山东省济南市莱芜第一中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段性测数学试卷(含答案)

这是一份山东省济南市莱芜第一中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段性测数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知点关于z轴的对称点为B，则等于( )
A.B.C.2D.
2．直线的一个方向向量为( )
A.B.C.D.
3．在空间四边形中，E，F分别为，的中点，则( )
A.B.C.D.
4．已知点,,,若A,B,C三点共线,则a,b的值分别是( )
A.,3B.,2C.1,3D.,2
5．“”是“直线与直线垂直”的( )
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
6．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为( )
A.B.C.D.6
7．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为( )
A.B.C.D.
8．已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）.在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是( )
A.
B.当时，
C.若，，则
D.平行六面体的体积
二、多项选择题
9．已知直线，，，则下列结论正确的是( )
A.直线l恒过定点
B.当时，直线l的倾斜角为
C.当时，直线l的斜率不存在
D.当时，直线l与直线垂直
10．已知向量,,则下列结论正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.的最小值为D.的最大值为4
11．已知四面体满足，，则( )
A.直线与所成的角为
B.直线与所成的角为
C.点M为直线上的动点，M到距离的最小值为
D.二面角平面角的余弦值为
三、填空题
12．在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数________.
13．已知，设直线，，若，则________.
14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，当的长最小时，平面与平面夹角的正弦值为________.
四、解答题
15．菱形的顶点A，C的坐标分别为，，边所在直线过点.
(1)求，边所在直线的方程；
(2)求对角线所在直线的方程.
16．如图，在正四棱柱中，，，E，F分别为，的中点.
(1)证明：平面.
(2)求与平面所成角的正弦值.
17．已知直线.
（1）求证：直线l经过一个定点；
（2）若直线l交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
18．如图，直角梯形中，，，B、M分别为、边的中点，将沿边折起到的位置，N为边的中点.
(1)证明：平面；
(2)当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面与平面夹角的正切值.
19．如图，在三棱台中，，，N为的中点，二面角的大小为.
（1）求证：；
（2）若，求三棱台的体积；
（3）若A到平面的距离为，求的值.
参考答案
1．答案：D
解析：点关于z轴的对称点为，
所以.
故选：D
2．答案：B
解析：由得，，
所以直线的一个方向向量为，
而，所以也是直线的一个方向向量.
故选：B.
3．答案：C
解析：在空间四边形中，E为的中点，则，
所以.
故选：C
4．答案：D
解析：因为,,,
所以,,
因为A,B,C三点共线,所以存在实数k,使,
所以,
所以,解得,,.
故选:D
5．答案：C
解析：由直线与直线垂直，
得，解得或，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.
故选：C
6．答案：C
解析：因为，
所以
，
从而，即的长为.
故选：C.
7．答案：A
解析：由重心坐标公式可得：重心，即.
由，，可知外心M在的垂直平分线上，
所以设外心，因为，
所以，
解得，即：，
则，
故欧拉线方程为：，
即：，
故选：A.
8．答案：C
解析：对于A，，而，故，正确；
对于B，，当时，有意义，则，正确；
对于C，因为，，所以，，所以，错误；
对于D，的模长即为平行六面体底面的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，
就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确.
故选：C
9．答案：BD
解析：对于选项A，直线，令，解得直线l恒过定点，选项A错误；
对于选项B，当时，设直线l的方程为，斜率为，倾斜角为，选项B正确；
对于选项C，当时，直线l的方程化为，斜率为0，斜率存在，选项C错误；
对于选项D，当时，直线，所以.
由，，可得，得，
所以直线l与直线垂直，选项D正确.
故选：BD.
10．答案：AC
解析：对于A,若,且,,
则存在唯一实数使得,即,
则解得故A正确;
对于B,若,则,即,无实数解,故B错误;
,故当时,取得最小值为,无最大值,故C正确,D错误.故选AC.
11．答案：BCD
解析：将四面体放入长方体中，（如图），设长方体的长宽高分别为x，y，z，
则，，，
所以解得，，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
故，，故，
所以直线与所成的角为，A错误，
，，
由于，故，
直线与所成的角为，B正确，
对于C，点M为直线上的动点，当M位于的中点时，此时M到距离的最小，且最小值为长方体的高，即为，C正确，
对于D，取中点E，连接，，由于，，
所以，，故为所求角，
，，
故，故D正确.
故选：BCD
12．答案：2
解析：因为
，
又，
所以，，，.
故答案：2.
13．答案：1
解析：因为，所以.
故答案为：1
14．答案：或
解析：以B原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为，所以，，
所以，
当时，最小，此时，M，N为中点，则，，
取的中点G，连接，，则，
因为，，所以，，
所以是平面与平面的夹角或其补角，
因为，，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值是，
所以平面与平面夹角的正弦值是.
15．答案：(1)所在直线方程为，所在直线方程为；
(2)
解析：（1）由菱形的性质可知，则.
所以边所在直线的方程为，即；
边所在直线的方程为，即.
（2）线段的中点为，，
由菱形的几何性质可知，且E为的中点，则，
所以对角线所在直线的方程为，即.
16．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）在正四棱柱中，，，两两垂直，且，，
以A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，.
因为E，F分别为，的中点，所以，，
则，，，
设平面的法向量为则，
令，则有，，即，
因为，所以，
又平面，所以平面；
（2）由（1）可知，，
所以与平面所成角的正弦值为.
17．答案：（1）证明见解析；
（2），.
解析：（1）直线，化为，当时，对任意实数k，恒有，所以直线l过定点.
（2）依题意，显然，直线交x轴于点，交y轴于点，而点A，B分别在x，y轴的正半轴上，即，，于是，
则的面积为，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，，直线l的方程的方程为.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）取的中点H，的中点O，由题意知，，
直角梯形中，，四边形为正方形，
N为的中点，
，，
四边形为平行四边形，，
平面，不在面内，
平面.
（2）连接，则，以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
，，面，
平面，
，
，，
，为等边三角形，
则，，，，，，
设为平面的法向量，为平面的法向量，
，令，
，令，，
设平面与平面的夹角为，由题可知为锐角，
，
平面与平面的夹角的正切值为.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）
解析：（1）取中点为M，连接，；如下图所示：
易知平面平面，且平面平面，平面平面；
所以，又因为，
可得四边形为等腰梯形，
且M，N分别为，的中点，所以，
因为，所以，
易知，且平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）由二面角定义可得，二面角的平面角即为，
当时，即，因此可得平面，
可知即为三棱台的高，由，可得；
易知三棱台的上、下底面面积分别为，，
因此三棱台的体积为
（3）由（1）知，，，二面角的平面角即为；
以M为坐标原点，分别以，所在直线为x，y轴，过点M作垂直于平面的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系：
可得，，，，，
易知，可得；
则，
设平面的一个法向量为，
所以，
令，则，，可得；
显然，
由A到平面的距离为，可得，
即，可得；
整理得，解得或；
又，可得.