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    安徽省合肥市第九中学2023-2024学年高二上学期9月第二次单元检测 数学试题(含解析)

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    安徽省合肥市第九中学2023-2024学年高二上学期9月第二次单元检测 数学试题(含解析)

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    这是一份安徽省合肥市第九中学2023-2024学年高二上学期9月第二次单元检测 数学试题(含解析),共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    高二年级数学试题卷(试题卷)
    (考试时间:120分钟满分:150分)
    (命题教师:邓晴玲 审题教师:李敏)
    一、单选题(本大题共8小题,共40分.在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
    1.若分别是双曲线的左、右焦点,为双曲线上一点,且,则的长为
    A.B.或C.D.
    2.抛物线的准线方程是( )
    A.B.
    C.D.
    3.过两直线与的交点,并且与第一条直线垂直的直线方程是( )
    A.B.C.D.
    4.直三棱柱中,,,则直线与所成角的大小为( )
    A.B.C.D.
    5.在数列中,,且,则( )
    A.B.C.D.
    6.2021年6月17日9时22分,搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭,在酒泉卫星发射中心点火发射.此后,神舟十二号载人飞船与火箭成功分离,进入预定轨道,并快速完成与“天和”核心舱的对接,聂海胜、刘伯明、汤洪波3名宇航员成为核心舱首批“入住人员”,并在轨驻留3个月,开展舱外维修维护,设备更换,科学应用载荷等一系列操作.已知神舟十二号飞船的运行轨道是以地心为焦点的椭圆,设地球半径为R,其近地点与地面的距离大约是,远地点与地面的距离大约是,则该运行轨道(椭圆)的离心率大约是( )
    A.B.C.D.
    7.已知抛物线的焦点为F,准线为l,点P在C上,直线PF交y轴于点Q,若,则点P到准线l的距离为( )
    A.3B.4C.5D.6
    8.已知是椭圆的一个焦点,若椭圆上存在关于原点对称的,两点满足,则椭圆离心率的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    二、多选题(本大题共4小题,共20分.每小题有多项符合题目要求,多选、错选不得分,漏选得2分)
    9.(多选题)下列命题中不正确的是( )
    A.若与共线,与共线,则与共线
    B.向量,, 共面,即它们所在的直线共面
    C.若两个非零空间向量,,满足,则∥
    D.若∥,则存在唯一的实数λ,使=λ
    10.已知曲线(且),则下列说法正确的是( )
    A.若,则C为圆
    B.若,则C为椭圆
    C.若,则C为双曲线
    D.若C为焦点在y轴上的双曲线,则
    11.已知双曲线过点且渐近线为,点在双曲线的一条渐近线上,为坐标原点,为双曲线的右焦点,则下列结论正确的是( )
    A.双曲线的离心率为2B.双曲线的方程是
    C.的最小值为2D.直线与有两个公共点
    12.过抛物线:的焦点的直线与相交于,两点.若长最小值为6,则下列结论正确的是( )
    A.抛物线方程为
    B.的中点到准线的距离最小值为3
    C.直线的斜率为时,为的一个四等分点
    D.
    三、填空题(本大题共4小题,共20分)
    13.椭圆()的两个焦点为、,且,弦过点,则△的周长是 .
    14.设圆与两圆,中的一个内切,另一个外切,则圆的圆心轨迹的方程为 .
    15.对标准形式的抛物线,给出下列条件:
    ①焦点在y轴上;
    ②焦点在x轴上;
    ③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;
    ④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1).
    其中满足抛物线方程为y2=10x的是 .(要求填写适合条件的序号)
    16.在平面直角坐标系内,O为坐标原点,对于任意两点,定义它们之间的“曼哈顿距离”为,以对于平面上任意一点P,若,则动点P的轨迹长度为 .
    四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    17.已知,.
    (1)求两圆公共弦所在的直线方程;
    (2)求两圆的公共弦长.
    18.已知M为椭圆上的动点,过点M作x轴的垂线,D为垂足,点P满足,求动点P的轨迹E的方程(当点M经过椭圆与x轴的交点时,规定点P与点M重合.)
    19.如图,在四棱锥中,平面,,且,,,,,为的中点.
    (1)求证:平面;
    (2)求二面角的正弦值.
    20.已知双曲线的焦点为,且该双曲线过点.
    (1)求双曲线的标准方程;
    (2)若双曲线上的点满足,求的面积.
    21.已知抛物线上一点到焦点的距离为
    (1)求的值.
    (2)过焦点作直线交抛物线于两点,交轴于点,且,证明:为定值.
    22.已知圆F1:(x+1)2+y2=16,F2(1,0),P是圆F1上的一个动点,F2P的中垂线l交F1P于点Q.
    (1)求点Q的轨迹E的方程;
    (2)若斜率为k(k≠0)的直线l1与点Q的轨迹E交于不同的两点A,B,且线段AB的垂直平分线过定点(,0),求k的取值范围.
    1.C
    【分析】先根据,推出点在双曲线的左支上,再根据双曲线的定义列等式可解得.
    【详解】因为,所以必在双曲线左支上,
    所以根据双曲线的定义可得:,
    又,所以,
    解得:,
    故选C.
    【点睛】本题考查了双曲线的定义,注意先判断出点在双曲线的左支上.属基础题.
    2.C
    【分析】先将抛物线方程化为标准形式,再根据抛物线性质求解即可.
    【详解】由得抛物线的标准方程为,
    所以其准线方程为.
    故选:C
    3.C
    【分析】通过解方程组,结合互相垂直的直线斜率之间的关系进行求解即可.
    【详解】由可得两直线交点,
    由第一条直线的斜率为,得到所求直线的斜率为,
    所求直线的方程为:,即.
    故选:C
    4.B
    【分析】根据三棱锥的特征补全为正方体,则,为直线与所成角,连接,则为等边三角形即可得解.
    【详解】
    根据直三棱柱的各边长相等且,
    补全可得如图所示的正方体,
    易知,为直线与所成角,
    连接,则为等边三角形,
    所以,
    所以直线与所成角的大小为.
    故选:B
    5.A
    【分析】根据给定条件推导出数列的周期,再借助周期性计算得解.
    【详解】在数列中,,,则,
    ,于是得数列是周期数列,周期为3,

    所以.
    故选:A
    6.A
    【分析】以运行轨道长轴所在直线为x轴,地心F为右焦点建立平面直角坐标系,
    设椭圆方程为,根据题意列出方程组,解方程组即可.
    【详解】以运行轨道长轴所在直线为x轴,地心F为右焦点建立平面直角坐标系,
    设椭圆方程为,其中,
    根据题意有,,
    所以,,
    所以椭圆的离心率.
    故选:A.
    7.C
    【分析】求出焦点的坐标,过点作轴的垂线,垂足为,由可得,求出,结合抛物线的定义,即可得解.
    【详解】解:由抛物线,可知,准线的方程为,
    过点作轴的垂线,垂足为,
    因为,所以,
    所以,
    所以点到准线的距离为.
    故选:C.

    8.C
    【分析】设,,.由已知可得.进而根据椭圆的方程消去,得到.然后根据椭圆的范围,即可求出,进而求出答案.
    【详解】设,,.
    则,,
    由已知可得,,即,
    整理可得.
    因为,所以,
    所以,
    又由题意可得,所以.
    又,所以,
    所以,即,所以.
    故选:C.
    9.ABD
    【分析】举反例判断AD,根据共面向量的定义判断B,根据向量共线定理判断C
    【详解】对于A,若,则与共线,与共线,但与不一定共线,所以A错误,
    对于B,共面向量的定义是平行于同一平面的向量,表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面,所以B错误,
    对于C,因为,所以,所以与共线,所以∥,所以C正确,
    对于D,若,,则不存在,使=λ,所以D错误,
    故选:ABD
    10.AC
    【分析】由表示双曲线,圆以及椭圆的条件逐一判断每一个选项即可求解.
    【详解】对于AB,若,曲线即,表示原点在圆心半径为1的圆,故A正确B错误;
    对于CD,若,则表示焦点在轴上的双曲线,故C正确D错误.
    故选:AC.
    11.AB
    【分析】设双曲线的方程为,由双曲线过点求出,判断B;再由离心率公式判断A;联立直线和双曲线方程判断D.
    【详解】设双曲线的方程为,由双曲线过点可得,即双曲线的方程是,故B正确;
    可化为,则,,故A正确;
    由题意可得,当直线与渐近线垂直时,取最小值,且最小值,故C错误;
    由,解得,即直线与只有一个交点,故D错误;
    故选:AB
    12.ABC
    【分析】由题意可知,当斜率不存在时,即过抛物线的焦点,且垂直轴,即为通径时,取得最小值,可求得p的值,即可判断A;当PQ为抛物线通经时,的中点到准线的距离最小,判断B;由A的分析求得,可判断C; 由A的分析求得,判断D.
    【详解】当直线斜率不存在时,即过抛物线的焦点,且垂直轴,
    , ,

    当斜率存在时,设直线的方程为,
    设,,,,
    联立直线与抛物线的方程得,可得①,
    由韦达定理,可得,
    由抛物线的定义,可得,
    综合以上两种情况可得,当斜率不存在时,即过抛物线的焦点,且垂直轴,取得最小值,
    的最小值为6,
    ,即,
    抛物线的方程为,故选项正确,
    当PQ垂直轴时,的中点到准线的距离最小,最小值为,故选项正确,
    当直线的斜率为时,
    将,代入①中,可得,解得两根为,
    不妨取,,
    由抛物线得的定义可得,,,
    则 , ,即为的一个四等分点,故C选项正确.
    由①可知:,
    由于,故D错误,
    故选:
    13.20
    【分析】由题意可得,利用,求出a,再运用椭圆定义得△的周长为即可.
    【详解】如图所示,由,得,即,椭圆(),
    ∴,得,弦过点,根据椭圆定义得△的周长为.
    故答案为:20.

    【点睛】结论点睛:在椭圆中,弦过椭圆的一焦点与椭圆相交于A,B,与另一焦点形成的三角形的周长为.
    14.
    【分析】根据题意利用两圆相切的性质,分类讨论求出圆的圆心轨迹的方程.
    【详解】设、的圆心分别为,圆的半径为.
    当圆与圆内切,与圆外切时,
    这时有,圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线的左支;
    当圆与圆外切,与圆内切时,
    这时有,圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线的右支,因此圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线,
    ,所以方程为:.
    故答案为:
    【点睛】本题考查了利用双曲线的定义求双曲线的标准方程,考查了圆与圆相切的性质,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.
    15.②④
    【分析】根据抛物线的几何性质和定义判断可得答案.
    【详解】解:抛物线y2=10x的焦点在x轴上,②满足,①不满足;
    设M(1,y0)是y2=10x上一点,则|MF|=1+=1+≠6,所以③不满足;
    由于抛物线y2=10x的焦点为,设过该焦点的直线方程为y=k,若由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1)时,则k=-2,所以④满足.
    故答案为:②④.
    16.
    【分析】由题意得点的轨迹方程,发现它的轨迹是正方形,只需求出一条边的距离即可.
    【详解】
    由题意设,则,用分别用依次代入该方程,发现该方程不变,
    所以曲线的图象关于坐标轴以及坐标原点对称,
    不妨设,此时即,它与坐标轴的两个交点坐标为,
    它们的距离为,
    所以由对称性得动点P的轨迹长度为.
    故答案为:.
    17.(1)
    (2)
    【分析】(1)直接两圆方程相减即可求解;
    (2)先求圆心到直线的距离,再结合圆的弦长公式即可求解.
    【详解】(1)由题意两圆,方程相减得,
    ,整理得,
    即两圆公共弦所在的直线方程为.
    (2)由(1)得两圆公共弦所在的直线方程为,
    圆的圆心、半径分别为,
    圆心到直线的距离为,
    所以两圆的公共弦长为.
    18.
    【分析】由题意设,则,,结合,得,代入即可得解.
    【详解】由题意设,则,,
    所以,
    又因为,
    所以,解得,由规定可知,
    所以,即动点P的轨迹E的方程为.
    19.(1)证明见解析
    (2)
    【分析】(1)取中点为,连接,,进而证明四边形为平行四边形即可证明结论;
    (2)取中点为,以为空间直角坐标系原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用坐标法求解即可;
    【详解】(1)证明:取中点为,连接,,如图所示,
    因为,分别是,的中点,所以且,
    又因为且,
    所以,,
    所以四边形为平行四边形,
    所以,
    又因为平面,平面,
    所以平面.
    (2)解:取中点为,以为空间直角坐标系原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
    则,,,,,
    设平面的法向量为,
    因为,,
    所以,令,解得,即,
    设平面的法向量为,
    因为,,
    所以,令,解得,即,
    记平面与平面夹角为,,
    则,,
    所以二面角的正弦值为.
    20.(1)(2)4
    【解析】(1)设双曲线的方程为,运用双曲线的定义,以及两点的距离公式可得,结合,,的关系,可得,,即可得到所求双曲线的方程;
    (2)由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理、面积公式,化简可得所求值.
    【详解】(1)设双曲线的方程为,
    由,,且该双曲线过点,可得

    ,又,,
    双曲线的标准方程为;
    (2)由,得,

    【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质,考查三角形的面积的求法,注意运用勾股定理和定义法解题,考查运算能力.
    21.(1) (2)证明见解析
    【分析】(1)根据抛物线第一定义即可求解,再将点横坐标代入即可求解;
    (2)设直线的方程,先求出点坐标,联立直线和抛物线方程求得关于的一元二次方程,结合韦达定理表示出根与系数的关系,再根据代换出的表达式,结合韦达定理即可求解
    【详解】(1)由抛物线第一定义得,再将点横坐标代入抛物线方程解得
    (2)依题意直线斜率存在且不为零,
    设直线的方程,则
    代入抛物线得
    【点睛】本题考查抛物线的几何性质,用解析法求证直线过焦点的定值问题,运算能力,属于中档题
    22.(1)
    (2)
    【分析】(1)利用椭圆的定义可求椭圆方程.
    (2)设直线,联立直线方程和椭圆方程后利用韦达定理可求的中垂线的方程,结合其过所得的等式,结合判别式为正可得的取值范围.
    【详解】(1)由题意可知:,
    由的中垂线l交于点Q,则,
    ∴,
    则点Q的轨迹E为以为焦点,4为长轴长的椭圆,
    即,
    ∴点Q的轨迹E的方程为:.
    (2)设直线,将代入椭圆方程,
    消去y得,
    所以即①,
    由根与系数关系得,则,
    所以线段的中点M的坐标为.
    又线段的直平分线的方程为,
    由点M在直线上,得,
    即,所以②,
    由①②得,
    ∵,∴,
    所以,即或,
    所以实数的取值范围是.

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