湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,则( )
A.B.C.D.
2．设集合,则( )
A.B.C.D.
3．若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形,则该圆锥的表面积为( )
A.B.C.D.
4．若角满足，则( )
A.B.C.D.
5．已知平面上三个单位向量,,满足,则( )
A.B.C.D.
6．若函数在定义域上的值域为,则称为“函数”.已知函数是“函数”,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知A,B两点的坐标分别为,,两条直线和的交点为P,则的最大值为( )
A.B.C.1D.2
8．已知点P在椭圆()上,点P在第一象限,点P关于原点O的对称点为A,点P关于x轴的对称点为Q,设,直线AD与椭圆的另一个交点为B,若PA⊥PB,则椭圆的离心率( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若圆上至多存在一点,使得该点到直线的距离为2,则实数a可能为( )
A.5B.6C.7D.8
10．已知函数的定义域为R,为偶函数,为奇函数,则下列选项正确的是( )
A.的图象关于直线对称
B.的图象关于点对称
C.
D.的一个周期为8
11．在棱长均为1的三棱柱中,,点T满足,其中x,y,,则下列说法一定正确的有( )
A.当点T为三角形的重心时,
B.当时,AT的最小值为
C.当点T在平面内时,的最大值为2
D.当时,点T到的距离的最小值为
三、填空题
12．已知随机事件A,B满足,,,则________.
13．已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为和,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为________.
14．已知2024是不等式的最小整数解,则a的取值范围为________.
四、解答题
15．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为;误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为.假设数据在组内均匀分布.
（1）当漏诊率时,求临界值c和误诊率;
（2）已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100,且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图（图2）,临界值,从样本中该医学指标在上的未患病者中随机抽取2人,则2人中恰有一人为被误诊者的概率是多少?
16．已知圆,过点的直线l与圆C交于A,B两点,点M满足,其中O为坐标原点.
（1）求点M的轨迹方程;
（2）若的面积为2,求.
17．如图,在四棱锥中,底面ABCD是矩形,,,,点M,N分别是棱BC,PD的中点.
（1）求证:平面PAB;
（2）若平面平面PCD,求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.
18．已知是椭圆上一点,以点P及椭圆的左、右焦点,为顶点的三角形面积为2.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过作斜率存在且互相垂直的直线,,M是与C两交点的中点,N是与C两交点的中点,求面积的最大值.
19．基本不等式是最基本的重要不等式之一,二元基本不等式为.由低维到高维,知识与方法上的类比是探索发展的重要途径,是发现新问题、新结论的重要方法.基本不等式可以推广到一般的情形:对于n个正数,,…,,它们的算术平均数（注:）不小于它们的几何平均数（注:）,即,当且仅当时,等号成立.
（1）已知,求的最小值;
（2）已知,,…,且.
（ⅰ）求证:;
（ⅱ）当,求的最小值,其中.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意得,
故选:A
2．答案：C
解析：由题意可得,所以,
因为,所以,所以,
所以,
故选:C.
3．答案：B
解析：设圆锥的底面半径为r,
由于圆锥的轴截面是等边三角形,则该圆锥的高为,母线长为2r,
又轴截面面积为,故,
则该圆锥的表面积为,
故选:B
4．答案：B
解析：由，得，
即，则
所以
.
故选：B
5．答案：C
解析：由题意知平面上三个单位向量,,满足,则,
即,则,
故,
故选:C
6．答案：C
解析：由题意可知的定义域为,
又因为函数是“函数”,故其值域为;
而,,则值域为;
当时,,
当时,,此时函数在上单调递增,则,
故由函数是“函数”可得,
解得,即实数m的取值范围是,
故选:C
7．答案：D
解析：由题意可得直线恒过定点,恒过定点,
且两直线的斜率之积为,所以两直线相互垂直,
所以点P在以线段AB为直径的圆上运动,
,设,
则,
所以,
所以当时,即时,取得最大值,此时点P的坐标为.
故选:D.
8．答案：C
解析：设,则,,,则,设,
则两式相减得到:,
,,即,
,故,即,故,故.
故选:C.
9．答案：BCD
解析：圆即圆,
需满足,则圆心为,半径为
圆心到直线的距离为,
要使圆上至多存在一点,使得该点到直线的距离为2,
需满足,解得,结合选项可知6,7,8符合题意,
故选:BCD
10．答案：ABD
解析：由于函数的定义域为R,为偶函数,
则,即,则的图象关于直线对称,A正确;
又为奇函数,则,即,
故的图象关于点对称,B正确;
由于,令,则,
又的图象关于直线对称,故,C错误;
又,,则,
故,即,则,
即的一个周期为8,D正确,
故选:ABD
11．答案：BCD
解析：对于A,当点为三角形的重心时,,
所以,又因为,
所以,所以,故A错误;
对于B,
,
因为,所以,
则
,
当且仅当时取等号,
所以,
所以,所以AT的最小值为,故B正确;
对于C,当点T在平面内时,
则存在唯一实数对使得,
则,又因为,
所以,所以,
因为,所以,所以的最大值为2,故C正确;
对于D,当时,由A选项知,
,
在方向上的投影为,
所以点T到的距离,
因为,所以,当且仅当时,取等号,
所以点T到的距离的最小值为,故D正确.
故选:BCD.
12．答案：
解析：由题意可知,,,
故,
则,
故答案为:
13．答案：
解析：由题意设三棱台为,如图,
上底面所在平面截球所得圆的半径是,(为上底面截面圆的圆心)
下底面所在平面截球所得圆的半径是,(为下底面截面圆的圆心)
由正三棱台的性质可知,其外接球的球心O在直线上,
当O在线段上时,轴截面中由几何知识可得,无解;
当O在的延长线上时,可得,解得,
因此球的表面积是.
故答案为:
14．答案：
解析：由题意可得,
变形不等式可得,
当时,
有,由指数函数和对数函数的互化并整理可得,
即,解得或（舍去）,
从而,
又时,
所以要使2024是不等式的最小整数解,有,
解得,
所以,
当时,注意到,
此时,不等式的分子大于零,不符合题意,
综上,a的取值范围为.
故答案为:.
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）依题可知,图1第一个小矩形的面积为,所以,
所以,解得,
.
（2）由题可知,100个未患病者中,该项医学指标在中的有人,
其中被误诊者有人,
记随机抽取的2人恰有一人为被误诊者为事件A.分别用a,b,c,d,E,F表示这6人,E,F代表被误诊的2人,
样本空间,
事件,故,,
,故2人中恰有一人为被误诊者的概率是.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由可得点M为线段AB的中点,设,
圆方程化为标准方程为,所以圆心,半径,
所以,,
因为,所以,
整理可得,
所以点的轨迹方程为,
（2）设圆心到直线的距离为d,
因为M为AB的中点,且,的面积为2,,
所以,即,解得,
由弦长公式可得.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:取PA的中点为Q,连接NQ,BQ,如图:
又点N是PD的中点,则且,
又点M是BC的中点,底面ABCD是矩形,
则且,
且,四边形MNQB是平行四边形,,
又平面PAB,平面PAB,平面PAB;
（2）过点P作交AB于点E,作交CD于点F,连接EF,
则,,平面PEF,
又平面ABCD,平面平面ABCD,
,,,
,,,.
设平面平面,可知,
平面平面PCD,,,
取EF的中点为O,连接OP、OM,则平面ABCD,,
OM、OF、OP两两垂直,
以O为坐标原点,分别以OM、OF、OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,,如图所示,
则,,,,,
,,,
设平面PCD的一个法向量为,
则由,令可得.
设直线MN与平面PCD所成角为,
则
直线MN与平面PCD所成角的正弦值为.
18．答案：（1）;
（2）
解析：（1）由题意可得,解得:,,
椭圆的标准方程为:;
（2）由（1）可得右焦点,
由题意设直线的方程为:,设直线与椭圆的交点,,,,则中点的纵坐标为,
联立直线与椭圆的方程,
整理可得:,,,
同理可得直线与椭圆的交点的纵坐标,
,
设,令,则,令,,
,,恒成立,在单调递增,
.
面积的最大值为:.
19．答案：（1）3
（2）（ⅰ）证明见解析
（ⅱ）
解析：（1）由均值不等式得.
而当,时,有,.
所以的最小值是3.
（2）（ⅰ）由于,,…,,,故对,2,…,n,由均值不等式有
,
.
将二者相乘,得.
再将该不等式对,2,…,n相乘,即得
.
（ⅱ）对,设.
则,.
对,设,.
则,,所以在上递增.
所以对有,对有.
这表明在上递减,在上递增,
所以由有.
这就得到,同理有,
即.
再设,.
则,.
所以在上递减.
而,.
所以一定存在,使得对有,对有.
故在上递增,在上递减,而,结合的单调性,知对任意有.
特别地,有,即,此即.
对,同理有.
而对,显然有.
综上,对任意a,,有.
先证明一个引理:设,,…,,则.
用数学归纳法证明.
①当时,结论显然成立.
②若结论对成立,则对,有
.
从而结论对也成立.
结合①②,可知原结论对无穷多个正整数n成立.
③若结论对成立,则对,,…,,有
.
从而结论对也成立.
由于原结论对无穷多个正整数n成立,再结合③,即知原结论对任意的正整数n成立.
引理证毕,回到原题.
由于我们有,
故
.
而当时,有.
所以的最小值是.