吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高二上学期第二次月考 数学试题（含解析）

这是一份吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高二上学期第二次月考 数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了已知双曲线，已知椭圆C，已知圆C等内容，欢迎下载使用。
高二第二次月考数学试题
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
（选择题，共60分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．经过两点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．设抛物线的焦点为，点为曲线第一象限上的一点，若，则直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，该双曲线过点，则该双曲线的右焦点到渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．若将一个椭圆绕其中心旋转，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（ ）．
A．B．
C．D．
5．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．5
6．如图所示，在四面体中，，，，点在上，且，为的重心，则（ ）

A．B．C．D．
7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，过P作的垂线交x轴于点A，若，记椭圆的离心率为e，则（ ）
A．B．C．D．
8．设抛物线的焦点为F，l为准线，P为C上一动点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为（ ）
A．4B．3C．D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不答的得0分.）
9．已知圆C：则（ ）
A．圆C与直线必有两个交点
B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1
C．圆C与圆恰有三条公切线，则，
D．动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，直线经过定点
10．已知抛物线，准线为，过焦点的直线与抛物线交于两点，，垂足为，设，则（ ）
A．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线恰有2条
B．已知曲线上的两点到点的距离之和为10，则线段的中点的横坐标是4
C．的最小值为
D．的最小值为4
11．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，从左焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为4，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为．则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的标准方程为
B．若点在椭圆上，的最大值为
C．若点在椭圆上，则的最大值为
D．过直线上一点分别作椭圆切线，交椭圆于两点，则直线恒过定点
12．已知双曲线右焦点为，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，点，若为锐角三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线过点
B．直线与双曲线有两个公共点
C．双曲线的一条渐近线的斜率小于
D．双曲线的离心率取值范围为
第 Ⅱ 卷（非选择题，共80分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知，，，若，，，四点共面，则 ．
14．已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围是 .
15．已知椭圆：的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，弦的垂直平分线交轴于点P，若，则椭圆的离心率 ．
16．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若上存在点，满足（为坐标原点），且的内切圆的半径等于，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共60分）
17．圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦．
(1)当时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
18．已知圆C经过点且圆心C在直线上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.
19．如图，在四棱台中，四边形和都是正方形，平面平面，平面平面是棱上的一点，且．

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
20．已知抛物线：的焦点为，顶点为坐标原点，过点的直线与相交于两点，当点到直线的距离最大时，.
(1)求的标准方程；
(2)过点作轴于点，记线段的中点为，且与的面积之和为，求的最小值.
21．已知椭圆C：的焦距为4，左右顶点分别为，，椭圆上异于，的任意一点P，都满足直线，的斜率之积为．
(1)若椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数m的取值范围；
(2)过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，过原点O作直线MN的垂线并延长交椭圆于点Q．那么，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
22．对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆（），它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍．

(1)求椭圆伴随双曲线的方程；
(2)如图，点，分别为的下顶点和上焦点，过的直线与上支交于，两点，设的面积为，（其中为坐标原点）．若的面积为，求．
1．A
【分析】根据直线上任意两点可求出斜率，从而求出倾斜角.
【详解】由题意得，所以直线的倾斜角为；
故选：A
2．A
【分析】设抛物线的准线为，作于，作于，在中求即可.
【详解】设抛物线的准线为，
如图，作于，则，作于，则，
在中，，
又，所以，
即直线的倾斜角为，
故选：A.
3．D
【分析】根据渐近线的倾斜角求出，再根据双曲线过点求出，再根据点到直线的距离公式可求出结果.
【详解】因为一条渐近线的倾斜角为，所以斜率为，所以，该渐近线为，即，
因为该双曲线过点，所以，
将代入得，得，，，，
所以，右焦点到渐近线的距离为.
故选：D
4．A
【分析】根据所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，由再逐项判断.
【详解】因为所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，
所以，即 ，
A． ，则 ，故正确；
B． ，则 ，故错误；
C． ，则 ，故错误；
D． ，则 ，故错误；
故选：A
5．C
【分析】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值．
【详解】如下图所示，双曲线的右焦点，渐近线的方程为，
由点到直线的距离公式可得，
由勾股定理得，
在中，，，
在中，，，，
，
由余弦定理得，
化简得，，即，因此，双曲线的离心率为，
故选：C．
【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：
①直接求出、，可计算出离心率；
②构造、的齐次方程，求出离心率；
③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解．
6．B
【分析】表达出，即可求出的表达式.
【详解】由题意，
在四面体中，，，，
连接，延长交于，则是的中点，
，
，，，
故选：B．
7．A
【分析】由题意可得，从而可求得，根据勾股定理求出，根据椭圆的定义及离心率公式即可求解.
【详解】因为，,
所以,可得.
在中，.
由椭圆的定义可得，故，
所以，所以.
故选:A.

8．A
【分析】过点，作与直线垂直，垂足为，结合抛物线的定义可知.结合图象可知，当共线时，距离和取得最小值，根据点到直线的距离，即可得出答案.
【详解】由已知，可得，过点P作，垂足为.
由抛物线的定义，点到准线的距离等于点到焦点的距离.
过点，作与直线垂直，垂足为，
则，
当三点共线，且点位于线段上时，等号成立.
此时的最小值等于点到直线的距离.
故选：A.
9．ACD
【分析】对选项A，直线过定点，定点在圆内，故A正确，对选项B，圆心到直线的距离为，即可得到只有三个点满足，故B错误，对选项C，根据；两圆外切即可判断C正确，对选项D，设点，根据题意得到两点在以为直径的圆上，所在直线方程为，再求定点即可判断D正确.
【详解】对于，直线，，直线过定点，
，定点在圆内，故A正确；
对于，圆的圆心到直线的距离为，
如图所示：

所以只有三个点满足，故B错误.
对于，圆化简得到，
因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，故，
解得，故C正确.
对于D，设点，如图所示：

因为为切点，所以，连接，根
据圆周角与圆直径关系可知，两点在以为直径的圆上，
以为直径的圆的方程为，和相减可得，
两圆公共弦所在直线方程为，
联立方程，得，
令，则，即直线经过定点，故D正确.
故选：ACD
10．BCD
【分析】由点在抛物线外从而判断A；由抛物线的定义结合中点坐标公式判断B；由抛物线的定义结合图像判断C；联立直线和抛物线方程，由韦达定理结合基本不等式得出的最小值.
【详解】对于A，因为在抛物线外，显然过与抛物线相切的直线有2条，
当此直线与x轴平行时，与抛物线也是仅有一个公共点，
所以过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，故A错误；
对于B，设，则，即，
则线段的中点的横坐标为，故B正确；
对于C，，（当点在线段上时，取等号），故C正确；
对于D，设，设直线的方程为，
由，得，
易得，则，
，（当且仅当时，等号成立），故D正确；
故选：BCD
.
11．ABD
【分析】利用椭圆定义以及离心率大小可求得椭圆的标准方程为；利用两点间距离公式并结合椭圆范围即可求得的最大值为；由余弦定理可得，所以的最大值为；利用结论椭圆上在点处的切线方程为，以及点在直线上可求出满足的直线方程，即可得直线恒过定点.
【详解】根据题意，一束光线从射出，经椭圆上的点反射至，如下图所示：
所以可得，即；
又椭圆的离心率为，可得，所以；
即椭圆的标准方程为，所以A正确；
易知，设，且，
则，
又，则，
所以的最大值为，即B正确；
由椭圆定义可知，不妨设，
，
又，可得，所以，
当且仅当时，等号成立；
此时的余弦值最小为，所以的最大值为，即C错误；
易知椭圆上在点处的切线方程为，
证明如下：当切线斜率存在时，设直线与相切于点，
联立直线和椭圆方程可得，
所以，整理可得；
又易知，即，所以可得；
整理可得；
又因为切点在椭圆上，即，整理可得
联立可得，即，可得；
所以切线方程为，化简可得；
经检验，切线斜率不存在时也符合上式，
即圆上在点处的切线方程为.
设，，
所以椭圆在点处的切线的方程为，
同理点处的切线的方程为，
又两切线交于点，所以可得，即满足方程，所以直线的方程为
整理可得直线的方程为，若过顶点则与无关，
所以，即可得，即可得直线恒过定点，即D正确；
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题在求解直线过定点问题时，关键是利用结论：椭圆上在点处的切线方程为，分别求得两切线方程即可得出直线过定点.
12．ACD
【分析】将点代入双曲线即可判断A选项，然后结合题干信息得到。从而可求出离心率的范围进而可判断D选项，再结合的范围利用放缩即可判断C选项，联立根据即可判断B选项，进而可得出结果.
【详解】A选项：将点代入双曲线，得到，符合，所以双曲线过点，故A选项正确；
D选项：因为是锐角三角形，所以，则，即.因为双曲线中，所以，所以，解得，所以.因为，则，所以双曲线的离心率的取值范围是，D选项正确；
C选项：双曲线的一条渐近线为，则斜率为，，又，则，又，所以，即，故C选项正确，
B选项：联立，得，即，则，由C选项得，，此时，故B选项错误.
故选：ACD.
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
13．5
【分析】根据，，，四点共面，由求解.
【详解】解：因为，，，且，，，四点共面，
所以，则，解得，
故答案为：5
14．
【解析】将圆的方程化为标准方程，由即可得解.
【详解】方程可化为，所以，解得.
故答案为：.
15．##0.5
【分析】设直线的方程, 代入椭圆方程, 由韦达定理, 弦长公式及中点坐标公式, 求得中点坐标 坐标, 求得垂直平分线方程, 当时, 即可求得点坐标, 代入即可求得, 即可求得 , 即可求得和的关系, 即可求得椭圆的离心率.
【详解】因为倾斜角为的直线过点，
设直线的方程为: , ,
线段的中点,
联立 ，化为，
，
，
的垂直平分线为:,
令 , 解得 ,.
,
,则 ,
椭圆的离心率为,
故答案为:.
【点睛】关键点睛：运算能力是关键；本题考查简椭圆的简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,直线的垂直平分线的求法, 属于较难题.
16．5
【分析】利用直角三角形内切圆半径公式和双曲线的定义找到与的关系，从而求出离心率.
【详解】设，，点在双曲线的右支上，
由，可知，
又由双曲线的定义有，，
在中，的内切圆的半径，又由，可得，联立解得代入，
有，整理为，可得，
有，故双曲线的离心率．
故答案为：5
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据倾斜角以及求解出直线的方程，再根据半径、圆心到直线的距离、半弦长构成的直角三角形求解出；
（2）根据条件判断出，结合和点坐标可求直线的方程.
【详解】（1）圆的圆心，半径，
因为，所以直线的斜率，
所以，即，
所以圆心到的距离，
所以；
（2）因为弦被平分，所以，
又因为，所以，
所以，即.
18．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用待定系数法即得；
（2）根据相关点法，设出点M的坐标，利用中点公式结合圆的方程即得.
【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为，则
，
解之得，
所以圆C的标准方程为；
（2）设M（x，y），，由及M为线段EF的中点得，
解得,
又点E在圆C：上，
所以有，
化简得：,
故所求的轨迹方程为．
19．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据题意利用面面垂直的判定定理可得平面，平面，进而可得，，利用线面垂直的判定定理可得平面，即可得结果；
（2）建系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角.
【详解】（1）因为为正方形，则，
又因为平面平面，平面平面，平面，
可得平面，且平面，可得，
由，平面平面，平面平面，平面，
可得平面，且平面，可得，
且，平面，可得平面，
因为平面，所以.
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
则，
所以线与平面所成角的正弦值为.

20．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意设，直线与抛物线方程联立，结合弦长公式得到，进而求出最大值即可；
（2）设，，得到，得到，根据基本不等式求出最小值即可.
【详解】（1）由题意知，，直线斜率不为，
设，，

由，得，
，，
则
，
当时，，所以，
所以的标准方程为
（2）由（1）知，设，，

联立，则，，
因为线段的中点为，所以点纵坐标为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为
21．(1)
(2)存在，
【分析】（1）设，则，又点P在C上，利用待定系数法求出椭圆方程；设：联立得出关系得出结果.
（2）设联立表示，联立得，代入求得结果.
【详解】（1）由题意得：，，，，
①
∵点P在C上，∴代入①式，∴，∴,
∵，∴，，椭圆C方程，
设，，，

设：联立得，
，
，.
∴，中点在l上，，
∴.
（2）设联立得，
，，
，
联立得，
则，
∴，
∵为定值，设为，
∴，
∴，，
∴存在，使得为定值.

【点睛】圆维曲线中的定值问题方法点睛：
圆维曲线中的定值问题是考试中常考的类型题，主要有设线和设点法，本题采取设线法，利用韦达定理得到相关点的坐标，表示相应的弦长，代入化简整理求得定值.
22．(1)
(2)
【分析】（1）设椭圆与其伴随双曲线的离心率分别为，，依题意可得，，根据离心率公式得到方程，求出，即可得解；
（2）设直线的斜率为，，，直线的方程，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，求出，由求出，再由可得，根据数量积的坐标表示，代入韦达定理，即可得解.
【详解】（1）设椭圆与其伴随双曲线的离心率分别为，，
依题意可得，，
即，即，解得，
所以椭圆，则椭圆伴随双曲线的方程为.
（2）由（1）可知，，设直线的斜率为，，，
则直线的方程，与双曲线联立并消去得，
则，所以，，则，
又，又，
所以，
解得或（舍去），
又，所以
，
因为，所以.