安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高二上学期阶段检测(10月) 数学试题（含解析）

这是一份安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高二上学期阶段检测(10月) 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了与两圆和都相切的直线有条，已知圆，直线，点P为上一动点等内容，欢迎下载使用。
数学试题
本试卷4页，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共8个题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．过点，倾斜角为的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．原点到直线间的距离是（ ）
A．B．C．1D．
4．若，，则直线不经过第象限（ ）
A．一B．二C．三D．四
5．与两圆和都相切的直线有（ ）条
A．1B．2C．3D．4
6．已知，两点到直线的距离相等，求a的值（ ）
A．B．C．或D．或
7．已知是圆与圆的公共点，则的面积为（ ）
A．3B．C．D．
8．已知圆，直线，点P为上一动点．过点P作圆M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共4个题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.
9．已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（ ）
A．－1B．0C．D．1
10．圆心在轴上，半径为2，且与直线相切的圆的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
11．若直线不能构成三角形，则的取值为（ ）
A．B．C．D．
12．下列命题正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆有且仅有三个点到直线的距离为1
C．若圆与圆恰有三条公切线，则
D．函数的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中16题为选考题，考生任选一空作答．
13．直线在x轴上的截距是 ．
14．直线与直线相互垂直， ．
15．设圆的圆心为C，直线过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线方程为 ．
16．如图，在中，，半径为2，为圆上一动点，连接，则的最小值为 .

四、解答题：本题共6小题，共70分，其中21题为选考题，请考生从给出的两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知直线和直线.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
18．已知的顶点，，．
(1)求AB边上的中线所在直线的方程；
(2)求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程．
19．已知一圆的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为.
(1)求该圆的方程；
(2)求过点的该圆的切线方程.
20．如图，圆与圆的半径都是2，，过动点P分别作圆与圆的切线PM，PN，M，N分别为切点，使得.
(1)试建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程；
(2)若圆与圆的一条公切线与坐标轴平行，判断直线与曲线P的位置关系？若相交，求出弦长，若不相交，说明理由.
21．已知圆C过点，，.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M，N，点P为直线上的动点，直线PM，PN与圆C的另一个交点分别为E，F（EF与MN不重合），证明：直线EF过定点.
22．在平面直角坐标系中，已知动点M到点与到直线的距离相等．
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)设点P是轨迹E上的动点，点Q，R在x轴上，圆内切于，求的面积最小值．
1．C
【分析】根据圆的标准方程得解.
【详解】因为圆心为，半径为5，
所以圆的标准方程为，
故选：C
2．C
【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程.
【详解】由倾斜角为知，直线的斜率为，又直线过点，
所以直线方程为，化简得.
故选：C.
3．A
【分析】利用点到直线的距离公式直接求值即可.
【详解】原点到直线间的距离是：.
故选：A
4．D
【分析】将直线方程化为，由斜率以及纵截距的正负判断即可.
【详解】依题意、、均不为，所以直线可化为，
因为，，所以，，
所以直线的斜率为正，纵截距为正，
即直线通过第一、二、三象限，不通过第四象限.
故选：D
5．D
【分析】根据圆的标准方程确定两圆的圆心坐标和半径，由圆与圆的位置即可求解.
【详解】由题意知，，
所以圆心距,
所以两圆相离，公切线有4条.
故选：D.
6．C
【分析】利用点到直线距离公式列出关于的方程求解即可．
【详解】因为点到直线的距离相等，
所以，即，
化简得，解得或.
故选：C.
7．B
【分析】两圆方程相减得公共弦所在直线方程，求出圆圆心坐标和半径，求出点到直线的距离，求得弦长，从而可得三角形面积．
【详解】由题意可知，联立，两方程相减可得直线的方程为，
圆标准方程为，得，半径为，
所以到直线的距离为，线段的长度为，
所以的面积为．
故选：B.
8．A
【分析】利用是表示四边形的面积，从而转化为三角形的面积的2倍，又转化到求的最小值，最后转移到只需要求的最小值，这样就容易找到点的位置为的垂足，然后再利用两圆相交弦方程去求解即可.
【详解】根据圆与切线的性质可知，而四边形的面积等于，
所以要使得取最小值，即满足四边形的面积取到最小值，
又因为四边形的面积等于三角形的面积的2倍，
所以只需要满足三角形的面积取到最小值即可，
又因为，而圆，可知，
所以，即求的最小值，
又因为，所以只需要求的最小值，
由于点P为上一动点，点为定点，所以的最小值为点P到直线的距离，
此时，设垂足为，则由与垂线联立得：，即可得此时，
由可知两点在以为直径的圆上，
且以为直径的圆的方程为：，
所以直线方程为两圆的相交弦方程，
即由与为直径的圆的方程为：相减得：
，
故选：A.
9．BC
【分析】由圆的一般式，根据即可判断的可能取值.
【详解】因为方程表示一个圆，
令，
所以由，
化简得，解得.
故选：BC.
10．AC
【分析】设圆心坐标为，由圆和直线相切，得出圆心到直线的距离等于半径2，根据点到直线的距离公式列出方程，求解即可．
【详解】依题可设圆心坐标为，
由题意得圆心到直线的距离为2，
即，解得，
所以圆的方程为：或，
故选：AC．
11．ABD
【分析】分，过与的交点三种情况讨论即可.
【详解】因为直线不能构成三角形，
所以存在，过与的交点三种情况，
当时，有，解得；
当时，有，解得；
当过与的交点，则联立，解得，代入，得，解得；
综上：或或.
故选：ABD.
12．BCD
【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由两圆的位置关系即可根据圆心距等于半径和列式求得判断C；根据两点距离公式，即可求解D.
【详解】对于A，直线方程整理为：，
由，解得，故该直线恒过定点，故A错误；
对于B，，圆心到直线的距离等于1，
直线与圆相交，而圆的半径为2，
故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，
因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B正确；
对于C，两圆有三条公切线，
则两圆外切，圆化为标准式，
圆化为标准式，
圆心距为，解得，故C正确；
对于D，由于，
设，，，
则方程等价为，故D正确.
故选：BCD.
13．
【分析】利用直线在x轴上的截距的定义求解.
【详解】解：由直线方程为，
令，得，
所以直线在x轴上的截距是，
故答案为：
14．
【分析】由已知结合直线垂直条件可建立关于a的方程，从而可求得结果.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以.
故答案为：
15．或
【分析】求出圆心的坐标，按直线的斜率是否存在，结合圆的弦长公式求解即得.
【详解】圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离为1，满足，直线符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，解得，此时直线：，
所以直线的方程为或.
故答案为：或
16．
【分析】利用三角形相似，将问题转化为求的最小值，从而得解.
【详解】如图1，连接，在上取点，使，则有，

又，，
，，
.
要使最小，只要最小，
当点在同一条直线时，最小，即最小值为，
在中，，
，
所以的最小值为.
故答案为：.
17．(1)0或2
(2)
【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解；
（2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证.
【详解】（1）若，则
，解得或2；
（2）若，则
，解得或1.
时，，满足，
时，，此时与重合，
所以.
18．(1)
(2)或．
【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段的中点，再利用两点式即可求出所求；
（2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求．
【详解】（1）线段的中点为，
则中线所在直线方程为：，即.
（2）设两坐标轴上的截距为，
若，则直线经过原点，斜率，
直线方程为，即；
若，则设直线方程为，即，
把点代入得，即，直线方程为；
综上，所求直线方程为或．
19．(1)
(2)或
【分析】（1）假设圆的方程，利用垂径定理可构造方程求得圆的半径，由此可得圆的方程；
（2）分别在切线斜率不存在和存在的情况下，根据圆心到直线距离等于半径可求得切线方程.
【详解】（1）设圆的方程为，
圆心到直线的距离为，
又圆被直线截得的弦长为，，
圆的方程为：.
（2）当切线斜率不存在的时候，切线方程为：，满足题意；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由得：，切线方程为，即，
综上所述：过点的圆的切线方程为或.
20．(1)
(2)相交，
【分析】（1）设，由，得到，代入即可求解；
（2）由圆，得到圆心，半径，再由得方程为的方程，结合圆的弦长公式，即可求解.
【详解】（1）取中点为坐标系原点O，建立平面直角坐标系，
则，
设，因为，可得，
所以，可得，
整理得，即轨迹方程为.
（2）由圆，可得，可得圆心，半径，
因为圆与圆的一条公切线与坐标轴平行，可得得方程为或，
则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，
又由圆的弦长公式，可得.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设圆C的方程为，将已知三点代入求出即可；
（2）设点，，，易得，根据E，F在圆C上，得出的关系式，当EF斜率存在时设直线EF的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再代入的关系式，求出之间的关系即可得解.
【详解】（1）设圆C的方程为，
则，解得，
所以圆C的方程为，
故圆C的标准方程为；
（2），所以直线，点，，
设点，，，
所以，，所以，
又，，所以
又E，F在圆C上，所以，，
消去，可得①，
当EF斜率存在时设直线EF的方程为，
联立，
消元y可得，
则，
可代入①，得，
解得或，
当时，直线恒过，
当，直线恒过，此时EF与MN重合，舍去，
直线斜率不存在时，，即，解得或（舍去），
综上：直线EF过点成立.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
22．(1)
(2)8.
【分析】（1）先判断动点的轨迹是抛物线，再根据抛物线的定义求的值.
（2）设，，，且，根据直线，与圆相切，得到m，n是方程的两根，利用一元二次方程根与系数得关系，求出，再利用基本（均值）不等式求的面积最小值．
【详解】（1），由题意：点轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，且.
所以抛物线的标准方程为：.
即：.
（2）如图：
设圆圆心为，设，，，且，
则直线PR的方程为，即，
因为直线PR与圆相切，所以圆心C到直线PR的距离等于1，
即，化简可得，即．
同理直线PQ与圆相切，所以
所以m，n是方程的两根．
由韦达定理可得，
，又因为：，
所成，所以，
因为，所以，当且仅当取等号．