四川省成都市2020年中考数学模拟卷（七）（含解析）

这是一份四川省成都市2020年中考数学模拟卷（七）（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2019·河南中考模拟）如图所示，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
该几何体的左视图如选项B所示，故选：B．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．
2．（2019·上海中考模拟）函数的图像位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】
解：函数的图象位于第四象限．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆反比例函数图象分布的象限是解题关键．
3．（2019·广西中考模拟）在Rt△ABC中，csA= ，那么sinA的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
∵Rt△ABC中，csA= ，
∴sinA= =，
故选B．
【点睛】
本题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键．
4．（2019·新疆中考模拟）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A．x2+6x+9=0B．x2=xC．x2+3=2xD．（x﹣1）2+1=0
【答案】B
【解析】
A、x2+6x+9=0.
△=62-4×9=36-36=0，
方程有两个相等实数根；
B、x2=x.
x2-x=0.
△=（-1）2-4×1×0=1＞0.
方程有两个不相等实数根；
C、x2+3=2x.
x2-2x+3=0.
△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，
方程无实根；
D、（x-1）2+1=0.
（x-1）2=-1，
则方程无实根；
故选B．
点睛：本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
5．（2019·江苏中考模拟）若，则的值是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
∵＝，
∴m＝n，
∴＝＝ ．
故选A．
【点睛】
本题考查了比例的性质，属于基础题，相对比较简单．
6．（2019·山东中考模拟）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是等腰梯形
B．两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形
D．平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形
【答案】D
【解析】
解析:对于A选项, 应为两条对角线相等的梯形是等腰梯形;
对于B选项, 为同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形;
对于C选项,应为一组对边平行,另一组对边不平行且相等的四边形是等腰梯形;
故选D.
【点睛】
本题主要考查等腰梯形的判定.
等腰梯形的判定:
(1)一组对边平行,另一组对边不平行且相等的四边形是等腰梯形;
(2)对角线相等的梯形是等腰梯形;
(3)两腰相等的梯形是等腰梯形;
(4)同一底边上的两个底角相等的梯形是等腰梯形
7．（2019·上海中考模拟）某校随机抽查若干名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，把所得数据绘制成频数分布直方图（如图），则仰卧起坐次数不小于15次且小于20次的频率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
仰卧起坐次数不小于15次且小于20次的频率是：=0.1；
故选：A．
【点睛】
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，解题的关键是掌握频率=频数÷总数．
8．（2019·河南中考模拟）如图，现有两个相同的转盘，其中一个分为红、黄两个相等的区域，另一个分为红、黄、蓝三个相等的区域，随即转动两个转盘，转盘停止后指针指向相同颜色的概率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中转盘停止后指针指向相同颜色的有2种结果，
所以转盘停止后指针指向相同颜色的概率为＝，
故选：A．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
9．（2019·浙江中考模拟）如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（ ）
A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸
【答案】D
【解析】
解：设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，
∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，
连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，
解得x＝13，
CD＝2x＝2×13＝26（寸）．
故选：D．
【点睛】
此题是一道古代问题，其实质是垂径定理和勾股定理．通过此题，可知我国古代的数学已发展到很高的水平．
10．（2019·山东中考模拟）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）； ②函数的最大值为6；③抛物线的对称轴是；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．其中正确有（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①③④
【答案】D
【解析】
∵x=0，y=6；x=1，y=6，
∴抛物线的对称轴为直线，所以②错误，③正确，
而x=-2时，y=0，
∴x=3时，y=0，
∴抛物线与x轴的一个交点为（3，0），所以①正确；
∵a=-1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧，y随x增大而增大．所以④正确．
故选D
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
第Ⅱ卷（共70分）
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
11．（2019·江苏中考模拟）若使代数式有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】x≠﹣2
【解析】
∵分式有意义，
∴x的取值范围是：x+2≠0，
解得：x≠−2.
故答案是：x≠−2.
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握分式有意义的条件.
12．（2012·辽宁中考模拟）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为______．
【答案】40°和100°
【解析】
△ABC，AB=AC．
有两种情况：
（1）顶角∠A=40°，
（2）当底角是40°时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°﹣40°﹣40°=100°，
∴这个等腰三角形的顶角为40°和100°．
故答案为40°或100°．
考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
13．（2019·上海中考模拟）已知关于x的一元二次方程的一个根是x=1，那么这个方程的另一个根是___．
【答案】
【解析】
把x=1代入原方程得1+1+m=0，
解得m=-2，
∴
（x-1）(x+2)=0
解得x1=1,x2=-2,
故另一个解为x=-2
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是熟知一元二次方程的解法.
14．（2019·北京中考模拟）将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1＝110°，则∠2＝_____．
【答案】40°
【解析】
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，∠1+∠5＝180°，
∴∠5＝180°﹣110°＝70°，
由折叠可得，∠4＝∠5＝70°，
∴∠3＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠2＝40°，
故答案为40°．
【点睛】
本题考查了折叠的性质以及平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
三、解答题 （本大题共6小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（1）（2019·北京中考模拟）计算：3tan60°﹣()﹣2﹣+|2﹣|．
【答案】-7.
【解析】
原式＝3×﹣9﹣2+2﹣＝﹣7．
【点睛】
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂法则，二次根式的性质以及绝对值的代数意义等考点的运算．
（2）．（2019·上海中考模拟）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式组的解集为0≤x＜3，在数轴上表示见解析
【解析】
解：，
由①得x＜3；
由②得x≥0；
∴不等式组的解集为0≤x＜3，
不等式组的解集在数轴上表示为：
．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
16．（2019·上海中考模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】,.
【解析】
，
，
．
当时，.
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
17．（2019·广东中考模拟）全民学习、终身学习是学习型社会的核心内容，努力建设学习型家庭也是一个重要组成部分．为了解“学习型家庭”情况，对部分家庭五月份的平均每天看书学习时间进行了一次抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查了 个家庭；
（2）将图①中的条形图补充完整；
（3）学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是 度；
（4）若该社区有家庭有3000个，请你估计该社区学习时间不少于1小时的约有多少个家庭？
【答案】(1)200；(2)见解析；(3)36；(4)该社区学习时间不少于1小时的家庭约有2100个．
【解析】
解：(1)本次抽样调查的家庭数是：30÷＝200(个)；
故答案为200；
(2)学习0.5﹣1小时的家庭数有：200×＝60(个)，
学习2﹣2.5小时的家庭数有：200﹣60﹣90﹣30＝20(个)，
补图如下：
(3)学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是：360×＝36°；
故答案为36；
(4)根据题意得：
3000×＝2100(个)．
答：该社区学习时间不少于1小时的家庭约有2100个．
【点睛】
本题考查条形统计图、扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
18．（2019·湖南中考模拟）我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A处与E处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部C点测得条幅顶端A点的仰角为45°，条幅底端E点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD为12米，求条幅AE的长度．(结果保留根号)
【答案】的长为
【解析】
过点作于点F
由题知：四边形为矩形
在中，
在中，
求得的长为
【点睛】
本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.
19．（2019·河北中考模拟）矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与边AC交于点E．
（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
（2）连接EF，求∠EFC的正切值；
（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
【答案】（1）E（2，3）；（2）；（3）.
【解析】
（1）∵OA=3，OB=4，
∴B（4，0），C（4，3），
∵F是BC的中点，
∴F（4，），
∵F在反比例y=函数图象上，
∴k=4×=6，
∴反比例函数的解析式为y=，
∵E点的坐标为3，
∴E（2，3）；
（2）∵F点的横坐标为4，
∴F（4，），
∴CF=BC﹣BF=3﹣=
∵E的纵坐标为3，
∴E（，3），
∴CE=AC﹣AE=4﹣=，
在Rt△CEF中，tan∠EFC=，
（3）如图，由（2）知，CF=，CE=，，
过点E作EH⊥OB于H，
∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°，
∴∠EGH+∠HEG=90°，
由折叠知，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°，
∴∠EGH+∠BGF=90°，
∴∠HEG=∠BGF，
∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴△EHG∽△GBF，
∴，
∴，
∴BG=，
在Rt△FBG中，FG2﹣BF2=BG2，
∴（）2﹣（）2=，
∴k=，
∴反比例函数解析式为y=．
点睛：此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求出CE：CF是解本题的关键．
20．（2019·浙江中考模拟）如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG
(1)判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求证：2OB2＝BC•BF；
(3)如图2，当∠DCE＝2∠F，CE＝3，DG＝2.5时，求DE的长．
【答案】（1）CG与⊙O相切，理由见解析；（2）见解析；（3）DE＝2
【解析】
解：（1）CG与⊙O相切，理由如下：
如图1，连接CE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACF＝90°，
∵点G是EF的中点，
∴GF＝GE＝GC，
∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵OF⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO＝90°，
∴∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，
∴CG与⊙O相切；
（2）∵∠AOE＝∠FCE＝90°，∠AEO＝∠FEC，
∴∠OAE＝∠F，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△FBO，
∴，即BO•AB＝BC•BF，
∵AB＝2BO，
∴2OB2＝BC•BF；
（3）由（1）知GC＝GE＝GF，
∴∠F＝∠GCF，
∴∠EGC＝2∠F，
又∵∠DCE＝2∠F，
∴∠EGC＝∠DCE，
∵∠DEC＝∠CEG，
∴△ECD∽△EGC，
∴，
∵CE＝3，DG＝2.5，
∴，
整理，得：DE2+2.5DE﹣9＝0，
解得：DE＝2或DE＝﹣4.5（舍），
故DE＝2．
【点睛】
本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点．
B卷（共50分）
一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
21．（2019·广东博海学校中考模拟）如果实数a，b满足a+b＝6，ab＝8，那么a2+b2＝_____．
【答案】20
【解析】
∵
∴
∵ab=8，
∴36-2ab=36-2×8=20.
【点睛】
本题考查了完全平方公式的变形应用，熟练进行完全平方公式的变形是解题的关键.
22．（2019·湖北中考模拟）当___________________时，关于的分式方程无解
【答案】m=1、m=-4或m=6.
【解析】
解：方程两边都乘以（x+2）（x-2）去分母得，
2（x+2）+mx=3（x-2），
整理得（1-m）x=10，
∴当m=1时，此整式方程无解，所以原分式方程也无解.
又当原分式方程有增根时，分式方程也无解，
∴当x=2或-2时原分式方程无解，
∴2（1-m）=10或-2（1-m）=10，
解得：m=-4或m=6，
∴当m=1、m=-4或m=6时，关于x的方程无解．
【点睛】
本题考查了分式方程的无解条件.分式方程无解有两种情形：一是分式方程有增根；二是分式方程化成的整式方程无解.
23．（2019·山东中考模拟）如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为_____．
【答案】或4
【解析】
当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的长；
②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．
详解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，
.
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB=∠A'EC，
∴∠A'CB=∠A'EC，
∴A'C=A'E=4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC=2A'E=8，
由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，
∴AB=；
②当∠A'FE=90°时，如图2，
.
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC=∠CBA'=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；.
综上所述，AB的长为4或4；
故答案为：4或4.
点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
24．（2018·湖南中考模拟）（2016广东省茂名市）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），则点A8的横坐标是__________．
【答案】．
【解析】
由题意点A2的横坐标（+1），点A4的横坐标3（+1），点A6的横坐标（+1），
点A8的横坐标6（+1）．
考点：（1）坐标与图形变化-旋转；（2）一次函数图象与几何变换
25．（2019·湖北中考模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N．下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③若tan∠BAE＝，则tan∠DAF＝；④若BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝18．其中结论正确的是__（将正确的序号写在横线上）
【答案】①②③．
【解析】
解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAH＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AEH中 ，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH＝EF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴BE+BH＝BE+DF＝EF，
故①正确；
过A作AG⊥EF于G，
∴∠AGE＝∠ABE＝90°，
在△ABE与△AGE中 ，
∴△ABE≌△AGE（AAS），
∴AB＝AG，
∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②正确；
∵tan∠BAE＝ ，
∴设BE＝m，AB＝2m，
∴CE＝m，
设DF＝x，则CF＝2m﹣x，EF＝BE+DF＝m+x，
∵CF2+CE2＝EF2，
∴（2m﹣x）2+m2＝（m+x）2，
∴x＝m，
∴；故③正确；
∵BE＝2，DF＝3，
∴EF＝BE+DF＝5，
设BC＝CD＝n，
∴CE＝n﹣2，CF＝n﹣3，
∴EF2＝CE2+CF2，
∴25＝（n﹣2）2+（n﹣3）2，
∴n＝6（负值舍去），
∴AG＝6，
∴．故④错误，
故答案为①②③．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的面积，熟练全等三角形的判定定理是解决此类题的关键.
二、解答题 （本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
26．（2019·浙江中考模拟）温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（2≤x≤10，单位：吨）之间的函数关系如图所示．
（1）若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？
（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用）
（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨．深加工费用y（单位：万元）与加工数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝x+3（2≤x≤10）．
①当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？
②该公司买入杨梅吨数在 范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些？
【答案】（1）杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）当x＝8时，此时W最大值＝40万元；（3）①该公司买入杨梅3吨；②3＜x≤8．
【解析】
（1）由图象可知，y是关于x的一次函数．
∴设其解析式为y＝kx+b，
∵图象经过点（2，12），（8，9）两点，
∴，
解得k＝﹣，b＝13，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+13，
当x＝6时，y＝10，
答：若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；
（2）根据题意得，w＝（y﹣4）x＝（﹣x+13﹣4）x＝﹣x2+9x，
当x＝﹣＝9时，x＝9不在取值范围内，
∴当x＝8时，此时W最大值＝﹣x2+9x＝40万元；
（3）①由题意得：﹣x2+9x＝9x﹣（x+3）
解得x＝﹣2（舍去），x＝3，
答该公司买入杨梅3吨；
②当该公司买入杨梅吨数在 3＜x≤8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些．
故答案为：3＜x≤8．
【点睛】
本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．
27．（2019·河南中考模拟）(1)问题发现：如图1，在等边中，点为边上一动点，交于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．则与的数量关系是_____，的度数为______．
(2)拓展探究：如图2，在中，，，点为边上一动点，交于点，当∠ADF=∠ACF=90°时，求的值．
(3)解决问题：如图3，在中，，点为的延长线上一点，过点作交的延长线于点，直接写出当时的值．
【答案】(1)，；(2)；(3).
【解析】
解：（1）∵DE∥AB
∴∠ABC=∠EDC=60°，∠BAC=∠DEC=60°
∴△DEC是等边三角形，∠AED=120°
∴DE=DC，
∵将AD绕点D顺时针旋转60°得到DF，
∴∠ADF=60°=∠EDC，AD=DF
∴∠ADE=∠FDC，且CD=DE，AD=DF
∴△ADE≌△FDC（SAS）
∴AE=CF，∠AED=∠DCF=120°
∴∠ACF=60°，
故答案为AE=CF，60°
（2）∵∠ABC=90°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=30°
∴tan∠BAC=
∵DE∥AB
∴∠EDC=∠ABC=90°
∵∠ADF=90°，
∴∠ADE=∠FDC
∵∠ACF=90°，∠AED=∠EDC+∠ACB，∠FCD=∠ACF+∠ACB
∴∠AED=∠FCD，且∠ADE=∠FDC
∴△DAE∽△DFC
∵DE∥AB
∴△EDC∽△ABC
（3）∵AB∥DE
∴∠ABC=∠BDE=∠ADF，∠BAC=∠E
∴∠BDE+∠ADB=∠ADF+∠ADB
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ACD=∠ABC+∠BAC=∠ACF+∠DCF，且∠ACF=∠ABC
∴∠BAC=∠DCF=∠E，且∠ADE=∠CDF
∴△ADE∽△FDC
∵DE∥AB
∴△EDC∽△ABC
∵
【点睛】
本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，证明△ADE∽△FDC是本题的关键．
28．（2019·海南中考模拟）如图，对称轴为直线x＝1的抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B，点D在y轴上，且OB＝3OD
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t
①当0＜t＜3时，求四边形CDBP的面积S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
②点Q在直线BC上，若以CD为边，点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3（2）①t＝时，S的最大值为②P（1，4）或（2，3）或（，）或（，）
【解析】
(1)∵抛物线的对称轴为x＝1，A(﹣1，0)，
∴B(3，0)．
∴设所求抛物线的表达式为 y＝a(x+1)(x﹣3)，
把点C(0，3)代入，得3＝a(0+1)(0﹣3)，
解得a＝﹣1，
∴所求抛物线的表达式为y＝﹣(x+1)(x﹣3)，即y＝﹣x2+2x+3；
(2)①连结BC．
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
∵OB＝3OD，OB＝OC＝3，
∴OD＝1，CD＝2，
过点P作PE∥y轴，交BC于点E(如图1)．
设P(t，﹣t2+2t+3)，则E(t，﹣t+3)．
∴PE＝﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)＝﹣t2+3t．
S四边形CDBP＝S△BCD+S△BPC＝CD•OB+PE•OB，
即S＝×2×3+(﹣t2+3t)×3＝﹣(t﹣)2+，
∵a＝﹣＜0，且0＜t＜3，
∴当t＝时，S的最大值为；
②以CD为边，点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，
则PQ∥CD，且PQ＝CD＝2．
∵点P在抛物线上，点Q在直线BC上，
∴点P(t，﹣t2+2t+3)，点Q(t，﹣t+3)．
分两种情况讨论：
(Ⅰ) 如图2，当点P在点Q上方时，
∴(﹣t2+2t+3)﹣(﹣t+3)＝2．即t2﹣3t+2＝0．解得 t1＝1，t2＝2．
∴P1(1，4)，P2(2，3)，
(Ⅱ) 如图3，当点P在点Q下方时，
∴(﹣t+3)﹣(﹣t2+2t+3)＝2．即t2﹣3t﹣2＝0．
解得 t3＝，t4＝，
∴P3(，)，P4(，)，
综上所述，所有符合条件的点P的坐标分别为：P(1，4)或(2，3)或(，)或(，)．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．