广西柳州铁一中学2024-2025学年高二上学期9月月考 数学题（含解析）

这是一份广西柳州铁一中学2024-2025学年高二上学期9月月考 数学题（含解析），共16页。试卷主要包含了椭圆，，若椭圆，双曲线的蒙日圆的面积为等内容，欢迎下载使用。
一､单选题
1．已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，过作圆的切线,,切点为,使得，则椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
2．椭圆，（）的右顶点为，已知，若椭圆上存在点，满足，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
4．设分别是椭圆的左､右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A．4B．C．D．
5．加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．若为正方形，则的边长为
C．椭圆的蒙日圆方程为
D．长方形的面积的最大值为
6．若椭圆：的蒙日圆为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．现将质点随机投入椭圆所对应的蒙日圆内，则质点落在椭圆外部的概率为？（附：椭圆的面积公式为）（ ）
A．B．C．D．
8．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．双曲线的蒙日圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
二､填空题
11．在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双曲线的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若，则的周长为 .
12．椭圆C：的左、右焦点分别为，，点A在椭圆上，，直线交椭圆于点B，，则椭圆的离心率为 ．
13．已知椭圆的左､右焦点为，过作x轴垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 .
14．设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为 .
三､多选题
15．如图，正方体的棱长为2，是的中点，是侧面内的一个动点（含边界），且平面，则下列结论正确的是（ ）

A．平面截正方体所得截面的面积为
B．动点的轨迹长度为
C．的最小值为
D．与平面所成角的正弦值的最大值为
16．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F在侧面CDD1C1上运动，且满足B1F//平面A1BE．以下命题正确的有（ ）
A．点F的轨迹长度为
B．直线与直线BC所成角可能为45°
C．平面A1BE与平面CDD1C1所成锐二面角的正切值为
D．过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大为
四､解答题
17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，已知
(1)求角A；
(2)若，求的取值范围.
18．中，内角的对边分别为 ，记的面积为，且 .
(1)求角；
(2)若为的中点，且，求 的内切圆的半径.
19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A为锐角，的面积为S，且满足．
(1)若，求A；
(2)求的最大值．
1．A
【详解】试题分析：椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB，则两切线形成的角最小，若椭圆上存在满足条件的点P，则只需，即，，解得，，即，又，即椭圆的离心率的取值范围是；
考点：椭圆方程及性质
2．B
【分析】先求，再求点满足的轨迹方程，接着判断，最后求椭圆的离心率的取值范围.
【详解】解：因为椭圆，所以，
设点，因为，，，
所以点满足的轨迹方程：，即，
故当时，点存在，
故椭圆的离心率，又因为，
所以
故选：B
【点睛】本题考查求点的轨迹方程、求椭圆的离心率，是基础题
3．D
【分析】根据圆心到距离为，可得圆上的点到的距离最大值为，最小值为，再由，可得 ，从而得到答案.
【详解】圆的圆心，半径为，
因为圆心到距离为，
所以圆上的点到的距离最大值为，最小值为，
又因为，则以为直径的圆和圆有交点，
可得，
所以有，
故选：D
【点睛】本题主要考查了实数值取值范围的求法，注意圆的性质的合理运用，属于中档题.
4．B
【分析】分析题意，找到垂直关系，利用椭圆的定义表示边长，运用勾股定理消参，用倾斜角和斜率的关系得到答案即可.
【详解】
点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，
，设
，在Rt中，，
，解得，
在Rt中，
所以直线的斜率为，
故选：B.
5．B
【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A正确；根据蒙日圆方程定义可知C正确；结合长方形的对角线长和基本不等式可求得BD错误.
【详解】对于A，由椭圆方程知：，，则，
椭圆的离心率，A正确；
对于BC，由A知：椭圆对应的蒙日圆方程为：，
正方形是圆的内接正方形，正方形对角线长为圆的直径，
正方形的边长为，B错误，C正确；
对于D，设长方形的长和宽分别为，
长方形的对角线长为圆的直径，，
长方形的面积（当且仅当时取等号），
即长方形的面积的最大值为，D正确.
故选：B.
6．D
【分析】根据蒙日圆的概念，可知过椭圆右顶点和上顶点的切线的交点在蒙日圆上，坐标满足圆的方程，从而得到关于的方程进行求解.
【详解】如图，分别与椭圆相切，显然.

所以点在蒙日圆上，所以，
所以，即，所以椭圆的离心率.
故选：D.
7．D
【分析】求出蒙日圆面积，再求出椭圆面积，根据几何概率即可得到答案.
【详解】由题意知，蒙日圆的半径为，
所以，
根质点落在椭圆外部的概率为.
故选：D.
8．B
【分析】先由椭圆方程可得蒙日圆方程，再由两个圆仅有一个公共点可得圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，进而可得的值.
【详解】由题意可知的蒙日圆方程为，
因为圆与圆仅有一个公共点，
所以两圆内切或外切，
故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，
所以或，
由此解得.
故选：B.
9．A
【分析】根据题意先求蒙日圆的半径，再由可得直径，又利用基本不等式的求得的最大值，进而由面积的最大值为34可得的值.
【详解】由题意可知椭圆的蒙日圆的半径为，因为，
所以为蒙日圆的直径，所以，
所以，
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为，
所以，则.
故选：A.
10．A
【分析】设Px0,y0和过点的双曲线切线方程为，再将其与双曲线方程联立，利用判别式等于0和和韦达定理即可得到答案.
【详解】不妨设Px0,y0，则过点的双曲线切线方程为存在且不为零，
联立，消去得，
所以，整理得
可知为关于的方程的两个根，且，
即，整理得，即点的轨迹方程为，
即双曲线的蒙日圆方程为，
半径为面积为.
故选：A.
11．##
【分析】结合双曲线方程求出与，由蒙日圆定义可得圆的方程，再由切线互相垂直可得为直径，解直角三角形可得.
【详解】由双曲线可知，.
则的蒙日圆圆心为，半径为，其蒙日圆方程为，
由已知可得，
所以为圆的直径，所以.
又，所以.
所以的周长为.
故答案为：.
12．（也可以）
【分析】可以利用条件三角形为等腰直角三角形，设出边长，找到边长与之间等量关系，然后把等量关系带入到勾股定理表达的等式中，即可求解离心率.
【详解】
由题意知三角形为等腰直角三角形，设，则，解得，，在三角形中，由勾股定理得，所以，．
故答案为：（也可以）
13．##
【分析】以为等腰直角三角形列方程组可得之间的关系式，进而求得椭圆的离心率.
【详解】椭圆的左､右焦点为，点P
由为等腰直角三角形可知，，即
可化为，故或（舍）
故答案为：
14．
【分析】设，，根据椭圆性质和余弦定理得到，利用均值不等式得到，解得答案.
【详解】设，，则，，
即，
，即，当且仅当时等号成立，
故，即，.
故答案为：
15．BCD
【分析】根据正方体的截面、动点轨迹、线段和的最值、线面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】如图1，取的中点，连接，，因为，
所以平面截正方体所得的截面为四边形.
因为，所以A错误.
如图1，取的中点，的中点，连接，，，
因为，，
由于平面，平面，所以平面，
同理可证得平面，由于平面，
所以平面平面，
所以点的轨迹为线段.因为，所以B正确.
如图2，将平面，平面展开至共面，连接交于，
此时最小，因为，所以C正确.
如图3，建立空间直角坐标系，则，，，，，
设，则，所以.
设平面的法向量为，因为，，
所以，令，得，
设与平面所成的角为，则，
当时，有最大值，所以D正确.

故选：BCD
16．ACD
【分析】取和的中点分别为，即可证明平面平面，从而得到点在线段上，即可判断A；由，则即为异面直线所成的角，再利用锐角三角函数计算即可判断B；找出二面角的平面角，利用锐角三角函数计算即可判断C；当为与的交点时过点的平面截正方体所得的截面面积最大，求出最大截面面积，即可判断D；
【详解】解：对于：取和的中点分别为，连接，则，平面，平面，所以平面平面，因为在侧面上运动，且满足平面，所以点在线段上．故点运动的轨迹长度为：，故选项正确；
对于B：因为．所以与直线所成角即为与直线所成角，则即为异面直线所成的角，在Rt中，，因为正方体的棱长为2，在Rt中，，若所成的角为，则，而最大为，矛盾，所以所成角不可能为，故选项B不正确；
对于C：因为面面，所以平面与平面所锐二面角，
即为平面与平面所成锐二面角，因为面面，当为线段的中点，可得，所以即为二面角的平面角，且，
所以，故选项C正确；
对于：当为与的交点时过点的平面截正方体所得的截面面积最大，取的中点，，则截面为菱形，，其面积为故选项D正确，
故选：ACD．
17．(1)
(2)
【分析】（1）已知等式由余弦定理和面积公式代入变形可得求角A；
（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，进而根据正弦函数的性质即可求解取值范围.
【详解】（1）已知，由余弦定理和三角形的面积公式，
得，即，
若，则，不符合题意，故，
所以，由，得.
（2），，，
由正弦定理，
，
由，则，得，
所以，即的取值范围.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由已知等式结合三角形的面积公式和余弦定理化简可求出角；
（2）由题意得，两边平方化简可求出，再利用余弦定理可求出，然后利用等面积法可求得结果.
【详解】（1）因为，所以，
由余弦定理得 ，所以 ，
又，所以；
（2）因为为的中点，所以 ，
所以，
解得或（舍），
由余弦定理得 ，所以
设的内切圆半径为，则，
所以，解得
19．(1)
(2)4
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换化简整理即可结果；（2）根据题意利用余弦定理边化角整理可得，在以为整体结合正弦函数的有界性运算求解.
【详解】（1）由正弦定理和，得，
又∵，
∴，
因为，所以，则，即，
又∵，则．
（2）∵，
由余弦定理得，
所以，则，
又∵，则，
当，即时，取最大值，最大值为4．