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安徽省马鞍山市第二中学2024−2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析）
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这是一份安徽省马鞍山市第二中学2024−2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量BC=2,1 ，AB=0,-1 ，则AC= （ ）
A．2B．3C．2 D．22
3．某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是（ ）
A．8.5B．9C．9.5D．10
4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．一个射手进行射击，记事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ）
A．与B．与C．与D．以上都不对
6．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边上的高为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，是由斜二测画法得到的水平放置的直观图，其中，点为线段的中点，对应原图中的点，则在原图中下列说法正确的是（ ）
A．
B．的面积为2
C．在上的投影向量为
D．与同向的单位向量为
8．如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度，在钟楼的正西方向找到一座建筑物，高为米，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，钟楼顶部的仰角分别为和，在处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼的高度为（ ）米.
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知甲､乙两位同学在高一年级六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．若甲､乙两组数据的平均数分别为，则
B．若甲､乙两组数据的方差分别为，则
C．甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数
D．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
10．在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．复数，则在复平面内对应的点位于第一象限
B．若复数，则
C．若复数满足，则
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
11．如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是（ ）
A．
B．二面角的正切值的最大值为2
C．三棱锥的体积为定值
D．三角形的周长最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．圆台的母线长为，上､下底面半径分别为，，则该圆台的体积为 .
13．在直角三角形中，，点在斜边的中线上，则的取值范围为 .
14．空间四边形中，，且异面直线与成，求异面直线与所成角的余弦值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若，求周长的最大值.
16．漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”.五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）；
(2)已知满意度分值落在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差.
17．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，点为中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值的取值范围.
19．在平面直角坐标系中，横､纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列与，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同：②，其中，则称与互为正交点列.
(1)求的正交点列；
(2)判断是否存在正交点列？并说明理由.
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部.
【详解】因为，
所以，故的虚部为.
故选A.
2．【答案】A
【分析】先利用向量线性运算的坐标表示求得AC=2,0 ，再求其模.
【详解】根据题意，AC=AB+BC=0,-1+2,1=2,0 ，
所以AC=22+02=2 .
故选A.
3．【答案】C
【分析】根据百分位数的定义和求解步骤直接计算求解即可.
【详解】因为，
所以由表格数据可知这20个比赛成绩的第80百分位数是.
故选：C.
4．【答案】B
【分析】运用线面垂直平行的定理，结合长方体模型举反例即可判断.
【详解】对于A，如图，，此时，故A错误；
对于B，若，面内可以找一条直线，使得；
而，与内任意一条直线都垂直，则，则.故B正确；
对于C， 如图，，此时，故C错误；
对于D， 如图，，此时，故D错误．
故选：B.
5．【答案】B
【分析】
根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项分析判断作答.
【详解】
射手进行射击时，事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，
事件与不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件与是互斥且对立，A不是；
事件与不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件与是互斥不对立，B是；
事件与可以同时发生，即事件与不互斥不对立，C不是，显然D不正确.
故选：B
6．【答案】B
【分析】根据余弦定理可得，再根据三角形的面积列方程即可得解.
【详解】由余弦定理可知，即，
又，，
则，
所以的面积，
又面积，即，
解得，
故选：B.
7．【答案】D
【分析】根据题意画出原图，然后逐个分析判断即可.
【详解】根据题意可知原图如图所示，其中，则，
因为点为线段的中点，所以为的中点，则，
对于A，因为，所以，所以A错误，
对于B，，所以B错误，
对于C，因为，所以在上的投影向量为
，所以C错误，
对于D，因为，所以与同向的单位向量为
，所以D正确.
故选：D
8．【答案】C
【分析】利用求出，在中利用正弦定理求出，最后借助于中三角函数的定义即可求得钟楼的高度.
【详解】
如图所示，在中，，
在中，,
则，
由正弦定理，，故得,
在中，.
故选：C.
9．【答案】ACD
【分析】对四个选项一一判断：根据散点图直接判断选项A、B、D；分析甲、乙的中位数特点，即可判断C.
【详解】由散点图的点的分布可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,
其他次考试成绩都高于乙同学,所以，故选项A正确；
由散点图点的分步变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,由方差的意义可得.故选项B错误；
因为统计了6次数学成绩，故将一组数据从小到大排序后，第三个和第四个数据的平均数为该组数据的中位数，
由散点图知，甲同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以上，
而乙同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以下，故甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数. 故选项C正确；
因为极差为数据样本的最大值与最小值的差,所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故选项D正确.
故选：ACD.
10．【答案】ABD
【分析】A选项，得到，确定其对应的点为，A正确；B选项，设，，得到，从而求出，所以；C选项，举出反例；D选项，求出复数对应的点的轨迹为圆环，从而确定其面积.
【详解】A选项，复数，则，
故在复平面内对应的点为，位于第一象限，A正确；
B选项，设，，，
则，即，
故，
两边平方得，
故，所以，
即，故，
其中，故，B正确；
C选项，设复数，满足，
但，C错误；
D选项，表示原点为圆心，1为半径的圆的外部，
表示原点为圆心，为半径的圆的内部，
则复数对应的点所构成的图形为如图所示的圆环（包括边界），
故面积为，D正确.
故选：ABD
11．【答案】AC
【分析】连接交于点，利用线面垂直的判定性质证得判断A；求出二面角的正切值表达式判断B；利用等体积法推理判断C；举例说明判断D.
【详解】对于A，在正方体中，连接交于点，连接，则，
由平面，平面，得，
而平面，则平面，又平面，
于是，又为的中点，因此，A正确；
对于B，过作于，连接，由平面，平面，
得，而平面，则平面，
又平面，于是，是二面角的平面角，
，，，当与重合时取等号，B错误；
对于C，由平面，为棱上的动点，得点到平面的距离为定值1，
而的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，C正确；
对于D，当点与重合时，的周长为，D错误.
故选：AC
12．【答案】/
【分析】首先求出圆台的高，再由圆台的体积公式计算可得.
【详解】因为圆台的母线长为，上､下底面半径分别为，，
所以圆台的高，
所以圆台的体积.
故答案为：
13．【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得.
【详解】在中，由，得，
由点在斜边的中线上，得，
得.
故答案为：
14．【答案】/
【分析】先得到，两边平方后，结合边长和直线与所成角得到方程，求出或，舍去不合要求的解，得到答案.
【详解】因为，所以，
两边平方得，
，且异面直线与成，
故，
或，
所以，或，
解得，或（舍去），
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理、两角和正弦公式化简已知得，再利用辅助角及特殊角求值即可.
（2）利用正弦定理把周长化为，利用正弦函数的性质即可求解最值.
【详解】（1）因为，整理得，，
即，
即，
因为，可得，所以，
结合，解得，所以；
（2）因为，所以，
所以周长
，
当时，，故周长的最大值为.
16．【答案】(1)，众数为85，中位数为82；
(2)平均数为81；方差为30.
【分析】(1)根据频率分布直方图中各组频率之和为1即可求得a的值；结合众数和中位数的含义即可求得它们的值；
(2)根据平均数以及方差的计算公式，即可求得答案.
【详解】(1)由频率分布直方图可得，，解得，
由频率分布直方图可估计众数为85，
满意度分值在的频率为，
在的频率为，
所以中位数落在区间内，
所以中位数为.
(2)由频率分布直方图得，满意度分值在的频率为，人数为20；
在的频率为，人数为30，
把满意度分值在记为，其平均数，方差，
在内记为，其平均数，方差，
所以满意度分值在的平均数，
根据方差的定义，满意度分值在的方差为
由，可得，
同理可得，
因此，
.
17．【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；
(2)（i）答案见解析；（ii）游戏不公平理由见解析
【分析】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，根据为两两互斥事件， 由求解.
（2）（i）根据红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，列举出来；（ii）由（i）利用古典概型的概率求解.
【详解】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，
因为为两两互斥事件，
由已知得，
解得.
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；
（2）（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间
.
（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以
所以
因为，所以此游戏不公平.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用面面垂直的性质定理证得平面，进而由线面垂直的性质定理得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可.
（2）过点作交于点，则平面ABCD，利用等体积法求得点到平面的距离，然后利用线面角的定义结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，且，
所以平面，又平面，所以，
又平面平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）设，由（1）知平面，
又平面，所以，所以，
过点作交于点，
则平面平面，平面平面，且，
所以平面ABCD，且，设点到平面的距离为，
则由，可得，
即，解得，
所以与平面所成角的正弦值为，
因为，所以，故，
所以与平面所成角的正弦值的取值范围是.
19．【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）由正交点列的定义可知，设，由正交点列的定义可知，求解即可.
（2）设点列是点列的正交点列，则可设因为与与相同,即可得出结论.
【详解】（1）设点列的正交点列是，
由正交点列的定义可知，
设，
由正交点列的定义可知，
即，解得
所以点列的正交点列是.
（2）由题可得，
设点列是点列的正交点列，
则可设
因为与与相同，所以有
因为得方程，显然不成立，
所以有序整点列不存在正交点列.
比赛成绩
6
7
8
9
10
班级数
3
5
4
4
4
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量BC=2,1 ，AB=0,-1 ，则AC= （ ）
A．2B．3C．2 D．22
3．某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是（ ）
A．8.5B．9C．9.5D．10
4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．一个射手进行射击，记事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ）
A．与B．与C．与D．以上都不对
6．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边上的高为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，是由斜二测画法得到的水平放置的直观图，其中，点为线段的中点，对应原图中的点，则在原图中下列说法正确的是（ ）
A．
B．的面积为2
C．在上的投影向量为
D．与同向的单位向量为
8．如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度，在钟楼的正西方向找到一座建筑物，高为米，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，钟楼顶部的仰角分别为和，在处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼的高度为（ ）米.
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知甲､乙两位同学在高一年级六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．若甲､乙两组数据的平均数分别为，则
B．若甲､乙两组数据的方差分别为，则
C．甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数
D．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
10．在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．复数，则在复平面内对应的点位于第一象限
B．若复数，则
C．若复数满足，则
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
11．如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是（ ）
A．
B．二面角的正切值的最大值为2
C．三棱锥的体积为定值
D．三角形的周长最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．圆台的母线长为，上､下底面半径分别为，，则该圆台的体积为 .
13．在直角三角形中，，点在斜边的中线上，则的取值范围为 .
14．空间四边形中，，且异面直线与成，求异面直线与所成角的余弦值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若，求周长的最大值.
16．漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”.五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）；
(2)已知满意度分值落在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差.
17．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，点为中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值的取值范围.
19．在平面直角坐标系中，横､纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列与，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同：②，其中，则称与互为正交点列.
(1)求的正交点列；
(2)判断是否存在正交点列？并说明理由.
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部.
【详解】因为，
所以，故的虚部为.
故选A.
2．【答案】A
【分析】先利用向量线性运算的坐标表示求得AC=2,0 ，再求其模.
【详解】根据题意，AC=AB+BC=0,-1+2,1=2,0 ，
所以AC=22+02=2 .
故选A.
3．【答案】C
【分析】根据百分位数的定义和求解步骤直接计算求解即可.
【详解】因为，
所以由表格数据可知这20个比赛成绩的第80百分位数是.
故选：C.
4．【答案】B
【分析】运用线面垂直平行的定理，结合长方体模型举反例即可判断.
【详解】对于A，如图，，此时，故A错误；
对于B，若，面内可以找一条直线，使得；
而，与内任意一条直线都垂直，则，则.故B正确；
对于C， 如图，，此时，故C错误；
对于D， 如图，，此时，故D错误．
故选：B.
5．【答案】B
【分析】
根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项分析判断作答.
【详解】
射手进行射击时，事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，
事件与不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件与是互斥且对立，A不是；
事件与不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件与是互斥不对立，B是；
事件与可以同时发生，即事件与不互斥不对立，C不是，显然D不正确.
故选：B
6．【答案】B
【分析】根据余弦定理可得，再根据三角形的面积列方程即可得解.
【详解】由余弦定理可知，即，
又，，
则，
所以的面积，
又面积，即，
解得，
故选：B.
7．【答案】D
【分析】根据题意画出原图，然后逐个分析判断即可.
【详解】根据题意可知原图如图所示，其中，则，
因为点为线段的中点，所以为的中点，则，
对于A，因为，所以，所以A错误，
对于B，，所以B错误，
对于C，因为，所以在上的投影向量为
，所以C错误，
对于D，因为，所以与同向的单位向量为
，所以D正确.
故选：D
8．【答案】C
【分析】利用求出，在中利用正弦定理求出，最后借助于中三角函数的定义即可求得钟楼的高度.
【详解】
如图所示，在中，，
在中，,
则，
由正弦定理，，故得,
在中，.
故选：C.
9．【答案】ACD
【分析】对四个选项一一判断：根据散点图直接判断选项A、B、D；分析甲、乙的中位数特点，即可判断C.
【详解】由散点图的点的分布可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,
其他次考试成绩都高于乙同学,所以，故选项A正确；
由散点图点的分步变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,由方差的意义可得.故选项B错误；
因为统计了6次数学成绩，故将一组数据从小到大排序后，第三个和第四个数据的平均数为该组数据的中位数，
由散点图知，甲同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以上，
而乙同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以下，故甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数. 故选项C正确；
因为极差为数据样本的最大值与最小值的差,所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故选项D正确.
故选：ACD.
10．【答案】ABD
【分析】A选项，得到，确定其对应的点为，A正确；B选项，设，，得到，从而求出，所以；C选项，举出反例；D选项，求出复数对应的点的轨迹为圆环，从而确定其面积.
【详解】A选项，复数，则，
故在复平面内对应的点为，位于第一象限，A正确；
B选项，设，，，
则，即，
故，
两边平方得，
故，所以，
即，故，
其中，故，B正确；
C选项，设复数，满足，
但，C错误；
D选项，表示原点为圆心，1为半径的圆的外部，
表示原点为圆心，为半径的圆的内部，
则复数对应的点所构成的图形为如图所示的圆环（包括边界），
故面积为，D正确.
故选：ABD
11．【答案】AC
【分析】连接交于点，利用线面垂直的判定性质证得判断A；求出二面角的正切值表达式判断B；利用等体积法推理判断C；举例说明判断D.
【详解】对于A，在正方体中，连接交于点，连接，则，
由平面，平面，得，
而平面，则平面，又平面，
于是，又为的中点，因此，A正确；
对于B，过作于，连接，由平面，平面，
得，而平面，则平面，
又平面，于是，是二面角的平面角，
，，，当与重合时取等号，B错误；
对于C，由平面，为棱上的动点，得点到平面的距离为定值1，
而的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，C正确；
对于D，当点与重合时，的周长为，D错误.
故选：AC
12．【答案】/
【分析】首先求出圆台的高，再由圆台的体积公式计算可得.
【详解】因为圆台的母线长为，上､下底面半径分别为，，
所以圆台的高，
所以圆台的体积.
故答案为：
13．【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得.
【详解】在中，由，得，
由点在斜边的中线上，得，
得.
故答案为：
14．【答案】/
【分析】先得到，两边平方后，结合边长和直线与所成角得到方程，求出或，舍去不合要求的解，得到答案.
【详解】因为，所以，
两边平方得，
，且异面直线与成，
故，
或，
所以，或，
解得，或（舍去），
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理、两角和正弦公式化简已知得，再利用辅助角及特殊角求值即可.
（2）利用正弦定理把周长化为，利用正弦函数的性质即可求解最值.
【详解】（1）因为，整理得，，
即，
即，
因为，可得，所以，
结合，解得，所以；
（2）因为，所以，
所以周长
，
当时，，故周长的最大值为.
16．【答案】(1)，众数为85，中位数为82；
(2)平均数为81；方差为30.
【分析】(1)根据频率分布直方图中各组频率之和为1即可求得a的值；结合众数和中位数的含义即可求得它们的值；
(2)根据平均数以及方差的计算公式，即可求得答案.
【详解】(1)由频率分布直方图可得，，解得，
由频率分布直方图可估计众数为85，
满意度分值在的频率为，
在的频率为，
所以中位数落在区间内，
所以中位数为.
(2)由频率分布直方图得，满意度分值在的频率为，人数为20；
在的频率为，人数为30，
把满意度分值在记为，其平均数，方差，
在内记为，其平均数，方差，
所以满意度分值在的平均数，
根据方差的定义，满意度分值在的方差为
由，可得，
同理可得，
因此，
.
17．【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；
(2)（i）答案见解析；（ii）游戏不公平理由见解析
【分析】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，根据为两两互斥事件， 由求解.
（2）（i）根据红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，列举出来；（ii）由（i）利用古典概型的概率求解.
【详解】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，
因为为两两互斥事件，
由已知得，
解得.
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；
（2）（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间
.
（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以
所以
因为，所以此游戏不公平.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用面面垂直的性质定理证得平面，进而由线面垂直的性质定理得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可.
（2）过点作交于点，则平面ABCD，利用等体积法求得点到平面的距离，然后利用线面角的定义结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，且，
所以平面，又平面，所以，
又平面平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）设，由（1）知平面，
又平面，所以，所以，
过点作交于点，
则平面平面，平面平面，且，
所以平面ABCD，且，设点到平面的距离为，
则由，可得，
即，解得，
所以与平面所成角的正弦值为，
因为，所以，故，
所以与平面所成角的正弦值的取值范围是.
19．【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）由正交点列的定义可知，设，由正交点列的定义可知，求解即可.
（2）设点列是点列的正交点列，则可设因为与与相同,即可得出结论.
【详解】（1）设点列的正交点列是，
由正交点列的定义可知，
设，
由正交点列的定义可知，
即，解得
所以点列的正交点列是.
（2）由题可得，
设点列是点列的正交点列，
则可设
因为与与相同，所以有
因为得方程，显然不成立，
所以有序整点列不存在正交点列.
比赛成绩
6
7
8
9
10
班级数
3
5
4
4
4
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