山东省部分名校2024-2025学年高二上学期9月质量检测数学（B1）试卷(含答案)

这是一份山东省部分名校2024-2025学年高二上学期9月质量检测数学（B1）试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知空间向量,,且,则( )
A.-4B.4C.2D.-2
2．已知在正四面体中,,,则向量与的夹角为( )
A.B.C.D.
3．有一个正十二面体,如图所示.其12个面上分别写着1到12这12个连续的整数.投掷这个正十二面体一次,则向上一面的数是素数的概率为( )
A.B.C.D.
4．已知为空间的一个基底,则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
5．已知是直线l的一个方向向量,是平面的一个法向量.若,则下列选项可能正确的是( )
A.,B.,
C.,D.,
6．已知在空间直角坐标系中,,在方向上的投影向量为,则点B到直线的距离为( )
A.B.C.D.2
7．在三棱锥中,G为的重心,,,,,若交平面于点M,且,则的最小值为( )
A.B.C.1D.
8．如图,在正方体中,点P满足.设二面角的平面角为,则当增大时,的大小变化为( )
A.增大B.减小C.先增大后减小D.先减小后增大
二、多项选择题
9．有四个盲盒,每个盲盒内都有3个水晶崽崽,其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽､蓝色水晶崽崽､粉色水晶崽崽,剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有.现从中任选一个盲盒,设事件为“所选盲盒中有红色水晶崽崽”,B为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”,C为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”,则( )
A.A与B不互斥B.
C.D.A与B相互独立
10．在长方体中,,,,P为长方体表面上一动点,则的值可能是( )
A.-15B.-10C.-5D.2
11．已知四棱柱的底面是边长为4的菱形,平面,,,点M满足,其中.若,则的值可能为( )
A.B.C.8D.
三、填空题
12．已知空间单位向量,满足,则___________.
13．在空间直角坐标系中,点,,,均在球的同一个大圆（球面被经过球心的平面截得的圆）上,则球的表面积为____________.
14．如图,图中共有10个交汇点：A,B,C,D,E,F,G,H,P,Q.已知质点甲在P地,质点乙在Q地,若每经过一次移动,两质点都将等可能地随机移动到与之相邻的任意一个交汇点,则同时经过两次移动后,两质点移动到同一个交汇点的概率为_____________.
四、解答题
15．如图,在正方体中,E,F,M分别为棱,,的中点,.
(1)试用,,表示,.
(2)证明：A,E,F,四点共面.
(3)证明：M,N,D三点共线.
16．如图,在四棱锥中,,,,,.
(1)证明：平面.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．某知识比赛积分规则如下：参赛队胜一场积3分,平一场积1分,负一场积0分.某校代表队参加该次知识比赛,已知该校代表队与队进行一场红色知识比赛获胜的概率为,平的概率为,负的概率为;与队进行一场科技知识比赛获胜的概率为,平的概率为,负的概率为.这两场比赛结果相互独立.
(1)求该校代表队与A队进行红色知识比赛获得积分超过与B队进行科技知识比赛获得积分的概率;
(2)求该校代表队与A队进行红色知识比赛和与B队进行科技知识比赛获得的积分之和不小于4分的概率.
18．在如图1所示的图形中,四边形为菱形,,和均为直角三角形,,,现沿,将和进行翻折,使（,在平面同侧）,如图2.
(1)当二面角为时,判断与平面是否平行;
(2)探究当二面角为时,平面与平面是否垂直;
(3)在(2)的条件下,求平面与平面夹角的余弦值.
19．若在空间直角坐标系中,直线的方向向量为,且过点,直线的方向向量为,且过点,则与方向向量的叉积为,与的混合积为.若,则与共面;若,则与异面.已知直线的一个方向向量为,且过点,直线b的一个方向向量为,且过点.
(1)证明：a与b是异面直线.
(2)若点,,求的长的最小值.
(3)若O为坐标原点,直线,,,,求的坐标.
参考答案
1．答案：D
解析：依题意得,
解得.
故选：D.
2．答案：A
解析：根据题意可得P,Q分别为,的中点,则.
因为,所以.
故选：A.
3．答案：C
解析：投掷这个正十二面体一次,则向上一面的数是素数的情况有2,3,5,7,11,则向上一面的数是素数的概率为.
故选：C
4．答案：B
解析：,A错误.
设,,,不共面,所以不存在x,y使其成立,故三个向量不共面,B正确.
,C错误.
,D错误.
故选：B
5．答案：C
解析：因为,所以.
对于A,,A错误;
对于B,,B错误;
对于C,,C正确;
对于D,,D错误.
故选：C.
6．答案：B
解析：根据题意可得点B到直线的距离为.
故选：B.
7．答案：C
解析： ,
.
,,
.
M,D,E,F四点共面,
,即.
,当且仅当时,等号成立,
的最小值为1.
故选：C.
8．答案：A
解析：以D为原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.
设,则,,,,
所以,,.
设平面的法向量为,则得
取.
连接,,,,由于,故,,易得平面的一个法向量为,
所以.
因为,,所以的值随着的增大而减小,则钝角随着的增大而增大.由图可知为钝角,所以随着的增大而增大.
故选：A
9．答案：ACD
解析：对于A,A和B可以同时发生,故A正确;
对于B,因为,,
所以,故B错误;
对于C,,故C正确;
对于D,因为,所以,故D正确;
故选：ACD.
10．答案：BC
解析：以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则,.
设,则,,
所以.
设,连接,则,
因为Q为长方体的中心,所以.
因为,,所以,所以.
故选：BC.
11．答案：BCD
解析：因为点M满足,所以易得点M在底面上,
连接,则,,得.
因为平面,平面,所以,则.
因为,且当点M与点或重合时,取得最大值,
最大值为4,所以,即的取值范围为.
故选：BCD.
12．答案：2
解析：因为,是空间单位向量,所以,,
又,
则,
所以,
故答案为：2.
13．答案：
解析：由,,
得,则,
所以为直角三角形,
则即外接圆的直径,即是球的直径.
因为,
所以,得球的半径为,
故球的表面积为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意可得同时经过两次移动后,两质点都移动到交汇点A的概率为,
易得同时经过两次移动后,两质点都移动到交汇点A,B,G,H的概率相等.
同时经过两次移动后,两质点都移动到交汇点C的概率为,
易得同时经过两次移动后,两质点都移动到交汇点C,D,E,F的概率相等.
故同时经过两次移动后,两质点移动到同一个交汇点的概率为.
故答案为：.
15．答案：(1),
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：(1)依题意可得,
(2)连接,因为
所以,
则,,共面,故A,E,F,四点共面.
(3)连接,.
因为,
,
所以,则.
因为,所以M,N,D三点共线.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：取的中点E,连接.因为,所以.
因为,,所以四边形是平行四边形,
所以,.
因为,,所以,所以.
因为,,所以.
因为,,,平面,且,所以平面.
(2)易证,,两两垂直,则以A为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系.

由题中数据可得,,,,
则,,.
设平面的法向量为,
则,令,得.
设直线与平面所成的角为,
则.
故直线与平面所成角的正弦值为.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)设事件为“该校代表队与队进行一场红色知识比赛获得积分3分,与B队进行一场科技知识比赛获得积分1分”,则;
事件为“该校代表队与队进行一场红色知识比赛获得积分3分,与B队进行一场科技知识比赛获得积分0分”,则;
事件为“该校代表队与A队进行一场红色知识比赛获得积分1分,与B队进行一场科技知识比赛获得积分0分”,则.
故该校代表队与A队进行红色知识比赛获得积分超过与B队进行科技知识比赛获得积分的概率为.
(2)设事件为“该校代表队与A队进行红色知识比赛和与B队进行科技知识比赛获得的积分之和等于4分”,则;
设事件为“该校代表队与A队进行红色知识比赛和与B队进行科技知识比赛获得的积分之和等于6分”,则.
故该校代表队与A队进行红色知识比赛和与B队进行科技知识比赛获得的积分之和不小于4分的概率为.
18．答案：(1)不与平面平行
(2)平面不与平面垂直
(3)
解析：(1)若二面角为,则平面平面,
因为平面平面,且,所以平面,
如图,以D为坐标原点,,的方向分别为x,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
设平面的法向量为,因为,,
所以令,得,
因为,所以,
所以不与平面平行.
(2)取的中点E,连接,则,
因为,所以二面角的平面角为,即,
如图,以D为坐标原点,,的方向分别为x,y轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则,,,,
设平面的法向量为,因为,,
所以令,得,
设平面的法向量为,
因为,,
所以令,得,
因为,所以不垂直,所以平面不与平面垂直.
(3)在(2)中的坐标系中,设平面的法向量为,
因为,,
所以令,得,
设平面与平面的夹角为,则,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：(1)由题意得,
因为,
所以,故a与b是异面直线.
(2)设与,都垂直的向量,
由,可取,
则的长的最小值为.
(3)（方法一）由题意可设,,
则,
设平面的一个法向量为,
则,取,
由,解得,
则.
（方法二）由题意可设,,
,,
则,
由(2)得,
则,解得,
故.