落在格点上，在图1、图2给定的网格中按要求作图．
（1）在图1的格点中取一点，使为等腰直角三角形；
（2）在图2的格点中取一点，使是与面积相等的等腰三角形．
答案：（1）作图见解析
（2）作图见解析
【小问1详解】
解：如图所示：
存在三个这样的点，使为等腰直角三角形；
【小问2详解】
解：根据，如图所示：
存在两个这样的点，使是与面积相等的等腰三角形．
15. 下面是学习了分式混合运算后，甲，乙两名同学解答一道题目中第一步的做法，选择其中一名同学的做法，完成解答过程．
我选择：______同学．
答案：甲或乙，过程见解析
解：选择甲同学：
；
选择乙同学：
．
16. 亮亮和爸爸搭乘飞机外出游玩.若航班售票系统随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排.如下图所示的是飞机内同一排座位，，，的排列示意图．
（1）亮亮被分配到座位______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）；
（2）求亮亮和爸爸被分配到相邻座位的概率（过道两侧座位不算相邻）．
答案：（1）随机； （2）．
【小问1详解】
解：依题意，亮亮被分配到座位是随机事件；
【小问2详解】
解：根据题意，画树状图如图.
共有12种等可能的结果，其中亮亮和爸爸邻座的结果有4种，
亮亮和爸爸被分配到相邻座位的概率为．
17. 如图，一次函数与反比例函数，图象分别交于，，与轴交于点，连接，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积．
答案：（1），；（2）12．
解：（1）∵，在函数的图象上，
∴m=5，
∴A(-2，5)，
把A(-2，5)代入得：，
∴b=4，
∴一次函数的表达式为：，
∵在函数的图象上，
∴n=2，
∴，
把代入得：2=，∴k=8，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）∵C是直线AB与y轴的交点，直线AB：，
∴当x=0时，y=4，
∴点C（0，4），即OC=4，
∵A(-2，5)，，
∴=×4×2+×4×4=12；
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 全球工业互联网大会永久会址落户沈阳．为了让学生了解工业互联网相关知识，某校准备开展“工业互联网”主题日活动，聘请专家为学生做五个领域的专题报告：
A．数字孪生；B．人工智能；C．应用；D．工业机器人；E．区块链．为了解学生的研学意向，在随机抽取的部分学生中下发如图所示的调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图．
“工业互联网”主题日学生研学意向调查结果统计图
请根据统计图提供的信总，解答下列问题：
（1）求本次调查所抽取学生人数，并直接补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中领域“”对应扇形的圆心角的度数；
（3）学校有名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场报告时间为90分钟．由下面的活动日程表可知，和两场报告时间与场地已经确定．在确保听取报告的每名同学都有座位的情况下，请你合理安排，，三场报告，补全此次活动日程表（写出一种方案即可），并说明理由．
答案：（1），统计图见解析
（2）
（3）见解析
【小问1详解】
解：总人数为（人）
的人数为：（人）
补全条形统计图如图所示，
【小问2详解】
解：扇形统计图中领域“”对应扇形的圆心角的度数为
【小问3详解】
解：的人数有：（人）
的人数有：（人）
的人数有：（人）
∵,
∴场次安排在2号多功能厅，安排在1号多功能厅
补全此次活动日程表如图所示，
19. 中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．如图1的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形，如图2所示，已知屋檐米，屋顶E到支点C的距离米，墙体高米，屋面坡角．（参考数值：）

（1）求房屋内部宽度的长；
（2）求点A与屋面的距离．
答案：（1）米
（2）米
【小问1详解】
解：如图，过E作，交于点O，交于点H，则，

则在中， (米)，
∵是等腰三角形，
∴ (米)．
∵四边形是矩形，
∴(米)；
【小问2详解】
解：如图，过A作，交于点I．
在中， (米)，
在中， (米)，
∴ (米)，
∴(米)，
即点A到屋面的距离约为米．
20. ．2023年我国多地阴雨连绵，夏粮作为全年粮食生产的第一季，收割受到极大的影响．陕西省某县政府为了帮助村民抢收小麦，租来了每天能收割4公顷小麦的型收割机和每天能收割6公顷小麦的型收割机共台，全部型号的收割机一天能收割公顷．
（1）县政府租来型收割机和型收割机各有多少台？
（2）该县某乡镇共有公顷小麦，镇长向县政府申请了援助．因调配问题，县政府只能每天向该镇派遣同一型号的所有收割机进行援助．经过3天的努力，该乡镇恰好收割了全部小麦．已知每台型收割机收费是元/天，每台型收割机收费是元/天，则援助该乡镇共花费了多少元？
答案：（1）县政府租来的型收割机有8台，型收割机有台
（2）故援助该乡镇共花费了元
【小问1详解】
解：设县政府租来的型收割机有台，型收割机有台．
根据题意，得
解得
答：县政府租来的型收割机有8台，型收割机有12台．
【小问2详解】
设县政府派遣型收割机天，则派遣型收割机天．
根据题意，得，
解得，
．
故援助该乡镇共花费了元．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. （1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由，
（2）知识应用：如图，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N．
①求证：是的切线：
②当cm，cm时，求的半径及图中阴影部分的面积．
答案：（1），见解析；
（2）①见解析；②的半径是4.8cm，图中阴影部分的面积是
解：（1）如图1，连接和，
∵和是的两条切线，
∴，．
又∵，．
∴
∴，．
（2）①证明：∵分别与相切于点A、B、C，
∴分别平分、．
又∵．
∴．
∴．
又∵，
∴
又∵经过半径的外端点M，
∴是的切线．
②连接，则，
∵cm，cm，
∴，
∴，
∴
即的半径为2.4cm．
∴（）
综上所述，的半径是4.8cm，图中阴影部分的面积是．
22. 综合与实践
问题情境：
如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
猜想证明：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若，，请直接写出的长．
答案：（1）四边形是正方形，理由详见解析；（2），证明详见解析；（3）．
解：（1）四边形是正方形
理由：由旋转可知：，，
又，
四边形是矩形．
∵．
四边形是正方形；
（2）．
证明：如图，过点作，垂足为，
则，
．
四边形是正方形，
，．
，
．
．
∵，
；
（3）如图：过E作EG⊥AD
∴GE//AB
∴∠1=∠2
设EF=x，则BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x
在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15
∴AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍），x=9
∴BE=9,AE=12
∴sin∠1= ,cs∠1=
∴sin∠2= ,cs∠2=
∴AG=7.2,GE=9.6
∴DG=15-7.2=7.8
∴DE=．
六、解答题（本大题共12分）
23. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．

【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
（4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．
答案：（1），；
（2）；
（3）
（4）
【小问1详解】
解：∵抛物线中，
∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，
∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴，整理得：，
又∵，
∴
解得：或（舍去），
∴，
∴点P的坐标为；
【小问3详解】
解：过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图：

若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；
∵直线与直线垂直，故设直线的解析式为，
将代入解得：，
∴直线的解析式为，
∵点是直线和抛物线的交点，
令，解得：，（舍去），
故点的坐标为，
∴，
∵点是直线和直线m的交点，
令，解得：，
故点的坐标为，
∴，
．
即的最小值为．
【小问4详解】
解：∵抛物线中，
∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，
过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：

若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：

∵点的坐标为，准线，
∴点的横坐标为，代入解得，
即，，
则的面积为．
计算：
甲同学
解：原式=．
乙同学
解：原式
窗
过道
窗
“工业互联网”主题日学生研学意向调查问卷
请在下列选项中选择您的研学意向，并在其后“☐”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作．
A．数字孪生☐ B．人工智能口 C．应用☐ D．工业机器人☐ E．区块链☐
“工业互联网”主题日活动日程表
地点（座位数）
时间
1号多功能厅
（200座）
2号多功能厅
（100座）
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“工业互联网”主题日活动日程表
地点（座位数）
时间
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（座）
号多功能厅
（座）
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