华东师大版九年级上册数学期中测试卷（21-23单元）（含答案解析）

这是一份华东师大版九年级上册数学期中测试卷（21-23单元）（含答案解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(每题3分，共30分)
1．下列各式化简后，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
2．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．B．2C．D．0
4．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根
C．方程只有一个实数根D．方程没有实数根
5．如图，已知E是正方形的边的中点，P是边上的一个动点，下列条件不能推出与相似的是（ ）
A．P是边的中 B．C．D．
6．如图，已知，，，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
8．如图，点是三边均不等的三条角平分线的交点，两点分别在上，若、三点共线且，设，，，关于的方程根的情况（ ）
A．一定有两个相等实数根B．一定有两个不相等实数根
C．有两个实数根，但无法确定是否相等D．没有实数根
9．如图，的中线，相交于点，连接，当四边形的面积为1时，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．我县开展老旧小区改造，2022年投入此项工程的专项资金为1000万元，2023、2024年投入资金一共为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）．
A．B．
C．D．
二、填空题(每题3分，共30分)
11．在，，，，中最简二次根式有 个．
12．使式子有意义的的取值范围是 ．
13．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
14．已知m、n是的两个根，则的值 ．
15．若是关于的方程的一个根，则的值为 ．
16．在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛10场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为 ．
17．已知：已知：如图，中，在延长线上，连接交于点，若，那么 ．
18．如图，直线，若，，则的长度为 ．
19．如图所示，在中，为中点．为上一点，，和相交于点，则 ．
20．如图，在正方形中，对角线与BD交于点，点在CD的延长线上，连接，点是的中点，连接交AD于点．若，则点到的距离为 ．
三、解答题(共60分)
21．解下列方程
(1)； (2)（配方法）；
(3)； (4)．
22．计算：
(1)； (2)．
23．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)k的值为__________；
(2)求实数m的取值范围；
(3)请你给出m的一个值，使得这个方程的两个根都是有理数，并求出这两个根．
24．已知：如图，在中，点M、N分别在边上，点P是上一点，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
25．如图，在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)直接写出关于原点O的中心对称图形的对称点的坐标；
(2)画出关于原点O的中心对称图形；
(3)求的面积．
26．中秋节期间，某水果店以每箱60元的价格出售石榴，每天可卖出150箱，后期因石榴的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知石榴售价每箱下降1元，则每天能多售出3箱（同一天中售价不变）．
(1)设售价每箱下降元，则每天能售出________箱（用含的代数式表示）；
(2)当石榴每箱下降多少元时，每天能获得9072元的销售额；
(3)水果店定了“每天售出石榴的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件否能达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时每箱的售价；若不能达成，请说明理由．
27．如图（1）矩形中，．将绕点从处开始按顺时针方向旋转，交（或）于点，交边（或）于点，当旋转至处时，的旋转随即停止．
(1)特殊情形：如图（2），发现当过点时，也恰好过点，此时，__________（填：“”或“”）
(2)类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)拓展延伸：设面积为，试确定关于的函数关系式；当时，求出所对应的t的值．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，同类二次根式才可以合并，熟记定义并应用是解本题的关键．先化简各项，再根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：、，不能与合并，故本选项不符合题意；
、，不能与合并，故本选项不符合题意；
、，能与合并，故本选项符合题意；
、不能与合并，故本选项不符合题意；
故选：．
2．B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得出，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义，列出关于m的一元二次方程和一元一次不等式，即可求解．
【详解】解：∵是一元二次方程，
∴，，
解得，
故选：A．
4．A
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟记当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键；计算判别式的值，再确定根的情况即可．
【详解】，
方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
5．A
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
利用正方形的性质和相似三角形的判定逐项判断即可．
【详解】解：A．∵四边形是正方形，
∴，，
∵E是正方形的边的中点，
∴
当P是中点时，
∴，
∴，
∴不能推出与相似，故A符合题意；
B．∵，
∴，故选项B不符合题意；
C．∵，，
∴，故选项C不符合题意；
D．∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，故选项D不符合题意；
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，再根据，，可计算出的长．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
∴，且，
故选：B．
8．D
【分析】先证明，再证明，同理得，则，即可得出，又由得到，即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵平分，
∴，，
∴，
同理，
∵O是三条角平分线的交点
∴，
∴，
∴，
∴，
∵O是的内角平分线的交点，
∴，
∴，
同理可得出：，
∴，
∴，
即：
∴，
∴关于的方程无实数根，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式，三角形的外角定理，证明出是解题的关键．
9．B
【分析】根据“三角形的中线将原三角形分成面积相等的两部分”可得，则可得 ．又由已知可得是的中位线，则可得，，进而可得嗯．由“相似三角形面积比等于相似比的平方”即可求得的面积．
本题主要考查了三角形的中线的性质、三角形中位线的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：∵，是的中线，
，
，
，
∵D、E分别是、的中点，
∴是的中位线，
，，
，，
，
，
．
故选：B．
10．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据2022年投入此项工程的专项资金及该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率，可得出2023、2024年投入此项工程的专项资金，结合2023、2024年投入资金一共为3440万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：年投入此项工程的专项资金为1000万元，且该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为，
年投入此项工程的专项资金为万元，2024年投入此项工程的专项资金为万元．
根据题意得：．
故选：D．
11．
【分析】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：，
不是最简二次根式，
，
不是最简二次根式，
最简二次根式有：，，，共个，
故答案为：．
12．且
【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件．根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得且，
故答案为：且．
13．且
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【详解】解：根据题意得且，
∴且．
故答案为：且．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得、，再代入求值即可．
【详解】解：∵m，n是方程的两实数根，
∴、，
∴，
故答案为：．
15．2024
【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键；把代入可得，再整体代入求值即可．
【详解】解：是关于的方程的一个根，
，即，
，
故答案为：2024．
16．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，注意与的比赛，和与的比赛是同一场比赛，即可求解．
【详解】解：∵有x个队参赛，
∴共比赛场，
∵与的比赛，和与的比赛是同一场比赛，
∴，
故答案为：
17．
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．由四边形是平行四边形，得，，可得，故，知，设，则，有，从而．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
；
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出的长，再进一步求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：
19．3
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
证明，则，可得，，则，证明，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作，交于，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
20．
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等面积法求高等知识，根据四边形是正方形，对角线交于点，可得，可证，，得到，在中，运用勾股定理可得，如图所示，过点作延长线于点，根据，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，对角线交于点，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴是AD的垂直平分线，即，，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，则，
在中，，
如图所示，过点作延长线于点，
∴，
∴，
故答案为： ．
21．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）直接利用开平方法解方程即可．
（2）把1移到方程的右边，方程两边同时加上4，方程左边得出完全平方式即可求解．
（3）先根据判断根的情况，再代入公式法直接求解即可．
（4）方程右边先提公因式2，然后再提公因式，即可利用因式分解法解方程．
【详解】（1）解：
∴，
（2）
，
（3）
整理得：
，
∴，
∴，
（4）
∴，
22．(1)
(2)2
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简、二次根式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（2）先计算零指数幂、二次根式、绝对值，再计算加减即可；
（3）先计算乘除，再根据二次根式的性质进行化简，最后计算减法即可．
【详解】（1）解：原式，
，
；
（2）解：原式
23．(1)2
(2)；
(3)取，，．
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根的判别式以及一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
（1）根据一元二次方程的定义得到且，解得；
（2）原方程化为，然后根据根的判别式的意义得到，再解不等式即可；
（3）取，方程变形为，然后利用因式分解法解方程．
【详解】（1）解：根据题意得且，
解得；
故答案为：2；
（2）解：由（1）知，原方程化为，
方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
即实数的取值范围为；
（3）解：取，则方程变形为，
，
，，
解得，．
24．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理成为解题的关键．
（1）由可证得，然后由相似三角形的对应边成比例即可证明结论；
（2）由可证得可得，又由可得，则可证得，最后根据相似三角形的对应角相等即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．(1)，，
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了作图-中心对称变换，利用网格求面积，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
（）根据关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数即可求解；
（）根据（1）中结论作图即可；
（）利用长方形面积减去三个直角三角形的面积即可；
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，；
（2）解：如图，即为所求，
（3）解：的面积为．
26．(1)
(2)每箱售价为 54 元或 56 元时， 每天能获得 9072 元的销售额
(3)不能达到这个 “小目标”，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据某水果店以每箱60元的价格出售石榴，每天可卖出150箱，已知石榴售价每箱下降1元，则每天能多售出3箱（同一天中售价不变）．即可得出结论；
（2）设售价每箱下降元，根据每天能获得9072元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（3）设售价每箱下降元，根据每天售出石榴的销售额为10000元，列出一元二次方程，再由各边的判别式即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可知，每天能售出：箱，
故答案为：；
（2）设售价每箱下降元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
或，
答：每箱售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额；
（3）按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下：
设售价每箱下降元，
由题意得：，
整理得：，
，
不能达到这个“小目标”．
27．(1)
(2)在旋转过程中，的值为定值．理由见解析
(3)当点在上时，，当时，；当点在上时，；当时，
【分析】本题考查矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，利用相似三角形的性质求解以及分类讨论是解答的关键．
（1）根据矩形的性质和等角的余角相等得到，，然后根据相似三角形的判定可得结论；
（2）当点在上时，过点作，垂足为，同（1）方法可证得到，证明四边形是矩形得到，进而可得，当点在上时，同理可求解；
（3）当点在上时，由（2）得，由题意可得，，，，进而得到，当时解一元二次方程即可求解，当点在上时，同理可求解．
【详解】（1）解：矩形中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：在旋转过程中，的值为定值．理由：
当点在上时，如图，过点作，垂足为，
类比（1）可得：，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴；
当点在上时，点在边上，如图，过E作于Q，
，
则四边形是矩形，
∴，
同理可证明，
∴，
综上，在旋转过程中，的值为定值；
（3）解：当点在上时，点在边上，
由（2）知，
∴，
又∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴
，
即，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴；
当点在上时，点在边上，如图，
则，，，且，
∴，
由（2）知，
∴，则，
∴,
∴
，
即，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
综上，当点在上时，，当时，；当点在上时，；当时，．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
A
A
A
B
D
B
D