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广东省珠海市斗门区第一中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段考试 数学试题（含解析）
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这是一份广东省珠海市斗门区第一中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段考试 数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高二数学试卷
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．平行六面体中，，则该平行六面体的体对角线的长为（ ）
A．B．5C．D．
3．以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若的周长为6.且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．甲、乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.3；且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是（ ）
A．0.0972B．0.1188C．0.0756D．0.0216
6．已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则，的最大值为（ ）
A．4B．6C．9D．12
7．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．为了了解疫情期间的心理需求，心理健康辅导员设计了一份问卷调查，问卷有两个问题：①你的学号尾数是奇数吗？②你是否需要心理疏导？某校高三全体学生870人参加了该项问卷调查.被调查者在保密的情况下掷一枚质地均匀的骰子，当出现1点或2点时，回答问题①，否则回答问题②.由于不知道被调查者回答的是哪一个问题，因此，当他回答“是”时，别人无法知道他是否有心理问题，这种调查既保护了他的隐私，也能得到诚实的问卷反应.问卷调查结束后，发现该校高三学生中有155人回答“是”，由此可估计该校高三需要心理疏导的学生人数约为（ ）
A．10B．15C．29D．58
二、多选题
9．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
10．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在，空气质量为二级：PM2.5日均值超过为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（ ）
A．这10天的日均值的80%分位数为60
B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差
C．这10天的日均值的中位数为41
D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差
11．已知直线，圆，则下列命题正确的是（ ）
A．，点在圆外
B．，使得直线与圆相切
C．当直线与圆相交于PQ时，交点弦的最小值为
D．若在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，m的值为
12．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
三、填空题
13．已知三点共线，则 ．
14．某校高三年级有女生520名，男生480名，若用分层随机抽样的方法从高三年级学生中抽取一个容量为200的样本，则男生应抽取 名.
15．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点．若的面积是面积的2倍，则的离心率为 ．
四、解答题
17．已知空间向量.
(1)求；
(2)若向量与垂直，求实数的值.
18．已知直线过点且与直线：垂直．
(1)求直线的方程；
(2)若直线l经过，且过直线与的交点，求直线l的方程．
19．5月11日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，国际上常用身体质量指数（BdyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：
(1)求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数；
(2)已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数.
20．已知圆过点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)设点在圆上运动，点，记为线段的中点，求的轨迹方程；
21．如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点D是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
22．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
1．D
【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角．
【详解】直线的斜率为，所以倾斜角．
故选：D．
2．A
【分析】由空间向量加法的几何意义，结合平行六面体中相关线段的位置关系可得，再由空间向量数量积的运算律求，进而可得的长.
【详解】由题设，可得如下示意图，
由图知：，，
∴，
又，
∵，
∴，即.
故选：A
3．B
【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程.
【详解】直线方程可化为，
则两条平行线之间距离，即圆的半径，
所求圆的方程为：.
故选：B.
4．C
【分析】根据椭圆定义结合离心率列式求解即可.
【详解】设椭圆的半焦距为，
由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
故选：C.
5．B
【分析】确定甲队以获胜的情况有几种，根据独立事件的乘法公式以及互斥事件的加法公式，即可求得答案.
【详解】由题意知甲队以获胜，则共比赛4场，甲队第四场获胜，前3场中获胜2场，
故甲队以获胜的概率是
,
故选：B
6．C
【分析】由椭圆的定义可得，再由基本不等式求解即可.
【详解】因为M在C上，由椭圆的定义可得：
，所以，
当且仅当时取等，
所以的最大值为.
故选：C.
7．B
【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解.
【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图，
易得，，，
因为平面，平面，所以平面，
同理平面，
又因为平面，，所以平面平面.
因为平面，所以H为线段FG上的点.
由平面，平面，得，
又，则，
由平面，得平面，
因为，所以平面，，.
因为，
所以，，.
所以
.
因为，所以.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解.
8．B
【分析】根据古典概型计算公式进行求解即可.
【详解】因为当出现1点或2点时，回答问题①，所以概率为，
因为高三全体学生870人参加了该项问卷调查，
所以回答问题①的学生有，
因为学号尾数不是奇数就是偶数，故290人中回答是的人数为，
而该校高三学生中有155人回答“是”，
所以估计该校高三需要心理疏导的学生人数约为，
故选：B
9．BD
【分析】根据向量共线定理可判断A；根据单位向量的概念可判断B；由向量夹角的余弦公式可判断C；根据法向量的特征可判断D.
【详解】因为，，，
所以，，，
对于A：若存在实数使得，则，显然方程组无解，所以不存在使得，
即与不共线，故A错误；
对于B：因为，所以与同向的单位向量，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：设平面的法向量，
则，取，得，故D正确；
故选：BD
10．BD
【分析】根据百分位数、极差、中位数、方差等知识确定正确答案.
【详解】个数据为：，
，故80%分位数为，A选项错误.
5天的日均值的极差为，后5天的日均值的极差为，B选项正确.
中位数是，C选项错误.
根据折线图可知，前天数据波动性小于后天数据波动性，所以D选项正确.
故选：BD
11．ACD
【分析】根据点与圆的位置关系判断A，由直线系所过定点在圆内判断B，根据交点弦的性质求解可判断C，根据圆与直线的位置关系判断D.
【详解】将点的坐标代入圆的方程，得，所以点在圆外，故A正确；
整理直线的方程为：，由解得，可知直线过定点，将定点代入圆的方程，可得，所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故B错误；
当圆心与直线所过定点的连线垂直于直线时，交点弦长最小，此时圆心到直线的距离为，由勾股定理知，故C正确；
当圆心到直线的距离为1时，在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，即，解得，故D正确.
故选：ACD.
12．BD
【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；
对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；
对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数．
【详解】
易知，点在矩形内部（含边界）．
对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；
对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．
故选：BD．
【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．
13．0
【分析】利用空间向量的共线定理计算即可.
【详解】由题意可知：，
由三点共线可知.
故答案为：0
14．96
【分析】根据分层抽样的定义，计算男女生比例，即可计算求解.
【详解】由已知得女生与男生的比例为：，
根据分层抽样的定义，男生应该抽取的人数为：（人）
故答案为：96.
15．或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
16．
【分析】由的面积是面积的2倍，得到，由此设，分别在和中利用余弦定理，即可找出的关系，即可求得答案.
【详解】如图，由的面积是面积的2倍，可得，
不妨设，，，则，．
在中，,由，
得，整理得①．
在中，,由，
得，整理得②，
①+②得，将该式代入②，
整理得，即，
故的离心率为，
故答案为：
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于找到之间的关系，解答时要注意利用的面积是面积的2倍，得到，由此可分别在和中利用余弦定理，即可找出的关系，求得答案.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的模长公式求解即可.
（2）根据空间向量垂直的坐标计算公式，求解即可.
【详解】（1），所以
（2），，
由向量与垂直，则 ，
则，
解得：.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知设出的方程为，代入点的坐标，求出的值，即可得出答案；
（2）联立直线与的方程，求解方程组得出交点坐标，然后即可根据两点式方程，求出答案.
【详解】（1）由已知可设直线的方程为.
又直线过点，所以有，解得，
所以，直线的方程为.
（2）联立直线与的方程，
可得，
所以，直线与的交点.
又直线l经过，
代入直线的两点式方程可得，，
整理可得.
19．(1)，样本中女员工BMI值的70%分位数为，
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图的矩形面积之和为1可求出a的值，再根据百分位数的定义求解70%分位数；
（2）先根据频率分布直方图计算女员工的平均BMI值，再求解该公司员式BMI值的平均数即可.
【详解】（1）由题意得，解得，
因为，，
所以分位数在，设分位数为，则
，解得，
所以样本中女员工BMI值的70%分位数为，
（2）由题意得，样本中女员工BMI值的平均数为
，
所以估计该公司员工BMI值的平均数为
20．(1)
(2)
【分析】（1）先求的垂直平分线方程为，与的交点即圆心，圆心到点的距离即为半径，即可得圆的标准方程.
（2）由为线段的中点得到坐标与坐标的关系，代入圆方程可得轨迹方程.
【详解】（1），的中点坐标为，直线的斜率为，
故线段的垂直平分线方程为，即，
联立得，即圆的圆心为，半径为，
故圆的方程为
（2）设，，因为线段的中点，
所以，则，
因点在圆上运动，所以，
则，
即的轨迹方程为.
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，将线面垂直的证明转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线.
（2）将面面角转化为两平面的法向量所成角，再利用向量夹角公式求解即可.
【详解】（1）
证明：以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题意可得，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，令，即，，则，
，
，
平面.
（2）由（1）知，，
设平面的法向量为，
则，令，即，，即，
由（1）知，，，
设平面的法向量为，
则，令，即，，即，
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面的夹角的余弦值为.
22．(1)
(2)
【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
【详解】（1）解：设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
（2），所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
高二数学试卷
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．平行六面体中，，则该平行六面体的体对角线的长为（ ）
A．B．5C．D．
3．以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若的周长为6.且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．甲、乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.3；且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是（ ）
A．0.0972B．0.1188C．0.0756D．0.0216
6．已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则，的最大值为（ ）
A．4B．6C．9D．12
7．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．为了了解疫情期间的心理需求，心理健康辅导员设计了一份问卷调查，问卷有两个问题：①你的学号尾数是奇数吗？②你是否需要心理疏导？某校高三全体学生870人参加了该项问卷调查.被调查者在保密的情况下掷一枚质地均匀的骰子，当出现1点或2点时，回答问题①，否则回答问题②.由于不知道被调查者回答的是哪一个问题，因此，当他回答“是”时，别人无法知道他是否有心理问题，这种调查既保护了他的隐私，也能得到诚实的问卷反应.问卷调查结束后，发现该校高三学生中有155人回答“是”，由此可估计该校高三需要心理疏导的学生人数约为（ ）
A．10B．15C．29D．58
二、多选题
9．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
10．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在，空气质量为二级：PM2.5日均值超过为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（ ）
A．这10天的日均值的80%分位数为60
B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差
C．这10天的日均值的中位数为41
D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差
11．已知直线，圆，则下列命题正确的是（ ）
A．，点在圆外
B．，使得直线与圆相切
C．当直线与圆相交于PQ时，交点弦的最小值为
D．若在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，m的值为
12．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
三、填空题
13．已知三点共线，则 ．
14．某校高三年级有女生520名，男生480名，若用分层随机抽样的方法从高三年级学生中抽取一个容量为200的样本，则男生应抽取 名.
15．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点．若的面积是面积的2倍，则的离心率为 ．
四、解答题
17．已知空间向量.
(1)求；
(2)若向量与垂直，求实数的值.
18．已知直线过点且与直线：垂直．
(1)求直线的方程；
(2)若直线l经过，且过直线与的交点，求直线l的方程．
19．5月11日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，国际上常用身体质量指数（BdyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：
(1)求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数；
(2)已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数.
20．已知圆过点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)设点在圆上运动，点，记为线段的中点，求的轨迹方程；
21．如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点D是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
22．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
1．D
【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角．
【详解】直线的斜率为，所以倾斜角．
故选：D．
2．A
【分析】由空间向量加法的几何意义，结合平行六面体中相关线段的位置关系可得，再由空间向量数量积的运算律求，进而可得的长.
【详解】由题设，可得如下示意图，
由图知：，，
∴，
又，
∵，
∴，即.
故选：A
3．B
【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程.
【详解】直线方程可化为，
则两条平行线之间距离，即圆的半径，
所求圆的方程为：.
故选：B.
4．C
【分析】根据椭圆定义结合离心率列式求解即可.
【详解】设椭圆的半焦距为，
由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
故选：C.
5．B
【分析】确定甲队以获胜的情况有几种，根据独立事件的乘法公式以及互斥事件的加法公式，即可求得答案.
【详解】由题意知甲队以获胜，则共比赛4场，甲队第四场获胜，前3场中获胜2场，
故甲队以获胜的概率是
,
故选：B
6．C
【分析】由椭圆的定义可得，再由基本不等式求解即可.
【详解】因为M在C上，由椭圆的定义可得：
，所以，
当且仅当时取等，
所以的最大值为.
故选：C.
7．B
【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解.
【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图，
易得，，，
因为平面，平面，所以平面，
同理平面，
又因为平面，，所以平面平面.
因为平面，所以H为线段FG上的点.
由平面，平面，得，
又，则，
由平面，得平面，
因为，所以平面，，.
因为，
所以，，.
所以
.
因为，所以.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解.
8．B
【分析】根据古典概型计算公式进行求解即可.
【详解】因为当出现1点或2点时，回答问题①，所以概率为，
因为高三全体学生870人参加了该项问卷调查，
所以回答问题①的学生有，
因为学号尾数不是奇数就是偶数，故290人中回答是的人数为，
而该校高三学生中有155人回答“是”，
所以估计该校高三需要心理疏导的学生人数约为，
故选：B
9．BD
【分析】根据向量共线定理可判断A；根据单位向量的概念可判断B；由向量夹角的余弦公式可判断C；根据法向量的特征可判断D.
【详解】因为，，，
所以，，，
对于A：若存在实数使得，则，显然方程组无解，所以不存在使得，
即与不共线，故A错误；
对于B：因为，所以与同向的单位向量，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：设平面的法向量，
则，取，得，故D正确；
故选：BD
10．BD
【分析】根据百分位数、极差、中位数、方差等知识确定正确答案.
【详解】个数据为：，
，故80%分位数为，A选项错误.
5天的日均值的极差为，后5天的日均值的极差为，B选项正确.
中位数是，C选项错误.
根据折线图可知，前天数据波动性小于后天数据波动性，所以D选项正确.
故选：BD
11．ACD
【分析】根据点与圆的位置关系判断A，由直线系所过定点在圆内判断B，根据交点弦的性质求解可判断C，根据圆与直线的位置关系判断D.
【详解】将点的坐标代入圆的方程，得，所以点在圆外，故A正确；
整理直线的方程为：，由解得，可知直线过定点，将定点代入圆的方程，可得，所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故B错误；
当圆心与直线所过定点的连线垂直于直线时，交点弦长最小，此时圆心到直线的距离为，由勾股定理知，故C正确；
当圆心到直线的距离为1时，在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，即，解得，故D正确.
故选：ACD.
12．BD
【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；
对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；
对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数．
【详解】
易知，点在矩形内部（含边界）．
对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；
对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．
故选：BD．
【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．
13．0
【分析】利用空间向量的共线定理计算即可.
【详解】由题意可知：，
由三点共线可知.
故答案为：0
14．96
【分析】根据分层抽样的定义，计算男女生比例，即可计算求解.
【详解】由已知得女生与男生的比例为：，
根据分层抽样的定义，男生应该抽取的人数为：（人）
故答案为：96.
15．或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
16．
【分析】由的面积是面积的2倍，得到，由此设，分别在和中利用余弦定理，即可找出的关系，即可求得答案.
【详解】如图，由的面积是面积的2倍，可得，
不妨设，，，则，．
在中，,由，
得，整理得①．
在中，,由，
得，整理得②，
①+②得，将该式代入②，
整理得，即，
故的离心率为，
故答案为：
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于找到之间的关系，解答时要注意利用的面积是面积的2倍，得到，由此可分别在和中利用余弦定理，即可找出的关系，求得答案.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的模长公式求解即可.
（2）根据空间向量垂直的坐标计算公式，求解即可.
【详解】（1），所以
（2），，
由向量与垂直，则 ，
则，
解得：.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知设出的方程为，代入点的坐标，求出的值，即可得出答案；
（2）联立直线与的方程，求解方程组得出交点坐标，然后即可根据两点式方程，求出答案.
【详解】（1）由已知可设直线的方程为.
又直线过点，所以有，解得，
所以，直线的方程为.
（2）联立直线与的方程，
可得，
所以，直线与的交点.
又直线l经过，
代入直线的两点式方程可得，，
整理可得.
19．(1)，样本中女员工BMI值的70%分位数为，
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图的矩形面积之和为1可求出a的值，再根据百分位数的定义求解70%分位数；
（2）先根据频率分布直方图计算女员工的平均BMI值，再求解该公司员式BMI值的平均数即可.
【详解】（1）由题意得，解得，
因为，，
所以分位数在，设分位数为，则
，解得，
所以样本中女员工BMI值的70%分位数为，
（2）由题意得，样本中女员工BMI值的平均数为
，
所以估计该公司员工BMI值的平均数为
20．(1)
(2)
【分析】（1）先求的垂直平分线方程为，与的交点即圆心，圆心到点的距离即为半径，即可得圆的标准方程.
（2）由为线段的中点得到坐标与坐标的关系，代入圆方程可得轨迹方程.
【详解】（1），的中点坐标为，直线的斜率为，
故线段的垂直平分线方程为，即，
联立得，即圆的圆心为，半径为，
故圆的方程为
（2）设，，因为线段的中点，
所以，则，
因点在圆上运动，所以，
则，
即的轨迹方程为.
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，将线面垂直的证明转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线.
（2）将面面角转化为两平面的法向量所成角，再利用向量夹角公式求解即可.
【详解】（1）
证明：以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题意可得，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，令，即，，则，
，
，
平面.
（2）由（1）知，，
设平面的法向量为，
则，令，即，，即，
由（1）知，，，
设平面的法向量为，
则，令，即，，即，
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面的夹角的余弦值为.
22．(1)
(2)
【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
【详解】（1）解：设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
（2），所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
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