上海市格致中学2024−2025学年高二上学期9月练习 数学试题（含解析）

这是一份上海市格致中学2024−2025学年高二上学期9月练习 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（本大题共12小题）
1．已知数列的前项和，则 .
2．已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第 项.
3．设数列是等差数列.若和是方程的两根，则数列的前2022项的和 .
4．为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 .
5．在等差数列中，，从第9项开始为正数，则公差d的取值范围是 ．
6．各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则 .
7．等差数列的前项和分别为，若，则 .
8．数列an满足，则 .
9．若数列的通项公式的前项和为Sn，则
10．已知数列满足，则 .
11．设数列为等差数列，数列为等比数列．若，，且（，，），则数列的公比为 .
12．已知数列满足：对任意的均有，其中为不等于与的常数，若，则满足条件的所有可能值的和为 ．
二、单选题（本大题共4小题）
13．已知{an}是等比数列，给出以下四个命题：①{2a3n－1}是等比数列；②{an＋an＋1}是等比数列；③{an·an＋1}是等比数列；④{lg|an|}是等比数列．其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
14．已知数列中满足，，则的最小值为（ ）
A．9B．7C．D．
15．在等比数列中， ，则能使不等式成立的最大正整数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
16．已知数列共有5项，满足，且对任意有仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：①；②；③数列是等差数列；④集合中共有9个元素.则其中真命题的序号是（ ）
A．①②③④B．①④C．②③D．①③④
三、解答题（本大题共4小题）
17．已知数列an 满足
(1)设，证明数列bn为等差数列，并求数列an的通项公式；
(2)求数列an的前项和.
18．已知函数的图象与轴正半轴的交点为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令（为正整数），问是否存在非零整数，使得对任意正整数，都有？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
19．已知函数（为常数，且），且数列是首项为，公差为的等差数列．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，当时，求数列的前项和的最小值；
（3）若，问是否存在实数，使得是递增数列？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．
20．设数列是公比为q的等比数列，其前n项和为．
(1)若，，求数列的前n项和；
(2)若，，成等差数列，求q的值并证明：存在互不相同的正整数m，n，p，使得，，成等差数列；
(3)若存在正整数，使得数列，，…，在删去以后按原来的顺序所得到的数列是等差数列，求所有数对所构成的集合，
参考答案
1．【答案】5
【分析】根据给定条件，利用的关系列式计算即得.
【详解】数列an的前项和，所以.
故答案为：5
2．【答案】2和3
【分析】结合对勾函数的单调性求解即可.
【详解】
在上单调递减，单调递增，
且故该数列的最大项是第二项和第三项.
故答案为：2和3
3．【答案】2022
【分析】根据给定条件，利用乘数性质及前n项和公式计算即得.
【详解】方程中，，则，
所以数列an的前2022项的和.
故答案为：2022.
4．【答案】
【分析】通过已知条件可求得，再根据等比中项的定义即可求得答案.
【详解】解：因为为等差数列，且，
所以，
所以，
解得，
所以与的等比中项为.
故答案为：
5．【答案】
【分析】由题意得，进而得到关于公差的不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】由题意知，设等差数列的公差为，则
，即，即，解得.
故答案为：.
6．【答案】
【分析】由条件可得，即，从而解得公比的值，而，得出答案.
【详解】设数列an的公比为，∵，，成等差数列，∴，
∴，∴，解得.
∵数列各项都是正数，∴，∴，∴.
故答案为：
7．【答案】
【分析】利用等差数列和的关系求解即可.
【详解】等差数列的前项和分别为，
故，
故.
故答案为：
8．【答案】
【分析】利用裂项相消法求解即可.
【详解】因为，
所以
.
故答案为：
9．【答案】.
【详解】分析：利用无穷等比数列的求和公式，即可求得结果.
详解：因为数列的通项公式是，
前项和为，所以，
故答案是.
点睛：该题考查的是有关无穷递缩等比数列的各项和的问题，注意公式的应用，以及注意对前两项应该独立运算，注意对应的首项应该是多少，保证正确性.
10．【答案】45/0.8
【分析】通过递推公式，得出为周期数列，且周期为，可得，即得答案.
【详解】解：因为，
所以，，，
所以为周期数列，且周期为，
所以.
故答案为：
11．【答案】
【分析】根据等比数列性质结合等差数列基本运算得到q的方程秋季即可.
【详解】设，，依次为，，，
因为，所以，因为，所以，
又，所以，
则或（舍），
所以.若，
则（舍）；
若，则，
所以.
故答案为：
12．【答案】
【分析】依题意，可得，再对与讨论，特别是时对公比分与，即可求得所有可能值，从而可得答案．
【详解】，
，
①若，则，，同理可得，，即符合题意；
②若，为不等于与的常数，则数列是以为公比的等比数列，
，
可以取，，，，
，，，
若公比，则，由，得：；
若公比，则，由 得：；
综上，所有可能值的为：，，，
所有可能值的和为：.
故答案为：.
【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查分类讨论思想和逻辑思维能力，属于常考题.
13．【答案】C
【详解】由为等比数列可得（是定值）
是定值，故①正确
是定值，故②正确
是定值，故③正确
不一定为常数，故④错误
故选
点睛：要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的 定义只需判断数列的任意一项与它的前一项的比是否为常数即需要验证为常数．由为等比数列可得（是定值），根据等比数列的判断方法，分别检验，，，是否为常数进行判断即可得到答案．
14．【答案】C
【分析】由累加法可得，根据的单调性，即可确定的最小值.
【详解】由，，
∴
，
所以，
所以，
又因为对勾函数在递减，在递增，
且，所以的最小值为.
故选：C
【点睛】本题主要考查利用累加法求数列的通项公式，以及利用函数的单调性求数列的最值，考查学生的分析问题和解决问题能力.
15．【答案】C
【分析】在等比数列中， 根据，时， ；时， ，再结合求解.
【详解】∵在等比数列中， ，
∴公比，
∴时， ；时， .
∵，
∴，，，
∴，
又当时， ，
∴使不等式成立的的最大值为.
故选：C
【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及数列与不等式，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
16．【答案】A
【分析】当时，可知，所以可判断①；必有 ，则，则有或，若，则，所以舍，若，则，同理可得，故可判断②；由②可推出③；将罗列可判断④。
【详解】因为对任意有仍是该数列的某一项，则可令时，可知，且，则可得，故①正确；
由①知，可得，必有，则，
则有或，
若，则，所以舍，
若，则，同理可得，故②正确；
由②的推导过程可知，所以可得数列是等差数列，故③正确；
，由③可知，将所有罗列出可得
，故集合有9个元素，故④正确.
故选：A
17．【答案】(1)证明见解析,
(2)
【分析】（1）利用数列递推式，结合等差数列的定义，可得数列为等差数列，确定其通项，即可求数列an的通项公式；
（2）利用分组求和法和错位相减法，可求数列an的前n项和．
【详解】（1）证明：，
∴为等差数列，又，∴，
∴.
（2）解：设，
则，
∴两式相减可得，
，
.
18．【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】（1）把点A带入即可
（2）根据（1）的计算出、bn+1，再解不等式即可
【详解】（1）设，得，．
所以 ；
（2），若存在，满足恒成立
即：，
恒成立
当为奇数时，
当为偶数时，
所以，
故： .
【点睛】本题考查了数列通项的求法，以及不等式恒成立的问题，不等式恒成立是一个难点，也是高考中的常考点，本题属于较难的题．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.
【分析】（1）由题意得出，利用对数运算得出，然后计算出为非零常数，利用等比数列的定义可证明出数列是等比数列；
（2）求出和，利用分组求和法得出，然后分析数列为单调递增数列，可得出该数列的最小值为，由此可得出结果；
（3）求出，由数列是递增数列，得出，可得出，然后分和两种情况分类讨论，利用不等式的性质和参变量分离法可得出实数的取值范围.
【详解】（1）证明：由题意，
即，得，且，．
常数且，为非零常数，
数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）当时，，，.
.
∵n≥1，数列是递增数列，
因而最小值为；
（3）由（1）知，，要使对一切成立，
即对一切成立．
当时，，对一切恒成立；
当时，，对一切恒成立，只需，
单调递增，当时，．
，且，．
综上所述，存在实数满足条件．
【点睛】本题考查利用定义证明等比数列、分组求和法以及利用数列的单调性求参数，解题时应充分利用定义来理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20．【答案】(1)
(2),证明见解析.
(3)不存在，
【分析】（1）数列为首项为公差为的等差数列，利用等差数列的求和公式即可得出结果；
（2），，成等差数列，则+=2，根据等比数列求和公式计算可解得，进而计算可得，即可判断结果；
（3）由题意列出，，…，,,,,,…，在删去以后, 按原来的顺序所得到的数列是等差数列,则，解方程组可得无解，则所有数对所构成的集合为.
【详解】（1），，数列是公比为q的等比数列，
，
数列为，
数列为首项为公差为的等差数列，
数列的前n项和.
（2），，成等差数列，
+=2，
当时,+=,2,不符题意舍去，
当时，.
,即，，
，（舍）或即，
存在互不相同的正整数，使得，，成等差数列，
，，
.
（3）由题意列出，，…，,,,,,…，在删去以后, 按原来的顺序所得到的数列是等差数列,
则，,即，解得：方程组无解.
即符合条件的不存在，所有数对所构成的集合为.