江苏省启东中学2023-2024学年高二上学期1月考试 数学试题

这是一份江苏省启东中学2023-2024学年高二上学期1月考试 数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．抛物线的焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，圆：（），若圆上存在点，使，则圆的半径的范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数在R上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知正项等比数列中，，，数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知双曲线：的左､右焦点分别为，，点是的右支上一点，，连接与轴交于点，若(为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知等差数列的前n项和为，公差，，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．当且仅当时，取得最大值D．当时，n的最大值为20
10．对于定义在R上的可导函数，为其导数，下列说法正确的是（ ）
A．使得的x一定是函数的极值点
B．“在R上单调递增”是“在R上恒成立”的必要不充分条件
C．函数在给定的区间上必存在最值
D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调
11．下列四个命题中，正确命题有（ ）
A．当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是
B．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是
C．若，则动点P的轨迹是双曲线左边一支
D．已知双曲线，其离心率，则m的取值范围是
12．关于函数，下列判断正确的是（ ）．
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得成立
D．对任意两个正实数，且，若，则．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ．
14．若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 ．
15．函数在区间上不单调，则实数 k的取值范围是 .
16．已知数列中，，其前项和满足，则 ； .
四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
18．在数列中，，，．
(1)证明为等比数列；
(2)求.
19．设椭圆的短轴长为4，离心率为．
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
（2）设点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．
20．已知函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若任意且，都有成立，求实数的取值范围.
21．已知点M到点的距离比到点M到直线的距离小4．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）若曲线C上存在两点A，B关于直线对称，求直线AB的方程．
22．已知，.
(1)若是单调函数，求实数的取值范围
(2)若不等式对任意成立，求的最大整数解
1．D
【分析】用抛物线标准方程即可.
【详解】即，所以其焦点在y轴正半轴，坐标为，
故选:D.
【点睛】抛物线的标准方程有四个形式，注意焦点位置.
2．A
【分析】设，由得，即可知的轨迹为，要使圆上存在点，即圆与有交点，进而可得半径的范围.
【详解】设，则，，
∵，即，
∴，即在以原点为圆心，半径为1的圆上，
而圆的圆心为，半径为R，
∴圆上存在点，即圆与有交点，
∴.
故选：A
【点睛】关键点点睛：由及向量垂直的数量积公式即可确定的轨迹，要使圆上存在点，只需保证圆与的轨迹有交点即可.
3．B
【分析】求出导函数，由已知可推得恒成立，应满足，列出的不等式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
因为函数在R上是减函数，所以恒成立，
所以应有，
解得.
故选：B.
4．B
【分析】求出等比数列的公比，结合等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】设正项等比数列的公比为，则，
所以，.
故选：B.
5．D
【分析】求出函数的导数和在处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为可得答案．
【详解】，
切线的斜率为，
因为切线与直线垂直，所以，解得．
故选：D．
6．B
【解析】利用，结合可得，再利用双曲线的定义可得，，在中，由勾股定理可得之间的关系，再结合可得之间的关系，即可求出渐近线方程.
【详解】
设，，
因为，所以，
因为，，
所以，
由，所以，
因为，解得：，，
在中，由勾股定理可得：，
即，可得，所以，
可得，即，
所以渐近线方程为：，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分析出三角形相似，利用已知线段的关系求出，再利用双曲线的定义即可求出，.
7．B
【分析】令，求导分析，可得在上单调递减，不等式可等价转化为，根据单调性可得答案．
【详解】令，
，
，
在上单调递减，
又，
，
不等式可化为，
，
故选：B.
8．D
【分析】利用导数求的取值范围，利用二次函数的性质求的取值范围，依题意有，解不等式得实数a的范围.
【详解】函数，因为，，所以f′x≥0，
故在上单调递增，所以.
又，所以在上也是单调递增，所以.
因为对任意的，总存在，使成立，等价于，
所以，解得，故实数a的范围是.
故选：D.
9．BD
【分析】先求出，，从而可判断AB的正误，再求出通项公式，根据其符号可判断C的正误，求出并解不等式，故可判断D的正误.
【详解】因为，故，又，
整理得到：，故，，故A错，B正确.
又，
当时，；当时，；当时，，
故当且仅当、时，取得最大值，故C错误.
又，
令，则即n的最大值为20，故D正确
故选：BD.
10．BCD
【分析】根据极值点和极值的定义，导数与函数单调性和极值的关系，函数最值的定义，对选项进行判断.
【详解】对于A：的x不一定是函数的极值点，
比如：，，，在R上单调递增，
但x=0不是的极值点，故A错误；
对于B：若“f′x>0在R上恒成立”则“在R上单调递增”，若“在R上单调递增”则“f′x≥0在R上恒成立”
故“在R上单调递增”是“f′x>0在R上恒成立”的必要不充分条件，故B正确；
对于C：由最值的定义可知，函数在给定的区间上必存在最值，C正确；
对于D：根据极值点和极值的定义可以判断，若在R上存在极值，则它在R上一定不单调，故D正确．
故选：BCD.
11．ABD
【分析】对于A，求出点的坐标即可判断；对于B，根据条件可得，即可判断；对于C，根据双曲线的定义与性质即可判断；对于D，得到，然后即可判断.
【详解】对于A，当a为任意实数时，直线恒过定点P，
因为方程可化为，
令，则，所以，
设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为，根据点位于第二象限知，
代入点得，解得，所以标准方程为，故A正确；
对于B，由双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，
则，，，解得，
故双曲线的标准方程是，故B正确；
对于C，因为，则，
则动点P的轨迹是双曲线右边一支，故C错误；
对于D，根据题意，双曲线，其离心率，
即，则，故D正确.
故选：ABD.
12．BD
【分析】求导后讨论单调性可判断A；求导后讨论的单调性，利用零点存在定理判断B；利用常数分离法，构造函数，利用导数分析得的单调性可判断C；利用极值点偏移问题的解法求解，从而可判断D.
【详解】对于选项A，函数的定义域为，函数的导数，
所以在内，，函数单调递减；
在上，，函数单调递增，
所以是的极小值点，故A错误；
对于选项B，由，得，
由于分子判别式小于零，所以恒成立，
所以函数在，上单调递减，
且，
所以函数有且只有1个零点，故B正确；
对于选项C，若，可得，
令，则，
令，则，
所以在内，，函数单调递增；
在上，，函数单调递减，
所以，所以，
所以函数在上单调递减．
又因为当时，，
所以不存在正实数，使得恒成立，故C不正确；
对于选项D，设，即有，
，即为，
化为，
故，所以，
则，
设（），可得，
令，则在上恒成立，
可得，所以，故单调递增，
可得，故成立，故D正确．
故选：BD.
【点睛】方法点睛：
（1）函数的极值点与零点可用导数分析单调性后再结合具体函数值分析；
（2）对于含参数的函数不等式恒成立问题可分离参数后求导，分析单调性再求参数的范围；
（3）极值点平移问题，先构造函数求导，再赋值，最后可得
13．
【分析】结合函数的图像，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围，进而求出倾斜角的范围即可.
【详解】解：如图所示：

设直线过点时直线的斜率为，直线过点时直线的斜率为，
则，，，
所以要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：,
所以倾斜角的取值范围.
故答案为：.
【点睛】本题考查了求直线的斜率问题，斜率与倾斜角的关系，考查数形结合的思想，是一道基础题.
14．
【分析】分类，讨论函数单调性，求出极值点，根据极值点大于零求解可得.
【详解】
当时，，此时在R上单调递增，无极值；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数存在极小值点，
依题意，，解得，
所以，实数a的取值范围是．
故答案为：
15．
【分析】根据导数的几何意义及导函数的符号与函数的单调性的关系，把问题转化为二次函数的零点分布问题求解.
【详解】函数求导，
因为在区间上不单调，所以f′x在区间内有零点.
又因为为偶函数，所以在上最多只有1个根.
，因为，，
所以.
故答案为：
16．
【分析】令，代入即可得第一空答案；结合已知条件及，可得是一个以2为首项，1为公差的等差数列，求出通项公式即可得第二空答案.
【详解】因为，
令，则，
即，
得，解得；
由，，
可得，
化简得，
即，，
所以是一个以2为首项，1为公差的等差数列，
，，
所以.
故答案为：；
【点睛】方法点睛：在涉及与的题目时，要充分利用前和的定义及.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）由已知可得，解方程即可得出.进而根据导函数的符号，检验即可得出答案；
（2）根据（1）求出的极值，结合三次函数的图象，可知，求解即可得出c的取值范围．
【详解】（1）由题意得，
函数在及处取得极值，
得，解得.
此时，.
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意.
（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值．
又有三个不同的实根，
由图象知，解得，
所以实数c的取值范围是．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得，从而得到，最后用累加法即可求出，同时验证是否满足即可．
【详解】（1）证明：由得，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可得，
，即，
，，，
用累加法即可得，
即，
，
又也满足上式，
．
19．（1）；（2）.
【分析】（1）根据题目条件可以求出，的值，然后写出椭圆的方程，联立直线方程与椭圆方程，使Δ≥0求解；
（2）采用点差法求解出斜率，然后写出直线的方程.
【详解】解：（1）因为离心率，所以，
又因为椭圆的短半轴长，
所以，即椭圆方程为，
联立得，
因为直线与椭圆有公共点，
所以，
即，解得．
（2）设，由在椭圆内，
过点的直线与椭圆有两个交点,
再由椭圆的对称性可确定直线的斜率一定存在.
则，
整理得：
所以斜率，所以直线的方程为．
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系及中点弦问题，难度一般.解答直线与椭圆的位置关系一般需要联立直线方程与曲线方程，根据判断，中点弦问题可以采用点差法求解.
20．(1)极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）不妨令，则问题等价于，令，只需证明在单调递增，问题等价于在时恒成立，参变分离得到，，再构造函数，利用导数求出的最大值，即可得解.
【详解】（1）解：当时，，．
则，令，解得或，
又因为，所以．
列表如下：
因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以有极小值，无极大值．
（2）解：因为，，
所以，，
若对任意且恒成立
不妨令，则
，
令，只需证明在单调递增，
因为，则，
所以在时恒成立，即，，
令，，则，
因为，所以令，解得，令，解得，
从而在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时取到最大值，所以实数的取值范围是．
【点睛】思路点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
21．（1）点M的轨迹方程为；
（2）直线AB的方程为．
【详解】（1）分析可知点M不可能在y轴的左侧，即M到点的距离等于M到直线的距离，∴M的轨迹是抛物线，为焦点，为准线，∴M的轨迹方程是：．
（2）设，则，，相减得：，
又的斜率为-4，则，∴，
∴AB中点的坐标为，：，即，
经检验，此时，与抛物线有两个不同的交点，满足题意．
22．(1)
(2)9
【分析】（1）由导数的几何意义可得是单调函数，只需或恒成立即可；
（2）利用分离参数法，将不等式变形，令新函数，再根据导数判断函数的单调性进而求出最值，即可得到结果.
【详解】（1）因为，定义域为，
所以，
令，由导数的几何意义可得要使在是单调函数，只需在内满足或恒成立，即或即可，
显然在上单调递增，且，没有最大值，
所以，解得.
（2）当时，可转化为，
令，则，记，当时，，
所以为上的增函数，且，，
所以存在使得，即，
所以在上递减，在上递增，
且，
因为，所以，
所以，，
所以的最大整数解为9
【点睛】导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.
x
2
单调递减
极小值
单调递增