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宁夏石嘴山市第三中学2023-2024学年高二上学期第二次月考 数学试卷（含解析）
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这是一份宁夏石嘴山市第三中学2023-2024学年高二上学期第二次月考 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题， 选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学
第I卷
一、单选题（满分40分，选对得5分，选错得0分）
1．在等差数列中，若，，则等差数列的公差（ ）
A．B．C．D．
2．若直线l的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（ ）
A．2B．C．D．10
3．过点且与直线垂直的直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．已知为等比数列，公比，则（ ）
A．81B．27C．32D．16
6．中，，，，则顶点的轨迹方程是
A．B．C．D．
7．已知是等差数列的前n项和，是数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知正项等比数列中，，数列满足，则使得不等式成立的的最小值为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
二、 选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分， 部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．已知等比数列的前项和为，若，则数列的公比可能是（ ）
A．1B．C．3D．
10．设圆，直线， 则下列结论正确的为（ ）
A．的半径为B．可能与相切
C．恒过定点D．当时， 被截得的弦长为
11．已知公差为d的等差数列，其前n项和为，且，，则下列结论正确的为（ ）
A．为递增数列B．为等差数列
C．当取得最大值时，D．当时，d的取值范围为
12．记为数列的前n项和，为数列的前n项积， 已知 ，则下面正确的是（ ）
A．数列是等差数列B．的通项公式
C．D．若且则
第II卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知等比数列的各项均为正数，其前n项和为，若 ，则 .
14．如图所示，在正方体中，点是侧面的中心，若，求 ．
15．已知数列满足，设数列的前项和为，则=
16．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 .
四、解答题: 本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
18．已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
19．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，， 底面.
(1)证明：；
(2)若，求平面与平面所成角的余弦值.
20．已知数列，满足 .
(1)证明： 数列为等比数列；
(2)令，求数列的前n项和．
21．在一次人才招聘会上，甲、乙两家公司开出的工资标准分别为：甲公司：第一年月工资1000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加230元；乙公司：第一年月工资1500元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某人年初想从甲、乙两公司中选择一家公司去工作.
(1)若此人分别在甲公司或乙公司连续工作n年，则他在两公司第n年的月工资分别为多少？
(2)若此人在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）
22．如图，椭圆的离心率为，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l交C于A、B两点，交直线于点P．若，，证明：为定值，并求出这个定值．
1．C
【分析】由可解出的值.
【详解】由题意可得，即，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列公差的计算，考查运算求解能力，属于基础题.
2．A
【分析】利用空间位置关系的向量证明，列式求解即得.
【详解】由直线l的方向向量，平面的一个法向量，，
得，则，解得，
所以实数.
故选：A
3．C
【分析】由直线的垂直关系,结合已知直线的斜率可得所求直线的斜率，由直线的点斜式方程结合已知条件即可求解.
【详解】因为直线的斜率为1，由题意，所求直线l的斜率为-1，
又直线l过点，所以由点斜式方程可知直线l的方程为：，
即，
故选：C
4．A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
5．A
【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解.
【详解】根据可得，所以或，
若，则不符合要求，
若，则符合要求，故，
故选：A
6．B
【详解】由题意可得 顶点 的轨迹是以 为焦点的椭圆(扣除左右顶点)，设其方程为 所求轨迹方程为：，故选B.
【点睛】本题考查椭圆的定义及其方程、椭圆的简单几何性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，属于中档题型.先利用椭圆的定义判定： 的轨迹是以 为焦点的椭圆(扣除左右顶点)，设其方程为，再利用待定系数法求得轨迹方程为：.
7．A
【分析】设出公差，结合等差数列求和公式得到为公差为的等差数列，从而得到方程，求出和，利用等差数列求和公式得到答案
【详解】设的首项为，公差为，
则，则，
则，
故为公差为的等差数列，
又，所以，
解得，
又，解得，
故故为首项为，公差为的等差数列，
所以.
故选：A
8．B
【分析】确定，得到，，，再利用裂项相消法计算得到答案.
【详解】由题可得， 所以，
设的公比为，，则，得，所以．
则，所以，
所以，
由，得．
故选：B．
9．AB
【分析】讨论与两种情况，求得或即可．
【详解】设数列的公比为，若，
则，满足题意；
若，由，得，解得，
综上，或．
故选：AB.
10．AC
【分析】根据圆的方程可求出半径，即可对A判断；利用直线过定点可对B、C判断；利用直线与圆相交的弦长公式，即可判断D.
【详解】对A：由圆：，得圆心为，半径为，故A正确；
对B、C：由直线，得，所以直线恒过定点，故C正确；
由故定点在圆内，所以直线与圆恒相交，故B错误；
对D：当时，直线：，即，所以圆心到直线距离为，所以被截得的弦长为，故D错误.
故选：AC.
11．BD
【分析】通过等差数列前项和公式和下标和性质即可得到，，，，则可判断AC，而则可判断B，而通过，，则可得到关于的不等式组，即可判断D.
【详解】对A，，即，，
即，，则，而，故，
故为递减数列，故A错误；
对B，设的首项为，则，
，故数列是以为首项，公差为的等差数列，故B正确；
对C，由A知，即，则，而，即，
则，而，当取得最大值时,，故C错误；
对D，当时，由A知，，即，
即，解得，故D正确.
故选：BD.
12．ABD
【分析】根据数列与其前前n项和，数列与其前n项积之间的等量关系求解，然后逐项判断即可.
【详解】由题为数列的前n项积，则，
又因为，
所以，
则，所以数列是以为公差为等差数列，A正确；
令，得，则，
则，也符合，
所以，所以C错误；
由题意知，
不满足上式，所以，所以B正确；
对于D，若且，
则，得，
累乘得
，所以D正确；
故选：ABD
13．
【分析】设出公比，由题意可得与公比及首项有关方程组，解出方程组即可得公比及首项，结合等比数列前n项和公式计算即可得.
【详解】由题知等比数列的各项均为正数，即，
设其公比为，则，
因为，，所以，即，
，即，即，
即，即，故或（舍去），
则， 所以.
故答案为：.
14．1
【解析】利用空间向量的加减法运算用来表示，即得结果.
【详解】，
故，，，则．
故答案为：1.
15．
【分析】根据给定的递推关系求出，再利用等差数列前项和公式求出即可.
【详解】数列满足，当时，，
两式相减得，因此，而满足上式，
于是，显然，即数列是等差数列，
所以.
故答案为：
16．
【分析】利用中位线结合双曲线的性质, 解得，解得，然后转化成，求得离心率.
【详解】设双曲线的右焦点，连接，.
则中，，，
则，
由直线与圆相切，
可得.
又双曲线中，，
则，
又，
则，
整理得，
两边平方整理得，
则双曲线的离心率，
故答案为：.
17．（1）；（2），最小值为–16．
【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；
（2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出.
【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法
设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以．
[方法二]：函数+待定系数法
设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以．
（2）[方法1]：邻项变号法
由可得．当，即，解得，所以的最小值为，
所以的最小值为．
[方法2]：函数法
由题意知，即，
所以的最小值为，所以的最小值为．
【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解；
（2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值；
方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值．
18．(1)
(2)
【分析】（1）运用等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；
（2）运用等差数列和等比数列的前n项和公式进行求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，
由题意得:解得:
，
；
（2）由（1）可知，
所以.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据余弦定理、勾股定理的逆定理，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可；
（2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以由余弦定理可得，
因此有，即，
又因为底面，平面，
所以，又因为平面，
所以底面，又因为平面，
所以；
（2）以D为坐标原点，的长为单位长，射线为X轴的正半轴建立空间坐标系，
，
，
设平面PAB的法向量，则
，可取，
平面PBC的法向量，则
，可取，
设平面PAB与平面PBC所成的角为，
则.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）将条件中两个递推式相加整理可得；
（2）先求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求和.
【详解】（1）
由题，
所以，
得，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）
由（1）知，
则，
数列的前n项和
，①
则，②
由①-②得：，
则，
所以.
21．(1)答案见解析
(2)甲公司
【分析】（1）该人在甲公司工作第年的月工资数是等差数列，在乙公司工作第年的月工资数是等比数列，写其通项公式可求
（2）在一家公司连续工作年，比较甲、乙两公司中年月工资之和,则从该家公司得到的报酬较多.
【详解】（1）在甲公司连续工作第年的月工资是，
在乙公司连续工作第年的月工资是；
（2）在甲公司连续工作年，得到的工资之和：；
在乙公司连续工作年，得到的工资之和： ，
所以从甲公司得到的报酬较多.
22．(1)；
(2)证明见解析，定值为0.
【分析】（1）由已知得，结合椭圆参数关系求得，即可得椭圆方程；
（2）令，，，联立椭圆方程并应用韦达定理得，，再由向量数量关系的坐标表示得到关于参数k的表达式，将韦达公式代入化简即可证.
【详解】（1）由题设，又，则，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由题设，直线l斜率一定存在，令，且在椭圆C内，
联立直线与椭圆并整理得，且，
令，而，则，
由，则且，得，
同理
由，则且，得，
所以
又，，则.
所以为定值0.
数学
第I卷
一、单选题（满分40分，选对得5分，选错得0分）
1．在等差数列中，若，，则等差数列的公差（ ）
A．B．C．D．
2．若直线l的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（ ）
A．2B．C．D．10
3．过点且与直线垂直的直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．已知为等比数列，公比，则（ ）
A．81B．27C．32D．16
6．中，，，，则顶点的轨迹方程是
A．B．C．D．
7．已知是等差数列的前n项和，是数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知正项等比数列中，，数列满足，则使得不等式成立的的最小值为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
二、 选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分， 部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．已知等比数列的前项和为，若，则数列的公比可能是（ ）
A．1B．C．3D．
10．设圆，直线， 则下列结论正确的为（ ）
A．的半径为B．可能与相切
C．恒过定点D．当时， 被截得的弦长为
11．已知公差为d的等差数列，其前n项和为，且，，则下列结论正确的为（ ）
A．为递增数列B．为等差数列
C．当取得最大值时，D．当时，d的取值范围为
12．记为数列的前n项和，为数列的前n项积， 已知 ，则下面正确的是（ ）
A．数列是等差数列B．的通项公式
C．D．若且则
第II卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知等比数列的各项均为正数，其前n项和为，若 ，则 .
14．如图所示，在正方体中，点是侧面的中心，若，求 ．
15．已知数列满足，设数列的前项和为，则=
16．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 .
四、解答题: 本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
18．已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
19．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，， 底面.
(1)证明：；
(2)若，求平面与平面所成角的余弦值.
20．已知数列，满足 .
(1)证明： 数列为等比数列；
(2)令，求数列的前n项和．
21．在一次人才招聘会上，甲、乙两家公司开出的工资标准分别为：甲公司：第一年月工资1000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加230元；乙公司：第一年月工资1500元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某人年初想从甲、乙两公司中选择一家公司去工作.
(1)若此人分别在甲公司或乙公司连续工作n年，则他在两公司第n年的月工资分别为多少？
(2)若此人在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）
22．如图，椭圆的离心率为，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l交C于A、B两点，交直线于点P．若，，证明：为定值，并求出这个定值．
1．C
【分析】由可解出的值.
【详解】由题意可得，即，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列公差的计算，考查运算求解能力，属于基础题.
2．A
【分析】利用空间位置关系的向量证明，列式求解即得.
【详解】由直线l的方向向量，平面的一个法向量，，
得，则，解得，
所以实数.
故选：A
3．C
【分析】由直线的垂直关系,结合已知直线的斜率可得所求直线的斜率，由直线的点斜式方程结合已知条件即可求解.
【详解】因为直线的斜率为1，由题意，所求直线l的斜率为-1，
又直线l过点，所以由点斜式方程可知直线l的方程为：，
即，
故选：C
4．A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
5．A
【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解.
【详解】根据可得，所以或，
若，则不符合要求，
若，则符合要求，故，
故选：A
6．B
【详解】由题意可得 顶点 的轨迹是以 为焦点的椭圆(扣除左右顶点)，设其方程为 所求轨迹方程为：，故选B.
【点睛】本题考查椭圆的定义及其方程、椭圆的简单几何性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，属于中档题型.先利用椭圆的定义判定： 的轨迹是以 为焦点的椭圆(扣除左右顶点)，设其方程为，再利用待定系数法求得轨迹方程为：.
7．A
【分析】设出公差，结合等差数列求和公式得到为公差为的等差数列，从而得到方程，求出和，利用等差数列求和公式得到答案
【详解】设的首项为，公差为，
则，则，
则，
故为公差为的等差数列，
又，所以，
解得，
又，解得，
故故为首项为，公差为的等差数列，
所以.
故选：A
8．B
【分析】确定，得到，，，再利用裂项相消法计算得到答案.
【详解】由题可得， 所以，
设的公比为，，则，得，所以．
则，所以，
所以，
由，得．
故选：B．
9．AB
【分析】讨论与两种情况，求得或即可．
【详解】设数列的公比为，若，
则，满足题意；
若，由，得，解得，
综上，或．
故选：AB.
10．AC
【分析】根据圆的方程可求出半径，即可对A判断；利用直线过定点可对B、C判断；利用直线与圆相交的弦长公式，即可判断D.
【详解】对A：由圆：，得圆心为，半径为，故A正确；
对B、C：由直线，得，所以直线恒过定点，故C正确；
由故定点在圆内，所以直线与圆恒相交，故B错误；
对D：当时，直线：，即，所以圆心到直线距离为，所以被截得的弦长为，故D错误.
故选：AC.
11．BD
【分析】通过等差数列前项和公式和下标和性质即可得到，，，，则可判断AC，而则可判断B，而通过，，则可得到关于的不等式组，即可判断D.
【详解】对A，，即，，
即，，则，而，故，
故为递减数列，故A错误；
对B，设的首项为，则，
，故数列是以为首项，公差为的等差数列，故B正确；
对C，由A知，即，则，而，即，
则，而，当取得最大值时,，故C错误；
对D，当时，由A知，，即，
即，解得，故D正确.
故选：BD.
12．ABD
【分析】根据数列与其前前n项和，数列与其前n项积之间的等量关系求解，然后逐项判断即可.
【详解】由题为数列的前n项积，则，
又因为，
所以，
则，所以数列是以为公差为等差数列，A正确；
令，得，则，
则，也符合，
所以，所以C错误；
由题意知，
不满足上式，所以，所以B正确；
对于D，若且，
则，得，
累乘得
，所以D正确；
故选：ABD
13．
【分析】设出公比，由题意可得与公比及首项有关方程组，解出方程组即可得公比及首项，结合等比数列前n项和公式计算即可得.
【详解】由题知等比数列的各项均为正数，即，
设其公比为，则，
因为，，所以，即，
，即，即，
即，即，故或（舍去），
则， 所以.
故答案为：.
14．1
【解析】利用空间向量的加减法运算用来表示，即得结果.
【详解】，
故，，，则．
故答案为：1.
15．
【分析】根据给定的递推关系求出，再利用等差数列前项和公式求出即可.
【详解】数列满足，当时，，
两式相减得，因此，而满足上式，
于是，显然，即数列是等差数列，
所以.
故答案为：
16．
【分析】利用中位线结合双曲线的性质, 解得，解得，然后转化成，求得离心率.
【详解】设双曲线的右焦点，连接，.
则中，，，
则，
由直线与圆相切，
可得.
又双曲线中，，
则，
又，
则，
整理得，
两边平方整理得，
则双曲线的离心率，
故答案为：.
17．（1）；（2），最小值为–16．
【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；
（2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出.
【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法
设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以．
[方法二]：函数+待定系数法
设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以．
（2）[方法1]：邻项变号法
由可得．当，即，解得，所以的最小值为，
所以的最小值为．
[方法2]：函数法
由题意知，即，
所以的最小值为，所以的最小值为．
【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解；
（2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值；
方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值．
18．(1)
(2)
【分析】（1）运用等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；
（2）运用等差数列和等比数列的前n项和公式进行求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，
由题意得:解得:
，
；
（2）由（1）可知，
所以.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据余弦定理、勾股定理的逆定理，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可；
（2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以由余弦定理可得，
因此有，即，
又因为底面，平面，
所以，又因为平面，
所以底面，又因为平面，
所以；
（2）以D为坐标原点，的长为单位长，射线为X轴的正半轴建立空间坐标系，
，
，
设平面PAB的法向量，则
，可取，
平面PBC的法向量，则
，可取，
设平面PAB与平面PBC所成的角为，
则.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）将条件中两个递推式相加整理可得；
（2）先求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求和.
【详解】（1）
由题，
所以，
得，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）
由（1）知，
则，
数列的前n项和
，①
则，②
由①-②得：，
则，
所以.
21．(1)答案见解析
(2)甲公司
【分析】（1）该人在甲公司工作第年的月工资数是等差数列，在乙公司工作第年的月工资数是等比数列，写其通项公式可求
（2）在一家公司连续工作年，比较甲、乙两公司中年月工资之和,则从该家公司得到的报酬较多.
【详解】（1）在甲公司连续工作第年的月工资是，
在乙公司连续工作第年的月工资是；
（2）在甲公司连续工作年，得到的工资之和：；
在乙公司连续工作年，得到的工资之和： ，
所以从甲公司得到的报酬较多.
22．(1)；
(2)证明见解析，定值为0.
【分析】（1）由已知得，结合椭圆参数关系求得，即可得椭圆方程；
（2）令，，，联立椭圆方程并应用韦达定理得，，再由向量数量关系的坐标表示得到关于参数k的表达式，将韦达公式代入化简即可证.
【详解】（1）由题设，又，则，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由题设，直线l斜率一定存在，令，且在椭圆C内，
联立直线与椭圆并整理得，且，
令，而，则，
由，则且，得，
同理
由，则且，得，
所以
又，，则.
所以为定值0.
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