湖南省衡阳县2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份湖南省衡阳县2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共7页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知一组数据等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．设集合A={x∈N|y=12x+3∈N}，则集合A的真子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
2．已知csα+β=13，csαcsβ=12，则cs2α-2β=（ ）
A．23B．19C．-19D．-13
3．在平行四边形ABCD中，已知AC=5,4,BD=1,2，则AB⋅AD=（ ）
A．5B．9C．13D．18
4．已知向量a,b满足a=5,b=6,a⋅b=-6，则csa,b=（ ）
A．12B．-12C．-15D．15
5．在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数z4i对应的点Z1所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．已知圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，且该圆锥底面圆和顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A．22πB．42πC．23πD．43π
7．已知一组数据：3,5,7,x,9的平均数为6，则该组数据的40%分位数为（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
8．现有7张分别标有1,2,3,4,5,6,7的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为a，剩下的2张卡片数字之和为b，则a≥3b的概率为（ ）
A．57B．27C．47D．37
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知事件A,B,C两两互斥，若PA=14,PA∪B=38,PA∪C=512，则（ ）
A．PB∩C=12B．PB=18
C．PB∪C=724D．PC=16
10．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是正方形ABB1A1的中心，F是棱CD(包含顶点)上的动点，则以下结论正确的是（ ）
A．EF的最小值为2
B．存在点F，使EF⊥DC1
C．三棱锥D1-EFC1的体积是定值
D．直线EF与平面ADD1A1所成角的正切最大值为55
11．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，M为CD1的中点，Q为CA1上靠近点A1的五等分点，则（ ）
A．AM=AB+13AD+12AA1B．2AM=AB+2AD+AA1
C．AQ=15AB+34AD+35AA1D．5AQ=AB+AD+4AA1
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．如图，在某个海域，一艘渔船以60海里/时的速度，沿方位角为150∘的方向航行，行至A处发现一个小岛C在其东偏南15∘方向，半小时后到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为 海里.

13．从2011名学生中选取40名同学组成参观团，若采用下面的方法选取：先简单随机抽样从2011人中剔除11人，再将剩下的2000人按系统抽样的方法进行选取，则每个人入选的概率为 ．
14．已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a、b、c，∠ABC=2π3，D为AC边上一点，满足BD=1，且ABBC=ADDC．则4a+c的最小值为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA=b-c2sinB+c-b2sinC.
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为3，周长为8，求a.
16．（15分）已知非零向量a，b满足a=1，且2a+b⋅2a-b=3，b⋅a-b=-12.
(1)求b的值；
(2)证明：a⊥a-2b；
(3)设b与a-b的夹角为φ，求a-b及csφ的值.
17．（15分）某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求m的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；
(2)若认定评分在80,90内的学生为“运动爱好者”，评分在90,100内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率.
18．（17分）甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C,D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I．从三个口袋中各随机取出1个小球．
(1)取出的3个小球上恰好有1个､2个和3个元音字母的概率分别是多少？
(2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？（注：本题中，A,E,I是元音字母；B,C,D,H是辅音字母）
19．（17分）如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB ∥ CD,AB=4，BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F分别是棱AD,AA1,AB的中点，G是FC的中点.

(1)证明：BG⊥FC1；
(2)证明：平面AEE1 ∥平面FCC1；
(3)求二面角B-FC1-C的余弦值.
数学答案
1．【答案】C
【解析】由y=12x+3∈N且x∈N可知，x+3可以取3,4,6,12，则x可取0,1,3,9，
即A={0,1,3,9}，故集合A的真子集个数为24-1=15.
故选：C.
2．【答案】C
【解析】∵csα+β=csαcsβ-sinαsinβ=13，csαcsβ=12
∴sinαsinβ=12-13=16，
∴csα-β=csαcsβ+sinαsinβ=12+16=23，
∴cs2α-2β=2×232-1=-19.
故选：C.
3．【答案】B
【解析】AB+AD=AC,AD-AB=BD，
两式平方并相减得4AB⃗⋅AD⃗=AC⃗2-BD⃗2=25+16-1+4=36，所以AB⋅AD=9.故选：B
4．【答案】C
【解析】因为a=5,b=6,a⋅b=-6，
所以csa,b=a⋅bab=-65×6=-15.
故选：C
5．【答案】A
【解析】由在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，设z=a+bi,a0，
则z4i=a+bi4i=b4-a4i，显然b4>0,-a4>0，
所以点Z1(b4,-a4)在第一象限，A正确.
故选：A
6．【答案】D
【解析】圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，
边长为3的等边三角形的外接圆半径即是圆锥的外接球半径,
设球O的半径为R，由正弦定理得2R=332=23，即R=3，故球O的体积V=43πR3=43π.
故选：D.
7．【答案】C
【解析】依题意，3+5+7+x+95=6，解得x=6，
将数据从小到大排列可得：3,5,6,7,9，
又5×0.4=2，则40%分位数为5+62=5.5.
故选：C.
8．【答案】D
【解析】因为1+2+3+4+5+6+7=28，所以a+b=28，
故a=28-b，而a≥3b，所以28-b≥3b，解得b≤7，
所以求b≤7的概率即可，从7张卡片抽2张，
基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4)，
(1,7),(2,6),(2,7),(3,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7),(6,7)，
共有21个基本事件，且设b≤7的概率为P，
符合题意的事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，
(2,3),(2,4),(2,5),(3,4)，共9种，所以P=921=37，故D正确.
故选：D
9．【答案】BCD
【解析】对于A，因为事件A,B,C两两互斥，
所以PB∩C=PA∩B=PA∩C=0，故A错误.
对于B，由PA∪B=PA+PB=14+PB=38，得PB=18，故B正确.
对于D，由PA∪C=PA+PC=14+PC=512，得PC=16，故D正确.
对于C，因为PB∪C=PB+PC=18+16=724，所以C正确.
故选：BCD
10．【答案】BCD
【解析】对于A，取AB的中点M，连接EM，则EM⊥平面ABCD，
连接FM，显然F为CD中点时，EF取得最小值，
此时EF=EM2+FM2=5，故A不正确．
B选项，当点F与点C重合时，因为CD1⊥C1D，
又BC⊥平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，故BC⊥C1D，
又CD1∩BC=C，CD1,BC⊂平面A1D1CB，
故DC1⊥平面A1D1CB，又EC⊂平面A1D1CB，所以DC1⊥EC，
所以DC1⊥EF，所以B正确；
C选项，△D1C1F的面积不变，点E到平面D1C1F(平面DCC1D1)的距离不变，
所以三棱锥D1-EFC1的体积是定值，所以C正确；
D选项，取AA1的中点H，连接EH，DH,DE，
则EH//AB，EH=1,DH=AD2+AH2=5，
取CD的中点P，连接EP，则DP=HE，故四边形DPEH为平行四边形，
故PE//DH，由于DH⊂平面ADD1A1，PE⊄平面ADD1A1，
故PE//平面ADD1A1，故当F与P重合时，FE//平面ADD1A1，
由对称性可知，当点F与点C或D重合时，
直线EF与平面ADD1A1所成角最大，故正切值最大，
最大值为EHDH=55，所以D正确.
故选：BCD．
11．【答案】BD
【解析】AM=AB+BC+CM=AB+AD+12CD+CC1 =AB+AD-12AB+12AA1=12AB+AD+12AA1，
即2AM=AB+2AD+AA1，故A错误、B正确；
AQ=AA1+A1Q=AA1+15A1C=AA1+15A1D1+D1C1+C1C =AA1+15AD+AB-AA1=15AB+15AD+45AA1，
即5AQ=AB+AD+4AA1，故C错误，D正确.
故选：BD.
12．【答案】106
【解析】由题意及方位角可得，∠CAB=45∘，∠ABC=75∘，∠ACB=60∘，
因为渔船以60海里/时的速度航行，所以AB=30海里，
由正弦定理可得ABsin60∘=BCsin45∘，即3032=BC22，得BC=106海里，
故答案为：106.
13．【答案】402011
【解析】根据随机抽样可知：每个个体入选的概率均等，与抽样方法和过程无关，
所以每个人入选的概率为402011.
故答案为：402011.
14．【答案】9
【解析】由ABBC=ADDC得BD平分∠ABC．因为∠ABC=2π3，
故由S△ABC=S△ABD+S△BDC，可得12acsin2π3=12×csinπ3+12×asinπ3，
化简得ac=a+c，即c=aa-1,a>1，
则4a+c=4a+aa-1 =4a+1a-1+1=4(a-1)+1a-1+5．
因为a>1，故4(a-1)+1a-1≥24(a-1)⋅1a-1=4，
当且仅当4(a-1)=1a-1，即a=32,c=3时，等号成立，
此时4a+c取得最小值9．
故答案为：9
15．【解析】（1）因为asinA=b-c2sinB+c-b2sinC，
由正弦定理可得：所以a2=b-c2b+c-b2c，
整理得a2=b2+c2-bc，
所以csA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，
因为A∈0,π2，
所以A=π3.
（2）因为△ABC的面积为3，
所以由（1）可知，12bcsinA=12bcsinπ3=3，
解得bc=4，
所以a2=b2+c2-bc=b+c2-12
又因为a+b+c=8，
所以a2=8-a2-12，
解得a=134.
16．【解析】（1）因为2a+b⋅2a-b=3，
所以4a2-b2=3，故4a2-b2=3，
又a=1，
所以b=1，
（2）因为b⋅a-b=-12，
所以a⋅b-b2=-12，又b=1，
所以a⋅b=12，
所以a⋅a-2b=a2-2a⋅b=1-2×12=0，
所以a⊥a-2b；
（3）因为a-b=a-b2=a-b2=a2-2a⋅b+b2=1，
所以a-b=1，
因为csφ=b⋅a-bb⋅a-b，
又b⋅a-b=-12，b=1，a-b=1，
所以csφ=-12.
17．
【解析】（1）依题意，0.005+0.015+0.020+0.030+m+0.005×10=1，解得m=0.025.
前三组的频率为0.005+0.015+0.020×10=0.4，
所以中位数为70+0.5-0.40.3×10≈73.3分.
（2）80,90的频率为0.25，90,100的频率为0.05，两者的比例是5:1，
所以抽取的6名学生中，80,90中的有5人，记为1,2,3,4,5；
在90,100中的有1人，记为6；
从中抽取2人，基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，
共15种，其中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的是：
16,26,36,46,56，共5种，故所求概率为515=13.
18．
【解析】（1）如图所示，所有可能出现的情况有12种，
记三个小球上恰好有一个、两个和三个的元音字母为事件A,B,C,
事件A发生的情况有5种，事件B发生的情况有4种，事件C发生的情况有1种，
所以P(A)=512,P(B)=412=13,P(C)=112.
（2）由树状图知共有12种等可能的结果，
取出的3个小球上全是辅音字母的有2种情况，
所以取出的3个小球上全是辅音字母的概率为212=16.

19．
【解析】（1）由题意，F分别是棱AB的中点，AF ∥ CD，AF=CD=2，
所以四边形AFCD为平行四边形，又BF=CB=AD=CF=2，所以△FBC为正三角形，
又G是FC的中点，所以BG⊥FC，因为CC1⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，
所以CC1⊥BG，又CC1∩FC=C，CC1,FC⊂平面FCC1，所以BG⊥平面FCC1，
又FC1⊂平面FCC1，故BG⊥FC1.
（2）因为AE ∥ FC，又FC⊂平面FCC1，AE ⊄平面FCC1，所以AE ∥平面FCC1，
同理AE1 ∥平面FCC1，又AE1,AE⊂平面AEE1,AE1∩AE=A，
所以平面AEE1 ∥平面FCC1.
（3）作GH⊥FC1,GH与FC1交于H点.

由（1）知BG⊥FC1，又GH∩BG=G，GH,BG⊂平面BGH，
所以FC1⊥平面BGH，而BH⊂平面BGH，所以FC1⊥BH，
故∠GHB是二面角B-FC1-C的平面角.
由Rt△FGH∽Rt△FC1C，得FGFC1=GHC1C，解得GH=2×122=22.
由于BG⊥平面FCC1,GH⊂平面FCC1，所以BG⊥GH.
在Rt△BGH中，BG=3,BH=BG2+GH2=3+12=142，
所以cs∠GHB=GHBH=214=77，
即二面角B-FC1-C的余弦值为77.