吉林省名校联盟2024-2025学年高二上学期9月联考 数学试题（含解析）

这是一份吉林省名校联盟2024-2025学年高二上学期9月联考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知直线l过点，，则，对于直线l等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章到第二章2.3。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的斜率为
A． B．2 C．-2 D．
2．若点P（-1，2）到直线l：的距离为，则a＝
A．5 B．-15 C．5或-15 D．-5或15
3．已知空间向量，，且，则k＝
A．-6 B．-8 C．2 D．-10
4．已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是
A． B． C． D．
5．在空间四边形OABC中，，，，且，，则
A． B．
C． D．
6．空间内有三点P（3，1，-4），E（2，1，1），F（1，2，2），则点P到直线EF的距离为
A． B． C． D．
7．在如图所示的多面体中，，，且，，则异面直线BP与CQ所成角的余弦值为
A． B． C． D．
8．已知二面角α-l-β的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面α，β内，且它们都垂直于l．若，，，，则平面α与β的夹角为
A．30° B．60° C．120° D．135°
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线l过点（0，2），，则
A．直线l的倾斜角为150°
B．直线l的两点式方程为
C．直线l的一个方向向量为
D．直线l的截距式方程为
10．对于直线l：，下列选项正确的是
A．直线l恒过点（2，-1）
B．当时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为
C．若直线l不经过第二象限，则
D．坐标原点到直线l的距离的最大值为
11．已知正三棱柱的所有棱长都为2，P是空间中的一动点，下列选项正确的是
A．若，则CP的最小值为2
B．若，则三棱锥P-ABC的体积为定值
C．若，则直线AP与平面ABC所成角的正弦值的最大值为
D．若，则平面PBC截三棱柱所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知直线l垂直于直线，且过点，则直线l的倾斜角为________，在x轴上的截距为________．
13．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为________．（用坐标表示）
14．已知点P（1，4），Q（6，3），直线l：，M为直线l上一动点，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知直线，直线．
（1）若，求，之间的距离；
（2）若，求，及x轴围成的三角形的面积．
16．（15分）
如图，在正方体中，点E，F，M分别是线段，EC，的中点．设，，．
（1）用基底表示向量．
（2）棱BC上是否存在一点G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，请说明理由．
17．（15分）
在空间几何体ABC-DEF中，四边形ABED，ADFC均为直角梯形，，，，．
（1）证明：．
（2）求直线DF与平面BEF所成角的大小．
18．（17分）
已知△ABC的顶点A（5，1），B（4，3），直线l：过定点G．
（1）若G是△ABC的重心，求△ABC三边所在直线的方程；
（2）若，且，求顶点C的坐标．
19．（17分）
如图，，，，，，．
（1）证明：．
（2）若三棱锥F-BDE的体积为1，求平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值．
高二数学试卷参考答案
1．A 直线的斜率为．
2．C 点P到直线l的距离，解得或-15．
3．C 因为，所以，解得．
4．D 设直线l的倾斜角为α，则．因为，且，所以．
5．B ．
6．A 因为，所以直线EF的一个单位方向向量为．
因为，所以点P到直线EF的距离为．
7．A 如图，将该多面体补成底面边长为2，高为2的正三棱柱，并建立如图所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），，C（-1，0，0），Q（0，0，2），所以，，所以．
8．B 因为，所以．
因为，，，，，，
所以，
所以．
因为，所以，故平面α与β的夹角为60°．
9．ABD 因为直线l过点（0，2），，所以直线l的斜率为，倾斜角为150°，故A正确，C不正确；直线l的两点式方程为，截距式方程为，所以B，D正确．
10．ABD 可变形为，由得所以直线l恒过点（2，-1），故A正确；
当时，直线l在x，y轴上的截距分别为1，1，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，故B正确；
当时，直线l的方程为，直线l也不经过第二象限，故C不正确；
因为直线l过定点（2，-1），所以坐标原点到直线l的距离的最大值为，故D正确．
11．BCD 如图，建立空间直角坐标系，则，B（0，1，0），C（0，-1，0），，，．
因为，所以，所以，
所以．
当，时，，所以A错误；
因为，所以，
所以点P到平面ABC的距离为定值，即三棱锥P-ABC的体积为定值，所以B正确；
因为，
平面ABC的一个法向量为，设AP与平面ABC所成的角为θ，
所以，，
当时，，所以C正确；
因为，所以，
由图可知平面PBC截三棱柱所得的截面为，，所以D正确．
12．； 因为直线的斜率为，所以直线l的斜率为，所以直线l的倾斜角为．因为直线l过点，所以直线l的方程为，故直线l在x轴上的截距为．
13．（-1，2，1） 因为，所以，所以．因为，所以在上的投影向量为．
14． 设P关于l的对称点为，
则解得即．
因为，所以的最小值为．
15．解：（1）因为，所以，
整理得，解得或．
当时，，，，重合；
当时，，，符合题意．故，
则，之间的距离为．
（2）因为，所以，解得．
，的方程分别为，．
联立方程组得．
因为，与x轴的交点分别为（-3，0），（2，0），
所以，及x轴围成的三角形的面积为．
16．解：（1）因为，，
所以．
（2）假设棱BC上存在点G，使得，设．
因为，
所以．
因为，所以，
得，所以棱BC上不存在一点G，使得．
17．（1）证明：因为，所以AB，AC，AD两两垂直．
以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（0，2，0），B（1，0，0），C（0，0，1），F（0，1，1），E（1，3，0）．
设平面BEF的法向量为，因为，，
所以令，得．
设平面DEF的法向量为，因为，，
所以令，得．
因为，所以，所以．
（2）解：设直线DF与平面BEF所成的角为α，由（1）知，平面BEF的一个法向量为，则，所以，
即直线DF与平面BEF所成的角为．
18．解：（1）将l：整理得，
由得所以G（0，-1）．
设，因为G是△ABC的重心，所以解得所以C（-9，-7）．
故AB所在直线的方程为，
BC所在直线的方程为，
AC所在直线的方程为．
（2）因为点G（0，-1）到直线AB的距离，，
所以点C到直线AB的距离为．
因为，所以点C在AB的垂直平分线上．
因为AB的垂直平分线的方程为，
所以解得或
所以或．
19．（1）证明：因为，，所以AB，AD，AE两两垂直．
如图，以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2）．
设F（1，2，a），因为平面ADE的一个法向量为，，所以．
因为，所以．
（2）解：设为平面BDE的法向量，点F到平面BDE的距离为h，
因，，所以令，得．
因为，，所以，即点F到平面BDE的距离为2，
所以，所以，即F（1，2，2）．
设平面BDF的法向量为，因为，，
所以令，得．
因为，所以平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为．