河北省保定市曲阳县第一高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析）

这是一份河北省保定市曲阳县第一高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多选选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．两条平行直线和间的距离为，则的值分别为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
6．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A．B．C．D．
7．以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
8．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．；B．；
C．；D．；
二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是平面的一个法向量B．四点共面
C．D．
10．已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．在轴上的截距为B．过定点
C．若，则或D．若，则
11．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ）

A．三棱锥的体积是定值
B．存在点P，使得与所成的角为
C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D．若，则P的轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知 ，则 与 夹角的余弦值为 .
13．已知点在圆上，点，当最小时， .
14．直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知点，，，设，，．
(1)若实数使与垂直，求值．
(2)求在上的投影向量．
16．已知的三个顶点为.
(1)求边上的高所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线的方程.
17．已知平行六面体，底面是正方形，，，设．
(1)试用表示；
(2)求的长度．
18．已知直线：，：，且满足，垂足为C.
(1)求m的值及点C的坐标.
(2)设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求的外接圆方程.
19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.
1．B
【分析】根据坐标平面的对称性求解．
【详解】点A关于平面的对称点的坐标是，
故选：B．
2．C
【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】由直线经过两点，可得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，有，又，所以.
故选：C.
3．B
【分析】运用空间向量平行坐标结论，结合坐标运算即可解.
【详解】向量，则，
因，于是得，解得，
所以.
故选：B.
4．B
【分析】由已知列出关系式，求出的值.然后根据两条平行线之间的距离公式，即可求出的值.
【详解】由已知可得，，解得.
代入化简可得，.
根据两条平行线之间的距离公式可得，
.
故选：B.
5．B
【分析】利用空间向量的线性运算法则求解.
【详解】
.
故选：B.
6．B
【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.
【详解】

设直线的斜率为，倾斜角为，，
，，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，
所以，
因为，所以.
故选：B.
7．A
【分析】结合空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，逐一检验即可.
【详解】若空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，反之亦然，
对于A，由，，，得，即向量，，共面，不能构成空间基底；
对于B，令，则，不成立，即不共面，可构成基底；
对于C，令，则，即无解，即不共面，可构成基底；
对于D，令，则，即无解，即不共面，可构成基底.
故选：A
8．A
【分析】求出直线所过的定点，再确定最大值条件即可求解.
【详解】将直线变形得，
由，解得，因此直线过定点，
当时，点到直线的距离最大，
最大值为，又直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
故选：A

9．AD
【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A，根据共面定理即可求解B，根据向量共线即可求解C，由模长公式即可求解D.
【详解】，
所以平面，
所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确；
设，则，无解，所以四点不共面，故B错误；
，所以与不平行，故C错误；
，故D正确；
故选：AD.
10．ABD
【分析】根据直线截距的定义可判定A，由直线方程可求定点判定B，利用两直线的位置关系可判定C、D.
【详解】由易知，故A正确；
由，故B正确；
若两直线平行，则有且，解得，故C错误；
若两直线垂直，则有，故D正确.
故选：ABD
11．ACD
【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D.
【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
是定值，A正确；
以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，设，则
对于B，，使得与所成的角满足：
，
因为，故，故，
而，B错误；
对于C，平面的法向量，
所以直线与平面所成角的正弦值为：，
因为，故
故，
而，，
故即的取值范围为，C正确；
对于D，，由，
可得，化简可得，
在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为
，D正确；
故选：ACD.
12．##
【分析】由空间向量的数量积公式求解即可．
【详解】，
.
故答案为：
13．
【分析】找到当最小时P点所在的位置，再结合勾股定理可得结果.
【详解】设圆的圆心为，半径为4，
如图所示：当 最小时，与圆M相切，连接，
则，，而，
由勾股定理得，
所以当最小时，.
故答案为：.
14．4
【分析】根据直线恒过定点的求法求出两直线恒过的定点，即的坐标，根据直线的方程计算得出两直线垂直，即，即可得出，即可根据基本不等式得出答案.
【详解】直线化为，
当，得，即直线恒过点，即点，
直线化为，
当，得，即直线恒过点，即点，
且两条直线满足,
,即，
,
,当且仅当时，等号成立，
的最大值为4.
故答案为：4.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出空间向量的坐标，再结合向量垂直的坐标表示列式计算即得.
（2）利用投影向量的定义求解即得.
【详解】（1）依题意，，，
由与垂直，得，解得，
所以.
（2）由（1）知，，，
所以在上的投影向量为.
16．(1)
(2).
【分析】（1）根据两点的坐标求出直线的斜率，利用垂直关系求出高线的斜率，利用点斜式写出直线的方程；
（2）根据两点的坐标求出中点，再由两点坐标求出直线斜率，利用点斜式写出直线的方程.
【详解】（1）

因为的三个顶点为，
所以直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的斜率为，
所以直线的方程为，
化为一般式方程为；
（2）因为，所以的中点为，
又因为，所以直线的斜率为，
所以直线的点斜式方程为，
化为一般式为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量线性运算，结合几何体特征确定与的线性关系；
（2）由（1），结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度.
【详解】（1）.
（2），
，
所以
.
所以.
18．(1)，
(2)．
【分析】（1）根据题意，求得两直线的斜率，结合，求得，得出直线的方程，联立方程组，求得交点坐标.
（2）由（1）中的直线方程，求得，，得到的外接圆是以为直径的圆，求得圆心坐标和半径，即可求解.
【详解】（1）解：显然，可得，，
由，可得，即，解得，
所以直线：，直线：，
联立方程组，解得，所以点．
（2）解：由直线：，直线：，可得，，
所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心，半径，
所以的外接圆方程是．
19．(1)证明见解析
(2).
(3).
【分析】（1）由已知四边形为矩形，证明，由条件根据面面垂直性质定理证明平面；
（2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，再求其正弦值；
（3）设，求，利用向量方法求直线与平面所成的角的正弦值，列方程求.
【详解】（1）因为，因为，，
所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，
，，
且平面平面，平面
平面平面，
平面；
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，
则，，，，C−1,3,0，
设平面的法向量为，，，
由，取.
设平面的法向量为，，
由，取，
.
二面角是钝角，
二面角的正弦值为.
（3）设，则，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为，
解得，.