+广东省韶关市2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷+（10月份）

这是一份+广东省韶关市2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷+（10月份），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.将抛物线y=3x2向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为( )
A. y=3(x+5)2B. y=3(x−5)2C. y=3x2+5D. y=3x2−5
2.方程4x2−2x=−1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A. 4、−2、−1B. 4、2、−1C. 4、−2、1D. 4、2、1
3.一元二次方程3x−2=x(2x−1)的一般形式是( )
A. 2x2−3x−2=0B. 2x2+3x−2=0C. 2x2−4x−2=0D. 2x2−4x+2=0
4.若关于x的方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是( )
A. 1B. 2C. 4D. ±4
5.用配方法解方程x2−6x+2=0，下列变形正确的是( )
A. (x−3)2=−2B. (x+3)2=−2C. (x−3)2=7D. (x+3)2=7
6.如果方程(m−3)xm2−7−x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为( )
A. ±3B. 3C. −3D. 都不对
7.如图，在宽为22m、长为30m的矩形地面上修建两条宽度相同的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要560m2，则修建的路宽应为( )
A. 1m
B. 1.5m
C. 2
D. 2.5m
8.抛物线y=−x2−1的图象大致是( )
A. B.
C. D.
9.对于二次函数y=−2(x+3)2的图象，下列说法正确的是( )
A. 开口向上B. 对称轴是直线x=−3
C. 当x>−4时，y随x的增大而减小D. 顶点坐标为(−2,−3)
10.已知a、b、m、n为互不相等的实数，且(a+m)(a+n)=2，(b+m)(b+n)=2，则ab−mn的值为( )
A. 4B. 1C. −2D. −1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程x2−5=0的根是______.
12.某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为______.
13.已知m是一元二次方程x2−3x−2024=0的根，则代数式m2−3m的值为______.
14.已知(x2+y2)(x2+y2−1)−12=0，则x2+y2的值是______.
15.如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B(点A在点B左侧)，根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”.如图2，则抛物线y=x2的“完美三角形”斜边AB的长______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
解下列方程：
(1)(x−2)2+x−2=0；
(2)5x2−3x=x+1.
17.(本小题7分)
有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有25台电脑被感染.
(1)求每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑；
(2)若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑是否超过600台？
18.(本小题7分)
已知x1，x2是方程4x−x2=2的两根，求：
(1)x1+x2，x1⋅x2的值；
(2)x1x2+x2x1的值.
19.(本小题9分)
已知：关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m2+m=0
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若Rt△ABC的两边长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求m的值.
20.(本小题9分)
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.求：
(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)每天的盈利能达到1250元吗？请说明理由.
21.(本小题9分)
实验与操作：
小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为4cm的正方体．
(1)如图1所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm的正方形孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为______cm2；
(2)如果在第(1)题打孔后，再在正面中心位置(如图2中的虚线所示)从前到后打一个边长为1cm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为______cm2；
(3)如果把(1)、(2)中的边长为1cm的通孔均改为边长为acm(a≠1)的通孔，能否使橡皮泥块的表面积为118cm2？如果能，求出a，如果不能，请说明理由．
22.(本小题13分)
阅读材料：若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2−2mn+2n2−8n+16=0，
∴(m2−2mn+n2)+(n2−8n+16)=0
∴(m−n)2+(n−4)2=0，
∴(m−n)2=0，(n−4)2=0，
∴n=4，m=4.
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a−b的值；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2−4a−6b+11=0，求△ABC的周长；
(3)已知x+y=2，xy−z2−4z=5，求xyz的值．
23.(本小题14分)
等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S.
(1)求出S关于t的函数关系式；
(2)当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？
(3)作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意可知：得到的抛物线的解析式为y=3x2+5，
故选：C.
根据函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求解即可．
本题考查二次函数图象的平移，正确记忆相关知识点是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵4x2−2x=−1，
∴4x2−2x+1=0，
∴a=4，b=−2，c=1.
故选：C.
根据ax2+bx+c=0(a≠0).其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．据此求解即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：3x−2=x(2x−1)，
3x−2=2x2−x，
3x−2−2x2+x=0，
−2x2+4x−2=0，
2x2−4x+2=0，
故选：D.
首先去括号，然后移项，把等号右边化为0即可．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
4.【答案】C
【解析】【分析】
由方程有两个相等的实数根，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
【解答】
解：∵方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=(−4)2−4×m=16−4m=0，
解得：m=4.
故选：C.
5.【答案】C
【解析】解：x2−6x+2=0，
移项可得：x2−6x=−2，
左右两边同时加上9：x2−6x+9=9−2，
则(x−3)2=7.
故选：C.
根据配方法的求解步骤，求解即可．
本题考查了一元二次方程的解法---配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键；配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
6.【答案】C
【解析】解：由一元二次方程的定义可知m2−7=2m−3≠0，
解得m=−3.
故选C.
本题考查一元二次方程的概念.
根据一元二次方程的定义解答即可得到m2−7=2，且m−3≠0，即可求得m的值．
7.【答案】C
【解析】解：设修建的路宽应为x米
根据等量关系列方程得：30×22−(22x+30x−x2)=560，
解得：x1=50(不合题意，舍去)，x2=2.
故选：C.
要求修建的路宽，就要设修建的路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面-所修路面积=耕地面积，依此列出等量关系解方程即可．
考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意：矩形面积在减路的面积时，22x+30x中有一个小正方形的面积是重复计算的，所以要再减去x×x面积．
8.【答案】B
【解析】解：∵a=−1<0
∴抛物线开口向下
∵二次函数解析式为y=−x2−1
∴顶点坐标为(0,−1)，对称轴x=0，即y轴，
观察选项可知B符合，故选B.
可根据解析式确定抛物线的顶点坐标为(0,−1)，对称轴为直线x=0(y轴)，且a=−1<0，开口向下，然后对图象直接判断．
判断图象的大体位置根据：(1)根据a的正负确定开口方向；(2)根据与x轴交点情况和对称轴确定图象位于哪些象限．
9.【答案】B
【解析】解：由y=−2(x+3)2得抛物线开口向下，
对称轴为直线x=−3，顶点坐标为(−3,0)，
x≤−3时y随x增大而增大，
x>−3时y随x增大而减小．
故选：B.
根据抛物线的性质由a=−2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为(−3,0)，对称轴为直线x=−3，当x>−3时，y随的增大而减小．
本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握抛物线顶点式y=a(x−ℎ)2的性质．
10.【答案】C
【解析】解：∵(a+m)(a+n)=2，(b+m)(b+n)=2，
∴a2+(m+n)a+mn−2=0，b2+(m+n)b+mn−2=0，
而a、b、m、n为互不相等的实数，
∴a、b看作方程x2+(m+n)x+mn−2=0的两实数根，
∴ab=mn−2，
∴ab−mn=−2.
故选：C.
先把已知条件变形得到a2+(m+n)a+mn−2=0，b2+(m+n)b+mn−2=0，则可把a、b看作方程x2+(m+n)x+mn−2=0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab=mn−2，从而得到ab−mn的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.
11.【答案】x1= 5，x2=− 5
【解析】解：由方程x2−5=0，
∴x=± 5，
∴方程的根约为x1= 5，x2=− 5.
根据方程x2−5=0，可得x=± 5，从而即可得出答案．
本题考查了解一元二次方程-直接开方法，属于基础题，
12.【答案】12x(x−1)=2×5
【解析】解：每支球队都需要与其他球队赛(x−1)场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：12x(x−1)=2×5.
故答案是：12x(x−1)=2×5.
关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=2×5，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2.
13.【答案】2024
【解析】解：将x=m代入原方程得：m2−3m−2024=0，
∴m2−3m=2024.
故答案为：2024.
将x=m代入原方程，即可得出m2−3m−2024=0，移项后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
14.【答案】4
【解析】解：设t=x2+y2(t≥0)，则
t(t−1)−12=0，
整理，得
(t−4)(t+3)=0，
解得t=4或t=−3(舍去).
即x2+y2的值是4，
故答案是：4.
设t=x2+y2，则原方程转化为关于t的一元二次方程t(t−1)−12=0，通过解该方程求得t的值即可．
本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
15.【答案】2
【解析】解：过点B作BN⊥x轴于N，如图所示：
由题意得△AOB为等腰直角三角形，
∴∠ABO=45∘，
∵AB//x轴，
∴∠BON=45∘，
∴△BON是等腰直角三角形，
设点B坐标为(n,n)，
∵点B在抛物线y=x2上，
∴n2=n，
∴n=1或n=0(不合题意，舍去)，
∴点B坐标为(1,1)，
∴点A坐标为(−1,1)，
∴AB=2.
故答案为：2.
过点B作BN⊥x轴于N，可推出△AOB和△BON为等腰直角三角形，设点B坐标为(n,n)，根据点B在抛物线y=x2上，可求得点B和点A的坐标，从而得出AB的长．
本题考查了二次函数的性质、等腰直角三角形的性质，正确理解“完美三角形”的概念并数形结合是解题的关键．
16.【答案】解：(1)(x−2)2+x−2=0，
(x−2)(x−2+1)=0，
(x−2)(x−1)=0，
∴x−2=0或x−1=0，
∴x2=1，x1=2；
(2)5x2−3x=x+1，
5x2−4x−1=0，
∴(5x+1)(x−1)=0，
∴5x+1=0或x−1=0，
∴x1=−15，x2=1.
【解析】(1)利用因式分解法解方程即可；
(2)先整理成一般式，然后利用因式分解法解方程即可．
本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键．
17.【答案】解：(1)设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑，
x+1+x(x+1)=25，
x1=4，x2=−6(舍去)，
答：平均一台电脑会感染4台电脑；
(2)∵经过两轮传播后共有25台电脑被感染，
∴经过三轮传播后被感染的电脑台数为：25+25×4=125，
经过四轮传播后被感染的电脑台数为：125+125×4=625>600，
∴四轮感染后，被感染的电脑超过600台．
【解析】(1)设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑，由经过两轮传播后共有25台电脑被感染建立方程求出其解即可；
(2)根据题意求出经过四轮传播后被感染的电脑台数即可．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键．
18.【答案】解：(1)方程4x−x2=2化简成一般式得x2−4x+2=0，
∵x1，x2是方程4x−x2=2的两根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=−−41=4，x1x2=21=2；
(2)∵x1+x2=4，x1x2=2，
∴x1x2+x2x1=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=42−2×22=6.
【解析】(1)原方程先化简成一般式，再利用根与系数的关系x1+x2=−ba与x1x2=ca求解即可；
(2)x1x2+x2x1=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2，再代入计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，关键是一元二次方程性质的熟练掌握．
19.【答案】解：(1)∵Δ=(2m+1)2−4(m2+m)=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)解：一元二次方程x2−(2m+1)x+m2+m=0的解为x=2m+1±12，即x1=m，x2=m+1，
∵m∴AB≠AC.
不妨设AB=m，AC=m+1，
当m+1是斜边时，m2+52=(m+1)2，解得m=12，
当5是斜边时，m2+(m+1)2=52，
解得m=3或−4(舍弃)
综合上述，m的值为12或3.
【解析】(1)先计算出Δ=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
(2)先利用公式法求出方程的解为x1=m，x2=m+1，然后分类讨论，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
20.【答案】解：(1)设每件衬衫降价x(0≤x<40)元，可得每件盈利40−x元，每天可以售出20+2x件，
1200=(40−x)(20+2x)，
x1=10，x2=20，
∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
∴x越大，每天可以售出数量20+2x越大，
∴x=20，
答：每件衬衫应降价20元；
(2)能，理由如下：
设每件降价x(0≤x<40)元，可得每件盈利40−x元，每天可以售出20+2x件，
可得1250=(40−x)(20+2x)，
x2−30x+225=0
x1=x2=15，
∴当x=15时，每天的盈利能达到1250元．
【解析】(1)设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，可得每件盈利40−x元，每天可以售出20+2x件，根据总利润=单件利润×销售量，列方程求解即可；
(2)设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，可得每件盈利40−x元，每天可以售出20+2x件，根据总利润=单件利润×销售量，列方程求解判断即可．
此题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确找到等量关系列出方程是解题关键．
21.【答案】解：(1)110；
(2)118；
(3)能使橡皮泥块的表面积为118cm2，理由为：
∵S1=96−2a2+4a×4，S2=S1−4a2+4×4a−4a2
∴96−2a2+16a−8a2+16a=118
96−10a2+32a=118
5a2−16a+11=0
∴a1=115，a2=1
∵a≠1，115<4
∴当边长改为115cm时，表面积为118cm2.
【解析】解：(1)表面积S1=96−2+4×4=110(cm2)，
故答案为：110；
(2)表面积S2=S1−4+4×1.5×2=118(cm2)，
故答案为：118；
(3)见答案.
【分析】
(1)打孔后的表面积=原正方体的表面积-小正方形孔的面积+孔中的四个矩形的面积．
(2)打孔后的表面积=图①中的表面积−2个小正方形孔的面积+新打的孔中的八个小矩形的面积．
(3)根据(1)(2)中的面积计算方法，用a表示出图①和图②的面积．然后让用得出的图②的表面积=118计算出a的值．
对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积-截去的面积．
22.【答案】解：(1)∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，
∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，
∴(a+3b)2+(b+1)2=0，
∴a+3b=0，b+1=0，
解得b=−1，a=3，
则a−b=4；
(2)∵2a2+b2−4a−6b+11=0，
∴2a2−4a+2+b2−6b+9=0，
∴2(a−1)2+(b−3)2=0，
则a−1=0，b−3=0，
解得，a=1，b=3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
∴△ABC的周长为1+3+3=7；
(2)∵x+y=2，
∴y=2−x，
则x(2−x)−z2−4z=5，
∴x2−2x+1+z2+4z+4=0，
∴(x−1)2+(z+2)2=0，
则x−1=0，z+2=0，
解得x=1，y=1，z=−2，
∴xyz=−2.
【解析】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键．
(1)利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；
(2)利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可；
(3)利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可．
23.【答案】解：(1)当t<10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10−t
∴s=12×t×(10−t)=12(10t−t2)
当t>10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t−10
∴s=12×t×(t−10)=12(t2−10t)
(2)∵S△ABC=12AB⋅BC=50
∴当t<10秒时，S△PCQ=12(10t−t2)=50
整理得t2−10t+100=0无解
当t>10秒时，S△PCQ=12(t2−10t)=50
整理得t2−10t−100=0解得t=5±5 5(舍去负值)
∴当点P运动5+5 5秒时，S△PCQ=S△ABC
(3)当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M


易证△APE≌△QCM，
∴AE=PE=CM=QM= 22t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．
又∵EM=AC=10 2∴DE=5 2
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
同理，当点P在点B右侧时，DE=5 2
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

【解析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=12QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．
做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．