广东省东莞市东莞外国语学校2024−2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省东莞市东莞外国语学校2024−2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有女员工39人，男员工21人，女员工的平均体重为50kg，标准差为6，男员工的平均体重为70kg，标准差为4．则所抽取的所有员工的体重的方差为（ ）
A．29B．120C．100D．112
4．二项式展开式中，含项的系数为（ ）
A．20B．C．D．80
5．函数，经过点，则关于的不等式解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．若函数是定义在上的奇函数，，则（ ）
A．2B．0C．60D．62
7． 如图,在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片,每格只放一张卡片,则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同排法有( )
A．96种B．64种
C．32种D．16种
8．已知实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
10．从某加工厂生产的产品中抽取200件作为样本，将它们进行某项质量指标值测量，并把测量结果x用频率分布直方图进行统计（如图）.若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则关于该样本的下列统计量的叙述正确的是（ ）
A．指标值在区间的产品约有48件
B．指标值的平均数的估计值是200
C．指标值的第60百分位数是200
D．指标值的方差估计值是150
11．已知函数，的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为
D．若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知随机变量服从正态分布，且，则 .(精确到小数点后第五位)
13．已知是定义在R上的奇函数，当时，，当时，，则
14．设，对任意实数x，用fx表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
16．随着中国科技的迅猛发展和进步，中国民用无人机行业技术实力和国际竞争力不断提升，市场规模持续增长.为了适应市场需求，我国某无人机制造公司研发了一种新型民用无人机，为测试其性能，对其飞行距离与核心零件损坏数进行了统计，数据如下：
(1)据关系建立y关于x的回归模型 求y关于x的回归方程（精确到0.1，精确到1）.
(2)为了检验核心零件报废是否与保养有关，该公司进行第二次测试，从所有同型号民用无人机中随机选取100台进行等距离测试，对其中60台进行测试前核心零件保养，测试结束后，有20台无人机核心零件报废，其中保养过的占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为核心零件的报废与保养有关?
附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘原理估计公式 ，
参考数据：
17．甲､乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢的概率为，若乙开球，则本局甲赢的概率为，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，第1局由甲开球.
(1)求第3局甲开球的概率；
(2)设前4局中，甲开球的次数为，求的分布列及期望.
18．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
19．无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是．
(1)写出这个数列的前7项；
(2)如果且，求m，n的值；
(3)记，，求一个正整数n，满足．
参考答案
1．【答案】A
【分析】先解一元二次不等式再根据集合间的关系求参．
【详解】，；
由可以推出，所以，
a的取值范围是．
故选：A.
2．【答案】D
【分析】利用命题否定的定义求解即可.
【详解】由命题否定的定义得命题“，
”的否定是，，故D正确.
故选：D
3．【答案】B
【分析】求出样本平均数，再根据分层抽样方差计算公式求出样本的方差.
【详解】依题意，样本中所有员工的体重的平均值为，
则样本中所有员工的体重的方差.
故选：B
4．【答案】A
【分析】利用展开式的意义可求含项的系数.
【详解】表示5个因式的乘积，
要得到含项，需有1个因式取，其余的4个因式都取，系数为，
或者需有2个因式取项，需有2个因式取，其余的1个因式都取，系数为，
故含项的系数为．
故选：A.
5．【答案】B
【分析】根据图象经过点得到解析式，再判断函数单调性及奇偶性，由此求解不等式即可.
【详解】由函数的图象经过点，得，
则，
所以函数在上单调递减，在0,+∞上单调递减，
所以在R上单调递减，
又，即函数是奇函数，
不等式，
则，即，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：B.
6．【答案】A
【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出即可得解.
【详解】由题意，所以的周期为4，
且关于直线对称，
而，
所以.
故选：A.
7．【答案】B
【解析】经典题型：排列组合的应用
分三步进行:第一步,由“只有中间一列两个数字之和为5”,得中间一列的数字只能为1,4或2,3中的一组,共有2=4(种)排法;第二步,排第一步中剩余的一组数,共有=8(种)排法;第三步,排数字5和6,共有=2(种)排法,所以不同的排法共有4×8×2=64(种),故选B.
8．【答案】A
【分析】化简变形后可设，知其在上单调递增，若，则，对求导可得到极值点也是最值点，故可得结果.
【详解】由已知有，即，即，
因为，令，，易知在上单调递增，
因，所以，故，即.
所以，令，可得，
又因在上小于零，故y在单调递减，
在上大于零，故y在单调递增，
故当时，y取极小值也是最小值为e.
故选：A
9．【答案】ABD
【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案.
【详解】对于A：∵，，.
∴，.
当且仅当，即，，取“”，∴A正确；
对于B：，由（1）知，∴.
∴.∴B正确；
对于C：.
∴，∴C错误；
对于D：，
当且仅当，即，取“”，∴D正确.
故选：ABD.
10．【答案】ABD
【分析】根据给定的频率分布直方图，利用各组的频率结合频数及百分位数的意义计算判断AC；利用频率分布直方图求估算平均数、方差的方法计算判断BD作答.
【详解】指标值的样本频率是，指标值在区间的产品约有件，A正确；
抽取的产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：
，
，BD正确；
由直方图得，从第一组至第七组的频率依次是0.02，0.09，0.22，0.33，0.24，0.08，0.02，
所以指标值的第60百分位数m在内，，解得，C错误.
故选：ABD
11．【答案】ABD
【分析】代入求得判断A；利用函数的周期判断B；利用已知条件和函数的周期性判断C；根据函数的奇偶性结合已知条件求出，判断D.
【详解】对A，因为为偶函数，所以是奇函数，所以，又，所以，故A对；
对B，由，，得，
所以，所以，，
又，所以是周期为4的函数，也是周期为4的函数，
所以，故B对；
对C，在上严格增，在上严格减，
由，的图象关于对称且，
由A可得，故在上严格增，在上严格减，
可知在严格递减，在严格递增，
又的周期为4， 所以在严格递增，
所以在严格递减，在严格递减，
又，所以0是的极大值点，是周期为4的函数，
所以则的极大值点为，故C错；
对D，若为偶函数，由于是奇函数，，则，
即，所以，，所以唯一，不唯一，故D对.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分利用导数与函数单调性和极值的关系，并结合函数的奇偶性和周期性分析.
12．【答案】0.15865
【分析】根据正态分布的对称性结合题意求解即可.
【详解】由于服从正态分布，所以正态曲线的对称轴为直线，
所以，
故．
故答案为：0.15865.
13．【答案】
【分析】根据奇函数定义可求得的解析式，从而可求得，，进而可得答案.
【详解】令，则，所以．
因为是定义在R上的奇函数，所以f−x=−fx，
所以，所以，，
所以.
故答案为：
14．【答案】
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
15．【答案】(1)极小值，无极大值
(2)
【分析】（1）利用求导判断函数单调性，即可求得极值；
（2）由恒成立，转化为恒成立，继而结合求导得出的最小值即可.
【详解】（1）当时，，定义域为0,+∞，
则，
当时，f′x<0，当时，f′x>0，
则在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以有极小值，无极大值.
（2）因为恒成立，得，，
令，，则，
当，，当时，，
即函数在上递减，在上递增，
因此，则，
所以的取值范围为.
16．【答案】(1)；
(2)表格见解析，核心零件是否报废与是否保养有关.
【分析】（1）根据给定数据，利用最小二乘法求出回归直线方程.
（2）完善，求出的观测值并与临界值比对即可得解.
【详解】（1）依题意，，
，
所以y 关于 x的线性回归方程为.
（2）依题意，报废机核心零件中保养过的有台，未保养的有台，
则列联表如下：
零假设：核心零件是否报废与保养无关，
则，根据小概率值的独立性检验，
推断不成立，即认为核心零件报废与是否保养有关，此推断的错误概率不大于0.01.
17．【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）设第i局甲胜为事件，则第3局甲开球为事件，结合条件概率公式计算即可；
（2）由的取值，根据对应的事件，求相应的概率，得分布列，由公式求解期望.
【详解】（1）设第i局甲胜为事件，则第i局乙胜为事件，其中
则“第3局甲开球”为事件，
所以；
（2）依题意得，
，
，
，
，
所以的分布列为：
则.
18．【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.
【详解】（1），，.
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为．
（2）［方法一］：通性通法
,，且.
设,则
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，
当时，,∴,∴成立.
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
［方法二］【最优解】：同构
由得，即，而，所以．
令，则，所以在R上单调递增．
由，可知，所以，所以．
令，则．
所以当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以，则，即．
所以a的取值范围为．
［方法三］：换元同构
由题意知，令，所以，所以．
于是．
由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．
令，所以．
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以当时，取得最大值为．所以．
［方法四］：
因为定义域为，且，所以，即．
令，则，所以在区间内单调递增．
因为，所以时，有，即．
下面证明当时，恒成立．
令，只需证当时，恒成立．
因为，所以在区间内单调递增，则．
因此要证明时，恒成立，只需证明即可．
由，得．
上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立．
当时，因为，显然不满足恒成立．
所以a的取值范围为．
【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；
方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；
方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出；
方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可．
19．【答案】(1)，，，，，，；
(2)；
(3)（答案不唯一，满足即可）
【详解】（1）根据题意，，，
，，，
，．
（2）由已知，m，n均为奇数，不妨设．
当时，因为，所以，故；
当时，因为，而n为奇数，，所以．
又m为奇数，，所以存在，使得为奇数．
所以．
而，所以，即，，无解．
所以．
（3）显然，n不能为偶数，否则，不满足．
所以n为正奇数．又，所以．
设或，．
当时，，不满足；
当时，，即．
所以取，时，
，
即．
【关键点拨】第（3）问中，发现当时，满足，从而设，，验证满足条件.
飞行距离x（千千米）
56
63
71
79
90
102
110
117
核心零件损坏数y （个）
61
73
90
105
119
136
149
163
保养
未保养
合计
报废
20
未报废
合计
60
100
0. 25
0. 1
0. 05
0.025
0. 01
0. 001
1.323
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
保养
未保养
合计
报废
6
14
20
未报废
54
26
80
合计
60
40
100
1
2
3
4