赤峰二中2025届高三上学期10月第二次月考数学试卷(含答案)

这是一份赤峰二中2025届高三上学期10月第二次月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知全集,集合,,则图中阴影部分表示的集合为( )
A.B.
C.D.
2．命题“”的否定是( )
A.B.
C.D.
3．已知，则下列不等式正确的是( )
A.B.
C.D.
4．设，，，则( ).
A.B.C.D.
5．数列满足，且对于任意的都满足，则数列的前n项和为( )
A.B.C.D.
6．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为( )
（参考数据：，，，）
A.B.C.D.
7．函数的大致图象为( )
A.B.
C.D.
8．若定义在R上的函数满足，是奇函数，,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是( )
A.B.C.D.
10．已知，且，则下列不等式恒成立的是( )
A.的最小值为2B.的最小值为
C.的最大值为1D.的最小值为2
11．设正项等比数列的公比为q,前n项和为,前n项积为,则下列选项正确的是( )
A.
B.若,则
C.若,则当取得最小值时,
D.若,则
三、填空题
12．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_________.
13．已知表示不超过x的最大整数，如，，.若，则x的取值范围是_________.
14．已知实数，若关于x的方程有四个不同的实数根，则t的取值范围为___________.
四、解答题
15．已知,.
（1）求的值；
（2）求的值.
16．已知数列的前n项和为，其中，且.
（1）求的通项公式.
（2）设，求的前n项和.
17．已知函数为奇函数.
（1）解不等式;
（2）设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求实数m的取值范围.
18．已知函数，，，令.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值.
19．对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”.
（1）求20以内的质数“理想数”；
（2）已知.求m的值；
（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意,
阴影部分为.
故选：D.
2．答案：C
解析：命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“”的否定是.
故选：C
3．答案：D
解析：取，，，则，故A错误；
取，，，则，故B错误；
取，，则，故C错误；
因为，所以，所以，故D正确.
故选：D
4．答案：D
解析：因为，，，
所以.
故选：D.
5．答案：B
解析：依题意，由，得，
故数列是首项为1，公差为3的等差数列，
所以，则，
所以数列的前n项和为.
故选：B
6．答案：B
解析：由题意可知，当时，，则，解得，
所以，
当时，，即，
则
，
所以茶水泡制时间大的为7min.
故选：B.
7．答案：C
解析：
故是偶函数，
当时，，，
令，解得；令，解得
即在上单调递减，在上单调递增，又，
故选：C
8．答案：D
解析：由，得，则，即函数的周期为4，
由是R上的奇函数，得，即，
于是，，即，
因此，AB错误；
由，取，得，则，
因此，取，得，
于是，
则，C错误，D正确.
故选：D
9．答案：BC
解析：由题意得，
当时，，
当时，，
因为p是q的必要不充分条件，所以，
所以时满足题意，当或时，也满足题意，解得或，
故选：BC
10．答案：AC
解析：对于A，，
所以，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，
当且仅当时，，时等号成立，故B错误；
对于C，，故，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，由A知，，故，
故，，当且仅当时，等号成立，
故的最大值为2，故D错误.
故选：AC
11．答案：AB
解析：因为数列为正项等比数列,则,,,
对于选项A:因为
,
所以,故A正确;
对于选项B:若,则,
所以,故B正确;
对于选项C:因为,则,
当且仅当时,等号成立,
若取得最小值,则,
即,解得,故C错误;
对于选项D:例如,,
则,,
可得,,
因为,则,可得,即,
符合题意,但,故D错误;
故选:AB.
12．答案：1
解析：由，得，，
故曲线在处的切线方程为；
由，得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，
则切点为，切线方程为，
根据两切线重合，解得.
故答案为：1.
13．答案：
解析：依题意，因为，
若，则，不符题意；
若，则，不符题意；
若，则，满足条件，
则.
解得，即.
故答案为：.
14．答案：
解析：当时，，单调递减，当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，在时，取得最小值，
画出的图象如图所示：
令，则方程为，要想方程有四个不同的实数根，结合的图象可知需要满足：有两个不同的实数根，，且，，
令，则，解得：
t的取值范围
故答案为：
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，所以，
所以，即.
因为，则，所以，，
因为，所以.
（2）由解得，，
所以；
所以
.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由，可得，则，
两式相减，可得，即，
又由，易知，
所以当时，，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，可得，
则，
所以，
两式相减得
，
所以.
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）函数中,,由是奇函数,得,
即,整理得,解得,
函数定义域为,
由,得,即,整理得,解得,
所以不等式的解集为.
（2）因为函数在上单调递增,
故当时,,
由（1）得在的值域,
又,
设,则,,
当时,,当时,,
因此函数在上的值域,
由对任意的,总存在,使得成立,得,
于是,解得,
所以实数m的取值范围是.
18．答案：（1）答案见解析；
（2）2
解析：（1）因为，所以，
当时，所以在区间上单调递增
当时，令，即，又，解得，
令，即，又，解得，
综上，当时，的增区间为，无减区间
当时，的增区间为，减区间为.
（2）令，
所以.
当时，因为，所以.
所以在上是单调递增函数，
又因为，
所以关于x的不等式不能恒成立，
即关于x的不等式不能恒成立.
当时，.
令，得，
所以当时，；当时，.
因此函数在是增函数，在是减函数.
故函数的最大值为.
令，，当时，
所以在上是减函数，
又因为，，
所以当时，，所以恒成立，即恒成立
所以整数m的最小值为2.
19．答案：（1）2和5为两个质数“理想数”；
（2）m的值为12或18；
（3）证明见解析
解析：（1）20以内的质数为2,3,5,7,11,13,17,19，
，故，所以2为“理想数”；
，而，故3不是“理想数”；
，而，故5是“理想数”；
，而，故7不是“理想数”；
，而，故11不是“理想数”；
，而，故13不是“理想数”；
，而，故17不是“理想数”；
，而，故19不是“理想数”；
2和5为两个质数“理想数”；
（2）由题设可知必为奇数，m必为偶数，
存在正整数p，使得，即：
，且，
，或，或，解得，或，
，或，即m的值为12或18.
（3）显然偶数"理想数"必为形如的整数，
下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：，，，…，，
若奇数，不妨设，
若m为"理想数"，则(且)，即(且)，
①当(且)时，；
②当时，；
(且)，
又，即，
易知为上述不等式的唯一整数解，
区间存在唯一的奇数"理想数"(且)，
显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为，
所有的奇数"理想数"的倒数为，
，即.