湖南省 娄底市 娄星区2024-2025学年九年级期上学期期中考试数学模拟试卷

这是一份湖南省 娄底市 娄星区2024-2025学年九年级期上学期期中考试数学模拟试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分：120分 时量：100分钟 姓名： 得分：
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点2,-1，则k的值是（ ）
A．2B．-2C．12D．-12
2．一元二次方程x2-8x-1=0，配方后可变形为（ ）
A．x-42=17B．x-42=18C．x-82=1D．x-42=1
3．若点Ax1,2,Bx2,-1,Cx3,4都在反比例函数y=8x的图像上，则x1,x2,x3的大小关系是（ ）
A．x14．若关于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k<13B．k≤13C．k<13且k≠0D．k≤13且k≠0
5．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②AC2=AD⋅AB；③BCCD＝ABAC；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
第5题图 第6题图 第8题图
6．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A．CECB=ADDFB．DFAD=BCCEC．ADAF=BEBCD．ADDF=BCCE
7．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OEEA=43，则四边形EFGH的周长与四边形ABCD的周长之比是（ ）
A．43B．34C．169D．47
8．如图，已知点A为反比例函数y=kxk≠0,x<0的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为1，则k的值为（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，在△ABC中，若点D，E分别是AB，AC的中点，则△ADE与四边形BCED的面积比为（ ）
A．1:2B．1:3C．1:4D．3:4
10．如图，点A为反比例函数y=-1xx<0图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例y=4xx>0的图象交于点B，则AOBO的值为（ ）
A．12B．14C．33D．13
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若xy=23，则x+yy的值为 ．
12．设m是方程x2-x-2023=0的一个根，则m2-m+1的值为 ．
13．某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)的函数表达式为I=48R，当R=12Ω时，I的值为 A．
14．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程 ．
15．x2-4x-2=0的两根分别为m、n，则1m+1n= ．
16．符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，C、D两点都是AB的黄金分割点，若AB=2，则AC的长是 ．
第16题图 第17题图
17．如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2m，BP=1.8m，PD=24m，那么该大厦的高度约为 m．
18．对于实数a，b，如果满足a+b=ab，那么称a，b互为和等积数，点a,b为和等积点．如：由4+43=4×43，可知4的和等积数为43，点4,43为和等积点．已知直线y=4x-3与双曲线y=kx有一个交点是和等积点，则k的值为 ．
三、解答题（第19、20每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题每小题10分，共66分）
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，8），B（4，2），C（8，6）．在第一象限内，画出以原点O为位似中心，与△ABC的相似比为12的△A1B1C1，并写出A1，C1点的坐标．
20．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B,C,D，使得AB⊥BC,CD⊥BC，点E在BC上，并且点A,E,D在同一条直线上．若测得BC=30米，EC=10米，CD=20米，试求河的宽度AB．
21．解方程：
(1)3xx-2=x-2； (2)2x2-5x-3=0．
22．关于x的一元二次方程x2-6x+k-1=0．
(1)如果方程有实数根，求k的取值范围；
(2)如果x1，x2是这个方程的两个根，且x12+x22+3x1x2=24，求k的值．
23．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=63，AF=43，求AE的长．
24．如图，一次函数y=kx+bk≠0的图象与反比例函数y=mxm≠0的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(-3，4)，点B的坐标为(6，n)．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接OB，求△AOB的面积．
25．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
(1)若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；
(2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天所获利润能否达到22500元，如果能应该把销售单价定为多少元？如果不能，请说明理由
26．综合与探究：已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)(0(1)当AP=AQ时，t的值是 ；
(2)点P，Q同时出发，t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似；
(3)如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP'C，存在某一时刻t，使四边形PQP'C为菱形，直接写出此时t的值是 ；
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
参考答案：
1．B
【分析】把点2,-1代入反比例函数解析式即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点2,-1，
∴-1=k2，
解得k=-2，
故选：B
【点睛】此题考查了反比例函数，把点的坐标代入函数解析式准确计算是解题的关键．
2．A
【分析】移项后，两边配上一次项系数一半的平方可得．
【详解】解：移项得：x2-8x=1，
配方得x2-8x+16=1+16，即（x-4）2=17，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程－配方法，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵活选择方法是解题的关键．
3．B
【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出x2、x1、x3，然后进行比较即可．
【详解】将三点坐标分别代入函数解析式y=8x，得：
2=8x1，解得x1=4；
-1=8x2，解得x2=-8；
4=8x3，解得x3=2；
∵-8<2<4，
∴x2故选： B．
【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．
4．D
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．
【详解】解：∵kx2-2x+3=0为一元二次方程，
∴k≠0，
∵该一元二次方程有两个实数根，
∴Δ=-22-4k×3≥0，
解得k≤13，
∴k≤13且k≠0，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．
5．B
【分析】△ABC和△ACD有公共角∠A，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案．
【详解】∵∠DAC=∠CAB，
∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断
△ACD∽△ABC，故①正确，④不正确；
当AC2=AD⋅AB时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC，故②正确；
当BCCD＝ABAC时，虽∠DAC=∠CAB但不是夹角，所以△ACD与△ABC不相似，故③不正确．
因此有2个正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．
6．D
【分析】根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”进行判断即可．
【详解】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
∵BC和AD对应，CE和DF对应，BE和AF对应，
∴CECB=DFAD，ADAF=BCBE，
故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，确定出对应线段是解题的关键．
7．D
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【详解】∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，OEEA=43，
∴OEOA=EFAB=47，
则C四边形EFGHC四边形ABCD=EFAB=47
故选：D．
【点睛】本题考查了位似的概念、相似多边形的性质，注意：根据性质，周长的比等于相似比．
8．D
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义可得12k=1，然后去绝对值即可得．
【详解】解：由反比例函数的图象可知，k<0，
∵△OAB的面积为1，点A为反比例函数y=kxk≠0,x<0的图象上一点，且AB⊥y轴，
∴S△OAB=12k=1，
解得k=-2或k=2（舍去），
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，熟记反比例函数的比例系数k的几何意义是解题的关键．
9．B
【分析】本题考查三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键根据中位线定理得到DE∥BC，DE=BC，从而判定△ADE∽△ABC．
【详解】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，且DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，
∴S△ADES四边形BCED=13，
故选B．
10．A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，证明△AOC∽△OBD，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴S△ACO=12×-1=12，S△BDO=12×4=2，∠ACO=∠ODB=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC=∠OBD=90°-∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴S△ACOS△BDO=OAOB2，即122=OAOB2，
∴OAOB=12（负值舍去），
故选：A．
11．53
【分析】本题考查比例的性质，先根据题意得到x=23y，然后代入约分是解题的关键．
【详解】解：∵xy=23，
∴x=23y，
∴x+yy=23y+yy=53，
故答案为：53．
12．2024
【分析】由题意知，m2-m-2023=0，则m2-m=2023，代入求值即可．
【详解】解：由题意知，m2-m-2023=0，
∴m2-m=2023，
∴m2-m+1=2024，
故答案为：2024．
【点睛】本题考查了方程的根，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握方程的根的定义．
13．4
【分析】将R=12Ω代入I=48R中计算即可；
【详解】解：∵R=12Ω，
∴I=48R=4812=4 A
故答案为：4．
【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键．
14．301(1+x)2=500
【分析】根据变化前数量×(1+x)2=变化后数量，即可列出方程．
【详解】∵第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x．
∴第二个月新建了301(1+x)个充电桩，
∴第三个月新建了301(1+x)2个充电桩，
∵第三个月新建了500个充电桩，
于是有301(1+x)2=500，
故答案为301(1+x)2=500．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设平均增长率为x，则有a(1+x)n=b，其中a表示变化前数量，b表示变化后数量，n表示增长次数．解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长．
15．-2
【分析】依据题意，由根与系数的关系得，m+n=4，mn=-2，再由1m+1n=m+nmn进而代入可以得解．
【详解】解：由题意，根据根与系数的关系可得，
m+n=4，mn=-2，
∴1m+1n=m+nmn=4-2=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题时要熟练掌握并理解是关键．
16．5-1/-1+5
【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得AC=5-12AB，故可求得AC的长．
【详解】解：∵C、D两点都是AB的黄金分割点，AB=2，
∴ AC=5-12AB=5-12×2=5-1
故答案为：5-1
17．16
【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
因为小玲和新华大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．
【详解】解：根据题意，∠ABP=∠CDP,∠APB=∠CPD,
∴△ABP∽△CDP．
即ABCD=BPDP
故CD=PDBP×AB=241.8×1.2=16m；
那么该古城墙的高度是16m，
故答案为：16．
18．92或-12
【分析】设y=4x-3与双曲线y=kx的交点x1,y1是和等积点，利用定义得到x1+y1=x1y1，代入一次函数得到y1=4x1-3，进而得到4x12-8x1+3=0，求出x1=32或x1=12，由两个函数图象的相交得到4x12-3x1=k，代入即可求出k的值．
【详解】解：设y=4x-3与双曲线y=kx的交点x1,y1是和等积点，
∴x1+y1=x1y1，
∵y1=4x1-3，
∴x1+4x1-3=x14x1-3，
∴4x12-8x1+3=0，即2x1-32x1-1=0，
解得x1=32或x1=12，
∵4x1-3=kx1，则4x12-3x1=k，
∴k=92或-12，
故答案为：92或-12．
【点睛】此题考查了求反比例函数的解析式，解一元二次方程，一元二次方程的根的判别式，正确理解题意得到x1+y1=x1y1是解题的关键．
19．见解析，A1（2，4），C1（4，3）
【分析】把A、B、C的横纵坐标都乘以12得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可．
【详解】如图，△A1B1C1为所作，A1（2，4），C1（4，3）．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，解答本题的关键是掌握位似变换的定义．
20．40米
【分析】证得△ABE和△DCE相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠DCE=90°，
又∵∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，
∴△ABE∽△DCE，
∴ABDC=BECE，即AB20=30-1010，
∴AB=40米
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键．
21．(1)x1=2，x2=13
(2)x1=-12，x2=3
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：原方程可化为：x-23x-1＝0
∴x-2=0，或3x-1=0，
∴x1=2，x2=13；
（2）解：原方程可化为：2x+1x-3=0，
∴2x+1=0或x-3=0，
∴x1=-12，x2=3．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．
22．(1)k≤10
(2)k=-11
【分析】本题主要考查根的判别式，根与系数的关系，明确x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca是答题的关键．
（1）利用根的判别式进行求解即可；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=6，x1x2=k-1，再整理所求的式子，代入相应的值运算即可．
【详解】（1）解：∵方程有实数根，
∴Δ=-62-4k-1≥0，
解得：k≤10；
（2）∵x1，x2是这个方程的两个根，
∴x1+x2=6，x1x2=k-1，
∵x12+x22+3x1x2=24，
∴x1+x22+x1x2=24，
62+k-1=24，
解得：k=-11．
23．（1）见解析（2）6
【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似ΔADF∽ΔDEC；
（2）利用ΔADF∽ΔDEC，可以求出线段DE的长度；然后在RtΔADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在ΔADF与ΔDEC中，
{∠AFD=∠C∠ADF=∠DEC
∴ΔADF∽ΔDEC．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=8．
由（1）知ΔADF∽ΔDEC，
∴ ADDE=AFCD，
∴DE=AD⋅CDAF=63×843=12．
∵AD//BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠EAD=90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=DE2-AD2=122-(63)2=6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是证明ΔADF∽ΔDEC．
24．(1)反比例函数的解析式为:y=-12x，一次函数的解析式为：y=-23x+2；
(2)△AOB的面积为9．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是了解反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法确定函数解析式．
（1）先把(-3，4)代入反比例函数解析式得到m的值，从而确定反比例函数的解析式；再利用反比例函数解析式确定B点坐标为(6,-2)，即可用待定系数法确定所求的一次函数的解析式；
（2）先依据一次函数求得点C的坐标，分别求出S△AOC和S△BOC进而得到△AOB的面积；
【详解】（1）解：将A(-3，4)代入y=mx(m≠0)，得m=-3×4=-12
∴反比例函数的解析式为：y=-12x；
将B(6,n)代入y=-12x，得6n=-12，
解得n=-2，
∴B(6,-2)，
将A(-3,4)和B(6,-2)分别代入y=kx+b(k≠0)，得
-3k+b=46k+b=-2，
解得k=-23b=2，
∴所求的一次函数的解析式为：y=-23x+2；
（2）解： 连接OB，如图所示：

当y=0时，-23x+2=0，
解得：x=3，
∴C(3,0)，
∴S△AOC=12×3×4=6，S△BOC=12×3×2=3，
∴S△AOB=6+3=9
25．(1)5cm
(2)把销售单价定为75元，公司每天所获利润能达到22500元
【分析】（1）设出花边的宽，利用面积公式表示出其面积，即可列出方程求解；
（2）先根据题意设每件工艺品降价为x元出售，则降价x元后可卖出的总件数为200+20x件，每件获得的利润为100-x-40元，此时根据获得的利润=卖出的总件数×每件工艺品获得的利润-各种费用，列出二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：设花边的宽度为acm，根据题意得，
60-2a40-a=60×40-650，
整理得，a2-70a+325=0
解得a=5或a=65（舍去），
答：丝绸花边的宽度为5cm；
（2）设每件工艺品降价x元出售，根据题意得，
100-x-40200+20x-2000=22500，
整理得，x2-50x+625=0，
解得x1=x2=25，
∴销售单价定为100-25=75（元），
答：把销售单价定为75元，公司每天所获利润能达到22500元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出一元二次方程模型．
26．(1)103
(2)207或5013
(3)存在，t=209
【分析】（1）利用勾股定理求出AB，再结合AP=AQ以及两点的速度列出方程，解之即可；
（2）利用勾股定理求出AB，再根据题意知：AP=(5-t)cm，AQ=2t cm，当PQ∥BC，则△AQP∽△ACB，利用其对应边成比例即可求得t，当PQ⊥AB，则△APQ∽△ACB，利用其对应边成比例即可求得t．
（3）过点P作PE⊥BC、PF⊥AC，分别交BC于E、交AC于F，则四边形CEPF是矩形，证明△PBE∽△ABC，得出比例式，由题意得出方程，解方程求出t的值即可．
【详解】（1）解：∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=AC2+BC2=10cm，
∵AP=AQ，
∴10-t=2t，
∴t=103；
（2）由题意知：AP=(10-t)cm，AQ=2t，
当PQ∥BC，则△AQP∽△ACB，
∴ AQAC=APAB，
∴ 2t8=10-t10，
∴t=207，207<4；
当PQ⊥AB，则△APQ∽△ACB，
∴ AQAB=APAC，
∴ 2t10=10-t8，
∴t=5013<4，
∴当t=207或5013时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
故答案为：207或5013；
（3）过点P作PE⊥BC、PF⊥AC，分别交BC于E、交AC于F，如图所示：
∴∠BEP=∠BCA=∠PFC=90°，
∴四边形CEPF是矩形，
当PE=12QC时，即FC=FQ时，△PCQ为等腰三角形，
此时把△PCQ沿QC翻折得到四边形PQP'C是菱形，
∵∠B=∠B，
∴△PBE∽△ABC，
∴ PBAB=PEAC，
即t10=PE8，
解得：PE=4t5，
∵QC=8-2t，
∴ 4t5=12(8-2t)，
解得：t=209，
∴当t=209时，四边形PQP'C是菱形．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过三角形相似才能得出结果．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
D
B
D
D
D
B
A