南京市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份南京市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知，则“”是“直线与直线垂直”的( )
A.充要条件B.必要而不充分条件
C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件
2．若数列满足，，则( )
A.B.C.D.
3．已知函数的定义域为R，其导函数为，的部分图象如图所示，则( )
A.在区间上单独递减
B.的一个增区间为
C.的一个极大值为
D.的最大值为
4．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若,，则( )
A.2B.C.D.
5．已知点，点Q在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程是( )
A.B.C.D.
6．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2的一个树形图，记图2中第n行黑圈的个数为，白圈的个数为，若，则( )
A.34B.35C.88D.89
7．三个数，，的大小顺序为( )
A.B.C.D.
8．已知,分别为双曲线左,右焦点,过点的直线与双曲线C的左,右两支分别交于M,N两点,且,,则双曲线C的离心率是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知圆和圆交于A，B两点，则( ).
A.两圆的圆心距
B.两圆有3条公切线
C.直线的方程为
D.圆上的点到直线的最大距离为
10．设等差数列的前项和为,公差为d,已知,,,则( )
A.
B.
C.时,n的最小值为13
D.最大时,
11．抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线l与抛物线相交于A，B两点，点，下列结论正确的是( )
A.抛物线的方程为
B.存在直线l，使得A、B两点关于对称
C.的最小值为6
D.当直线l过焦点F时，以为直径的圆与y轴相切
12．已知有序数对满足，有序数对满足，定义，则( )
A.D的最小值为
B.D取最小值时的值为
C.D的最小值为
D.D取最小值时的值为
三、填空题
13．在平面直角坐标系中，,是直线l上不同的两点，直线l上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量.已知直线l的一个方向向量坐标为，则直线l的倾斜角为______.
14．已知椭圆的焦距为8，过椭圆的一个焦点，做垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则______.
15．设函数的导数为，且，则______.
16．已知数列满足，，则数列的通项公式为______，若数列的前n项和，则满足不等式的n的最小值为______.
四、解答题
17．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的解集.
18．在数列中，，
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和.
19．已知圆C的圆心在直线上，且经过点，.
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点的直线l与圆C相交于M，N两点，且，求直线l的方程.
20．已知公差不为0的等差数列的首项，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和.
21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆C交于A，B两点，若的周长为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设P为椭圆C上的动点，过原点作直线与椭圆C分别交于点M、N（点P不在直线上），求面积的最大值.
22．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在不相等的实数，，使得，证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：“直线与直线垂直”的充要条件为或，因此“”是“直线与直线垂直”的充分而不必要条件，选C.
2．答案：C
解析：数列满足，，，
，，，，
是周期为3的周期数列，
而，
故.
故选：C.
3．答案：B
解析：结合图象：
时，,递增，故A错误，B正确；
时，,递减，故是的极大值点，是函数的一个极大值，但不一定是最大值，即D错误；
是函数的一个极小值，即C错误；故选：B.
4．答案：C
解析：由题意可得，解得，
所以.
故选：C.
5．答案：C
解析：由题意，，
在圆中，点Q在圆上，线段的中点为M，
设，则，
，即：，
故选：C.
6．答案：C
解析：由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈，所以有，，又因为，，所以，，，，，，，，，，，.
故选：D.
7．答案：D
解析：据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，并且可得出，，，从而得出a，b，c的大小顺序.
解析：设，，
时，，在上单调递减，
又，，，且
，
.
故选：D.
8．答案：C
解析：由,结合正弦定理得,
因为,所以,.
又,即,
则,所以.
设,则,
又,则,解得,
所以,,
所以是正三角形,从而.
在中,由,
得,得,所以.
故选:C.
9．答案：CD
解析：根据题意，圆，即，其圆心，半径；
圆，即，其圆心，半径；
依次分析选项：
对于A，两圆的圆心距，所以A错误；
对于B，由于，两圆相交，有2条公切线，B错误；
对于C，两个圆的方程作差可得，即，故直线的方程为，C正确；
对于D，圆到直线的距离，则圆上的点到直线的最大距离为，所以D正确.
故选：CD.
10．答案：AC
解析：对于A,由,则,又,则,故A正确;
对于B,结合选项A知,,,
又,所以,解得,故B错误;
对于C,结合选项A知,又,所以时,n的最小值为13,故C正确;
对于D,结合选项A和B知,当时,,当时,,所以当最大时,,故D错误.
故选：AC.
11．答案：ACD
解析：,故，,故,A正确；
设,,设中点，则，相减得到,即,因为A、B两点关于对称，所以,故,故,点在抛物线上，不成立，故不存在，B错误；
过P作垂直于准线于E,则，当P,E,M共线时等号成立，故C正确；
如图所示：G为中点，故,故为直径的圆与y轴相切，故D正确；
故选：ACD.
12．答案：BC
解析：由，得：，
的最小值可转化为函数图象上的点到直线上的点的距离的平方的最小值，
由得：，
与直线平行的直线的斜率为，
则令，解得:，
切点坐标为，
到直线的距离.
即函数上的点到直线上的点的距离的最小值为.
所以的最小值为
过与垂直的直线为，即.
由，解得：，即当D最小时，.
故选：BC.
13．答案：
解析：直线l的一个方向向量为
,
,
直线l倾斜角为.
14．答案：
解析：椭圆的左焦点为，把代入中，
得，,
15．答案：1
解析：因为，所以，
令，则，即，
解得，所以，
所以.
故答案为：1.
16．答案：①；②6
解析：在数列中，，由得：，而，
于是得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则，即，
所以数列的通项公式为；
显然，，
则
，由得：，即，
令，则，即数列是递增数列，
由，得，而，因此，，从而得，，
所以满足不等式的n的最小值为6.
故答案为：；6.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）依题意，函数的定义域为，
且，
，
，
因此，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）依题意，函数的定义域为，
且，令且，
，
故不等式的解集为
18．答案：（1）是首项为1，公比为4的等比数列；
（2）
解析：（1）证明：由，得.
又，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列.
（2）由（1）)可知，
所以数列的通项公式为，
所以数列的前n项和.
19．答案：（1）；
（2），
解析：（1）设圆的方程为，
则，，，
联立解得，，，
圆C的方程为，即.
（2）直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为，则，满足.
直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
圆心到直线l的距离，
由题意可得，
解得，
直线l的方程为，即.
综上可得直线l的方程为：，.
20．答案：（1）；
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d.
由，得.
因为，所以.
所以.
（2）.①
.②
②-①得：.
.
当时，，
.
上两式相减得：
.
.
21．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由椭圆的定义可知三角形的周长为，所以，
又离心率，所以，则，
所以椭圆的方程为；
（2）①当直线不与x轴垂直时，设直线的方程为，，，
代入椭圆方程可得：，,
则
设与平行且与椭圆相切的直线方程为，
代入椭圆方程可得：，
则解得，
则点P到的最大距离为两平行线间的距离，
，
所以三角形的面积的最大值为
②若直线与x轴垂直时，则P在长轴顶点时三角形的面积取得最大值，
且此时的面积为，综上，三角形的面积的最大值为.
22．答案：（1）答案见解析；
（2）证明见解析
解析：（1）函数的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，由得，所以在上单调递增；
由得，所以在上单调递减；
故当时，所以在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：，，
由（1）可知，当时，在上是增函数，
故不存在不相等的实数，，使得，所以.
由得，即，
不妨设，则，则，
要证，只需证，
即证，只需证，
令，则只需证，即证，
令，则，
所以在上是增函数，所以，
从而，故.