北京版九年级上册数学期中测试卷（18-20单元）（含答案解析）

这是一份北京版九年级上册数学期中测试卷（18-20单元）（含答案解析），共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(每题3分，共30分)
1．在中，点、分别在线段、上，下列比例式中不能判断的是（ ）

A．B．C．D．
2．如图，在中，点E在AD上，且，CE交对角线BD于点F，若，则为（ ）
A．4B．6C．9D．
3．如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ）

A．B．C．D．
4．已知点，，都在二次函数的图像上， 则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．将抛物线向左平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．B．C．D．
6．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得最大利润是（ ）
A．758元B．1508元C．1556元D．1558元
7．如图，在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在正方形中，，点M从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点N沿的路线以的速度移动．设的面积为y（单位：），运动时间为x（单位：），则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题(每题3分，共30分)
11．在中，，，则等于 ．
12．如图，中，，，点P在内，且，，，则的面积为 ．
13．如图，，，其中， ．
14．已知二次函数，当时，的最小值是 ．
15．已知二次函数 ，当时， y的最大值为5，那么a的值为 ．
16．如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的面积的最大值为 ．
17．已知菱形，，，点在上，若，则的长度为 ．
18．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，将矩形沿对角线折叠，点C的对应点为点E，分别交，于点P，Q．若，，则的长为 ．
19．如图，在中，，平分交于点D，点E在上，，，，则 ．
20．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以为边向上作正方形．若图象经过点C的反比例函数的解析式是，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ．
三、解答题(共60分)
21．如图，在中，，点、分别在、AB上，且．
(1)与相似吗？为什么？
(2)若，，求AD的长．
22．如图，已知在中，是上一点，连接使得．
(1)求证：；
(2)若，，求．
23．已知二次函数．
(1)写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；
(2)结合函数图象，求一元二次方程的解；
(3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点．
(1)求对应的函数表达式；
(2)过点作轴交轴于点，求的面积；
(3)根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．
25．某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种商品每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
26．在中，，，点为线段上一动点．在和的垂直平分线上．交于点，如图1．

(1)①若，则________；
②若，求（用含有的式子表示）；
(2)求证：；
(3)如图2：连接，交，于，两点，若恰好为等边三角形，求的值．
27．如图，二次函数的图像与轴交于点A，B（点A在点的左侧），与轴交于点，连接，．
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)求证：是直角三角形；
(3)点P是该拋物线上一点，若（点为坐标原点），求点的坐标：
(4)点是该抛物线上一点，若（点为坐标原点），直接写出点M的坐标．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握两组对边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．
【详解】解：A. ∵，，
∴，
∴，
∴，故A不符合题意；
B.∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，故B不符合题意；
C.∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，故C不符合题意；
D. 不等得到，故D符合题意；
故选D．
2．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，涉及了平行四边形的性质，由题意得，推出即可求解；
【详解】解：由题意得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D
3．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
根据已知条件及相似三角形的判定方法逐项分析判断，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
选项，选项，选项都可判定，
而选项中成比例的边不是夹这两个角的边，所以不能判定相似，
故选：．
4．C
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意可得该抛物线开口向下，对称轴为直线，得到离对称轴越远的点，其值越小，即可求解．
【详解】解：二次函数的解析式为，
对称轴为直线，，
该抛物线开口向下，
离对称轴越远的点，其值越小，
点，，，
，，，即，
，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了二次函数的平移；根据平移规律“左加右减，上加下减”即可写出表达式．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位后所得到的抛物线为，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查二次函数的应用，将二次函数关系式化为顶点式，找出对称轴，根据二次函数图象的增减性即可求解．
【详解】解：，
二次函数的对称轴为，开口向下，
当时，y随x的增大而增大，
，
时，y取最大值，此时，
即一周可获得最大利润是1556元，
故选C．
7．B
【分析】本题考查了三角函数的定义．根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．
【详解】解：∵中，，、、所对的边分别为a，b，c，
∴，即，则A选项不成立，B选项成立；
，即，则C、D选项均不成立；
故选：B．
8．A
【分析】根据锐角三角函数可求，由勾股定理求得，根据等腰三角形的性质以及外角求得，最后在中，．
【详解】解：在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练利用数形结合的思想是解题的关键．
9．A
【分析】本题考查了勾股定理，角的正弦值，能够作出辅助线得到直角三角形是解题关键．
如图，取格点，可通过勾股定理算出三者长度，再通过勾股定理逆定理得到为直角三角形，进而通过正弦的定义即可解题．
【详解】解：取格点，通过勾股定理可算出
，，
得到
∴为直角三角形，且
∴
故选：A．
10．A
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，动点问题的函数图象；分别求得点在CD上运动时，点在上运动时的函数解析式，即可求解．
【详解】解：∵正方形的边长为，
∴，，
当点在CD上运动，即时，，
则，此时函数图象为线段；
当点在上运动，即时， ，
则，
则，此时函数图象为抛物线一部分；
故选：A
11．
【分析】本题考查的知识点是求角的正弦值、解直角三角形、勾股定理，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算．
先根据解直角三角形求得，设，，其中且，有勾股定理得到AB后即可得到．
【详解】解：如图，
中，，，
即，
可设，，其中且，
，
．
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质和勾股定理及逆定理等知识点，首先作，使得：，，即可得，即可得与相似比为2，继而可得与是直角三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理，即可求得的面积，解题的关键是辅助线的构造，还要注意勾股定理与勾股定理的逆定理的应用．
【详解】如图，作，使得：，，
∴，
∵，
∴与相似比为2，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
作于M，
由，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
13．3
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：3．
14．
【分析】本题主要考查了二次函数图像，解题的关键是根据图像的性质判断取值．根据二次函数顶点式图像的性质，可知函数图像开口向下，离对称轴越远，取值越小．据此即可获得答案．
【详解】解：二次函数，
对称轴为直线，
，
函数图像开口向下，
离对称轴越远，取值越小，
，
当时，取最小值，最小值为．
故答案为：．
15．1或或9
【分析】本题考查二次函数的最值问题，先求出抛物线的对称轴为直线，分三种情况：当，即时，当，即时，当，即时，结合二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线的开口向下，
当，即时，
∴当时，函数有最大值5，
∴，
整理得：，
解得：或；
当，即时，
∴当时，函数有最大值5，
∴，
整理得：，
，
∴此方程无解；
当，即时，
∴当时，函数有最大值5，
∴，
整理得：，
解得：；
综上分析可知：a的值为1或或9；
故答案为：1或或9．
16．18
【分析】本题考查了二次函数最值以及四边形面积求法．直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出，再利用配方法求出二次函数最值．
【详解】解：设，则，
，
，
当时，最大为18，
故答案为：18．
17．或/5或1
【分析】本题考查菱形与锐角三角形函数，解题的关键是过点作交于点，根据菱形的性质，则，，根据，则，求出，根据勾股定理，求出，；分类讨论：当点在之间，当点在之间，进行解答，即可．
【详解】解：过点作交于点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
当点在之间，；
当点在之间，．
故答案为：或．
18．
【分析】先证明，，可得，可得，，然后利用特殊角的三角函数值可得答案．
【详解】解：∵矩形，
∴，，
∴，
由折叠可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，三角形的内角和定理的应用，求解是解本题的关键．
19．或30
【分析】过点B作交的延长线于点F，延长，交于点P，作交的延长线于点H，过点D作于点G，证明，得出，证明，得出，，证明，得出，设，
根据，，得出，，求出或，分别根据x的值，分两种情况求出结果即可．
【详解】解：过点B作交的延长线于点F，延长，交于点P，作交的延长线于点H，过点D作于点G，如图所示：

则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
设，
∵，
，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
解得：或，
经检验或都是所列方程的解，
当时，，
设，则，
在中根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴；
当时，，
设，则，
在中根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴；
故答案为：或30．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，解一元二次方程，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
20．
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，根据角的正切值，设，，根据正方形的性质，证明，得到，，进而得到，再结合反比例函数图象上点的坐标特征，求出，同理求得，利用待定系数法求出反比例解析式即可．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
在中，，
，
，
设，则，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
图象经过点C的反比例函数的解析式是，
，
，
同理可证，，
，,
，
，
设经过点D的反比例函数的解析式是，
，
经过点D的反比例函数的解析式是，
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，解直角三角形的应用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形，掌握反比例函数的性质是解题关键．
21．(1)相似，理由见解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质和已知条件得出，因此，再由公共角，即可得出．
（2）根据已知求得，根据利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：与相似；理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质；熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
22．(1)见详解
(2)
【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可证明；
（2）根据和得出，过点C作，根据，，在中，结合勾股定理求出，根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
过点C作，
∵，，
∴，
设，
则，，
在中，，即，
解得：或0（舍去），
∴，
∴．
【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程等知识点，解题的关键是证明三角形相似．
23．(1)对称轴直线为，顶点坐标为，图见详解
(2)，
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，列表、描点、连线是画函数图象的基本方法，同时也可利用对称性，画二次函数的图象．
（1）由题意先将二次函数一般式通过配方法化为顶点式进而即可得出二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图即可；
（2）根据二次函数图像得出当当时，则或3，即一元二次方程的解为，．
（3）由题意直接观察图象，即找出位于x轴下方时对应的自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵，
∴顶点坐标为，
对称轴直线为，
列表得：
描点、连线得到的图象，如图所示：
（2）解：根据函数图像当时，则或3
则一元二次方程的解为，
（3）解：由图象可知，当时，就是图象位于x轴下方的所对应的自变量的取值范围，
即：当时，．
24．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）将代入，可求，则，将代入得，，可求，即，待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）由题意知，，则，根据，计算求解即可；
（3）根据的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方（或交点）部分所对应的的取值范围，结合图象作答即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴，
将代入得，，
解得，，
∴，
将，代入得，，
解得，，
∴；
（2）解：由题意知，，，
∴，
∴的面积为；
（3）解：由题意知，的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方部分（或交点）所对应的的取值范围，
由图象可知，的解集为或．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，坐标与图形，反比例函数与一次函数综合等知识．熟练掌握一次函数解析式，反比例函数解析式，坐标与图形，反比例函数与一次函数综合是解题的关键．
25．(1)
(2)该商品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
(3)售价应定为每千克25元
【分析】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，根据条件得出函数解析式或方程是解题的关键．
（1）根据利润销量一件的利润列出关系式即可；
（2）把函数关系式化成顶点式求解即可；
（3）把代入关系式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴w与x之间的函数解析式为；
（2）解：由（1）得：，
∵，
∴当时，w有最大值，且最大值为；
∴该商品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
（3）解：当时，可得，
解得：，
∵，
∴舍去，
∴该农户想要每天获得150元的销售利润，售价应定为每千克25元．
26．(1)①；②
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由题意知，，由在和的垂直平分线上，可得，则，，，①由，可得，则，；②同理①可得，根据，求解作答即可；
（2）设，由（1）可知，，则，由题意知，，则，即，由题意得，，由，，可得，进而结论得证；
（3）证明垂直平分，即是的中点，，如图1，作交于，则是的中位线，，由为等边三角形，可得，，设，则，如图1，作于，则，，，，由勾股定理得，，即，，，证明，根据，求解作答即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵在和的垂直平分线上，
∴，
∴，，，
①解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：设，
由（1）可知，，
∴，
由题意知，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴垂直平分，即是的中点，
∴，
如图1，作交于，
∴，为的中点，
∴是的中位线，
，
∵为等边三角形，
∴，，
设，则，
如图1，作于，
∴，，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
【点睛】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含的直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例，中位线等知识．熟练掌握垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含的直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例，中位线是解题的关键．
27．(1)，，
(2)见解析
(3)点P坐标为或
(4)或
【分析】（1）当0时计算得出，令，解方程求出x的值，即可解题；
（2）利用勾股定理的逆定理解题即可；
（3）分两种情况画图，求出一次函数的解析式，然后利用解方程组求出交点坐标即可；
（4）分为两种情况作图，作的平分线交x轴于点H，过点H作于点N，根据相似求出，然后计算出点H的坐标，求出直线解析式即可求出交点坐标，作点H的对称点，则点M在直线C上，同理即可解题．
【详解】（1）解：当x=0时，，
∴，
令，则，解得：，，
∴，；
（2）证明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且；
（3）解：如图，取的中点D，过点C作的平行线交抛物线于点P，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
即，
则点D的坐标为，
设直线为，
，
，
∴直线的解析式为，
即的解析式为，
解方程组得：，，
∴点P的坐标为；
解：如图，在上取点E，使得，则，，
∵，即，
解得：，即，
∴，
过点C作交x轴于点F，过点F作于点G，
设，则，
又∵即，解得，
∴，解得，
又∵，
∴，
即点F的坐标为；
设直线CF的解析式为，代入得，
解得：，
∴直线CF的解析式为，
解方程组得
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或；
（4）解：如图，作的平分线交x轴于点H，过点H作于点N，
则，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
∴，即点H的坐标为，
由（3）可得直线的解析式为，
联立得
∴点M的坐标为，
如图，作点H的关于y轴的对称点，则点M在直线上，
则点的坐标为，直线的解析式为，
联立得
∴点M的坐标为，
综上所述，点M的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合，勾股定理的逆定理，三角函数，相似三角形的判定和性质，掌握求一次函数和二次函数的交点坐标是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
C
D
C
B
A
A
A
x
…
0
1
2
3
…
y
…
0
0
…