江苏省无锡市江阴市高新实验中学2024—2025学年上学期九年级10月月考数学试卷

这是一份江苏省无锡市江阴市高新实验中学2024—2025学年上学期九年级10月月考数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知的半径为3，当时，点与的位置关系为（ ）
A．点在圆内B．点在圆外C．点在圆上D．不能确定
3．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
4．如图，直线，两直线和与分别相交于点和点．下列各式中，不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，为上一点，连接，且交于点，则为（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．有一个角是两个等腰三角形一定相似B．两个矩形一定相似
C．等弧所对的圆心角相等D．相等的圆心角所对的弧相等
7．如图，是的直径，弦于点，则半径为（ ）
A．2B．3C．5D．8
8．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
9．我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，，点在边上（与不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，给出以下结论：
①；②；
③；④，
其中正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．若，则的值为______．
12．在比例尺为1:80000的上海市城区地图上，量得中山北路的长度约为25cm，那么它的实际长度约为______km．
13．若是关于的一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是______．
14．已知点为线段的黄金分割点，．若，则的长为______cm．
15．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，已知，测得米，米，米，那么该古城墙的高度是______米．
16．如图，点在上，，则______度．
17．如图，在中，分别是边上的高，连接，若，则的长为______．
18．如图，中，是的高，，则______；若以点为圆心，半径为2作，点是上一动点，连接，点是的中点，则线段的最小值是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．本小题8分
解方程：
（1）；（2）（配方法）；
（3）（公式法）；（4）．
20．（本小题8分）
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
（1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为2:1；
（2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；
（3）判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标．
21．（本小题8分）
如图，是的边上的一点，连接，已知，
（1）证明；
（2）求线段的长．
22．（本小题8分）
已知关于的方程，问：
（1）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根为，且满足，求的值．
23．（本小题8分）
如图，在中，于点于点．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
24．（本小题8分）
如图，已知为的直径，是的弦，的延长线交于点，且．
（1）若，求的度数；
（2）若的度数是的度数的倍，则______．
25．（本小题8分）
如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．
26．（本小题8分）
一商店销售某种商品，规定：不超过60件，每件售价120元．如果购买商品件数超过60件，每增加一件，所售出的商品每件售价均降低0.5元，但每件商品价格不得少于100元．
（1）若购买商品63件，则每件商品的价格为______元；
（2）若小明在此商店购买该商品共支付8800元，请问小明共买了多少件商品？
27．（本小题8分）
如图，在矩形中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点和点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒．
（1）用含的代数式表示线段的长；
（2）当与矩形的对角线平行时，求的值；
（3）若点为的中点，求以为顶点的三角形与相似时的值；
（4）直接写出点关于直线的对称点落在边上时的值．
答案和解析
1．【答案】C
【解析】解：A．中含有两个未知数，是二元二次方程，故本选项不符合题意；
B．中含有两个未知数，是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C．符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D．是分式方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．【答案】B
【解析】解：，
，
则点在外，
故选：B．
根据题意得的半径为4，则点到圆心的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点在外．
本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内．
3．【答案】B
【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
，
故选：B．
利用根的判别式进行求解即可．
本题考查一元二次方程根的判别式，根据根的判别式即可求出的取值范围，掌握根的判别式与一元二次方程解的情况是解题的关键．
4．【答案】C
【解析】解：直线，
，
∴A、B、D选项中的等式成立，C选项中的等式不一定成立．
故选C．
根据平行线分线段成比例的性质，逐项分析推出正确的比例式，运用排除法即可找到正确的选项．本题主要考查平行线分线段成比例的性质．
5．【答案】A
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
由平行四边形的性质得，从而易得，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方，求得相似比，进而求得结果．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是利用相似三角形的判定与性质．
6．【答案】C
【解析】解：A：70°的角可以是顶角，也可以是底角，故有一个角是两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意；
B：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形，由于两个矩形的长和宽不一定成比例，因此两个矩形不一定相似，故B不符合题意；
C：等弧所对的圆心角相等，故C符合题意；
D：在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．但是，如果这两个圆心角位于不同的圆，且圆的半径不同，那么它们所对的弧长一定不相等，故D不符合题意；
故选：C．
根据相似多边形的概念，圆中弧、弦、角等的关系，逐一判断即可解答．
本题考查了相似多边形的概念，圆中弧、弦、角等的关系，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
7．【答案】C
【解析】解：设半径为，则，
过圆心，
，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即的半径为5，
故选：C．
设半径为，则，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，代入求出答案即可．
本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
8．【答案】B
【解析】【分析】
主要考查由实际问题抽象出一元二次方程增长率问题，一般增长后的量增长前的量（增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】
解：依题意得五、六月份的产量为，
．
故选：B．
9．【答案】D
【解析】【分析】
本题考查一元二次方程的应用，通过图形直观得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．
根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．
【解答】
解：方程，即的拼图如图所示；
中间小正方形的边长为，其面积为25，
大正方形的面积：，其边长为7，
因此，D选项所表示的图形符合题意，
故选：D．
10．【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的面积，矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
由正方形的性质得出，证出，由AAS证明，得出，①正确；证明四边形是矩形，得出，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，③正确；证出，得出对应边成比例，得出，④正确．
【解答】
解：四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，①正确；
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，②正确；
，
，③正确；
易证，
，
，
，
，④正确；
故选D．
11．【答案】53
【解析】解：，
，
，
故答案为：．
先根据题意得到，然后代入约分
本题考查比例的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
12．【答案】20
【解析】解：设实际长度为，
根据题意得，
解得．
故答案为20．
实际长度为，利用比例尺的定义得到，然后利用比例性质求出．
本题考查了比例线段：理解比例尺的定义，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．
13．【答案】（答案不唯一）
【解析】解：关于的一元二次方程的一个根是1，则符合条件的一个一元二次方程可以是：，整理得：．
故答案为：（答案不唯一）．
直接利用一元二次方程的解得出符合题意的一个方程即可．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确掌握一元二次方程解是解题关键．
14．【答案】
【解析】解：为线段的黄金分割点，
，即，
．
故答案为：．
利用黄金比列出方程解答即可．
本题考查了黄金分割点的应用，正确应用黄金比是解题关键．
15．【答案】8
【解析】解：由题意可得，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
即，
故答案为8．
先证明，可得，再代入相应数据可得答案．
本题主要考查相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例．
16．【答案】60
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．连接，根据等腰三角形的性质得到，结合条件得，根据等腰三角形的性质即可得到．
【解析】
解：如图，连接，
，
，
，
，
，
故答案为60．
17．【答案】
【解析】解：分别是边上的高，
，
，
由勾股定理得：；
，
，
，
，
，
故答案为：．
由题意知，则，从而可得，由相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
18．【答案】
【解析】解：是的高，
，
；
如图，连接，
点是的中点，点是中点，
是的中位线，
，
当三点共线，且点在线段上时，线段的长最小，线段的长取得最小值，
又因为，
所以最小值为．
故答案为：5；．
由等腰三角形的性质得，由勾股定理即可求得的长度；连接，则，当最小时，最小，此时点在线段上时，最小，从而最小，最后求得最小值即可．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，圆外一点与圆上点的最值等知识，构造辅助线，运用中位线定理是解题的关键．
19．【答案】解：（1），
，
，
．
（2），
，
，即，
，
．
（3），
，
，
，
．
（4），
，
，
或，
．
【解析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用配方法的步骤：“移除配开方”解方程即可；
（3）找出方程中的，计算出的值，再利用求根公式解方程即可；
（4）先移项将方程变形成，再通过提公因式法解方程即可．
本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
20．【答案】解：（1）如图，即为所作图形；
（2）如图，即为所作图形；
（3）和是位似图形，点为所求位似中心，点的坐标为．
【解析】（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（3）根据位似中心的性质可得答案．
本题主要考查了作图-位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．
21．【答案】（1）证明：，
；
（2），
，即，
解得：．
【解析】（1）根据已知角相等，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2）由相似得比例，求出所求即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
22．【答案】（1）证明：关于的方程，
，
，
，即，
不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个根为，
，
，
，
即，
整理得：，
解得或．
【解析】（1）先计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断；
（2）由根与系数的关系得：，把变形为，然后整体代入得到关于的方程，即可求解．
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握这两个知识点是关键．
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
又，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
同理可得，，
．
【解析】（1）连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，根据角平分线的性质定理证明结论；
（2）根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
24．【答案】3
【解析】解：（1）连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
弧是弧的3倍，
故答案为：3．
（1）连接，得到，根据等腰三角形的性质得，则利用三角形外角性质可计算出，根据等边对等角得出，然后再根据三角形外角性质可计算出的度数；
（2）因为，所以，即可知道．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，掌握与圆有关的概念是解题的关键．
25．【答案】解：过作于，
，
，
四边形为矩形，
，
设，
，
解得：，
旗杆的高米．
【解析】过作于，首先证明四边形为矩形，可得，设，则，求出即可解决问题．
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长=定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
26．【答案】118.5
【解析】解：由题意得：（元），
故答案为：118.5；
（2）设小明共买了件商品，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：小明共买了80件商品．
（1）根据题意列式计算即可；
（2）设小明共买了件商品，根据小明在此商店购买该商品共支付8800元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27．【答案】解：（1）由题意得，四边形是矩形，
，
当点与点重合时，则，
解得，
当点与点重合时，则，
当点到达点时，两点同时停止运动，
当时，，
当时，．
（2）当时，如图1，，则，
，
，
解得；
当时，如图2，，则，
，
，
，
，
，
解得，
综上所述，的值为或．
（3）点为的中点，，
，
，
当，且时，如图3，
则，
，
解得；
当，且时，如图4，
则，
，
解得；
当，且时，如图5，
则，
，
解得；
当，且时，如图6，
则，
，
解得，不符合题意，舍去，综上所述，的值为或或．
（4）当点落在上时，如图7，
，
，
，
，
，
解得，
当点落在上时，如图8，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得；
综上，点关于直线的对称点落在边上时的值为或．
【解析】（1）由题意得，则当时，；当时，；
（2）分两种情况讨论，一是当时，，则，所以，求得；
二是当时，，则，可证明，则，求得；
（3）由点为的中点，求得，再分四种情况讨论，一是当，且时，则；二是当，且时，则；三是当，且时，则；四是当，且时，则，解方程求出相应的符合题意的值即可；
（4）当点落在上时，由勾股定理求得，则，于是得，求得．
此题重点考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握数形结合与分类讨论思想．