山东省泰安市新泰市正德高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份山东省泰安市新泰市正德高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共7页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．两平行直线，之间的距离为( )
A.B.3C.D.
2．已知平面上一点,若直线l上存在点P使,则称该直线为点的“相关直线”,下列直线中不是点的“相关直线”的是( )
A.B.C.D.
3．已知直线l经过点,则“直线l的斜率为-1”是“直线l与圆相切”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．点到直线距离的最大值为( )
A.1B.C.D.2
5．已知x，y满足，则的最大值是( )
A.B.4C.D.7
6．若直线是圆的一条对称轴，则( )
A.B.C.1D.
7．在中，D为BC边上任意一点（D与B，C不重合），且，则为( )
A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.以上都不对
8．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知点P在直线上,且点P到直线的距离为,则m的值可能是( )
A.B.10C.5D.0
10．与圆的公切线的方程可能为( )
A.B.C.D.
11．已知，圆，圆，则( )
A.两圆可能外离B.两圆可能相交C.两圆可能内切D.两圆可能内含
三、填空题
12．直线和的交点的坐标为________.
13．已知圆外一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A和B,则直线AB的方程为________.
14．A，B是直线l上的两点，，，，，且直线与直线成的角，则C，D两点间的距离是_______.
四、解答题
15．求下列方程（组）或不等式的解集.
(1)
(2)
(3)
(4)
16．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心与外心之间的距离是重心与垂心之间的距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.现已知的三个顶点分别为，，，圆E的圆心E在的欧拉线上，且满足，直线被圆E截得的弦长为.
（1）求的欧拉线的方程；
（2）求圆E的标准方程.
17．已知四棱柱中,底面ABCD为梯形,,平面ABCD,,其中,,N.是的中点,M是的中点.
（1）求证平面;
（2）求平面与平面的夹角余弦值;
18．已知直线.
(1)m为何值时,点到直线l的距离最大,并求出最大值;
(2)若直线l分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,求（O为坐标原点）面积的最小值及此时直线l的方程.
19．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，，，，点E在上，且.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意得：
直线，，
，，两直线为平行直线，
直线，
两平行直线之间的距离为.
故选：A
2．答案：D
解析：根据题意,当点M到直线l的距离时,该直线上存在点P使得,
此时直线l为点的“相关直线”,
对于A,,即,点M到直线l的距离,该直线是点的“相关直线”；
对于B,,点M到直线l的距离,该直线是点的“相关直线”；
对于C,,点M到直线l的距离,该直线是点的“相关直线”；
对于D,,点M到直线l的距离,该直线不是点的“相关直线”.
故选：D.
3．答案：C
解析：由题,圆C是圆心为,半径为的圆,
当直线l的斜率不存在时,直线方程为,
此时圆心到直线距离为1,不等于半径,与圆不相切不符合;
当直线l的斜率存在时,设直线为,化为一般式即,
则圆心到直线距离,解得,
所以“直线l的斜率为-1”是“直线l与圆C相切”的充要条件,
故选：C.
4．答案：B
解析：点到直线的距离.当时，；当时，，当且仅当，即时等号成立.综上，点到直线距离的最大值为.故选B.
5．答案：C
解析：方法一：将圆的一般方程化为标准方程，令，则直线与圆有公共点，且当直线与圆相切时，z取得最大或最小值.设直线与圆相切，则有，整理得，解得或，所以的最大值为，故选C.
方法二：将圆的一般方程化为标准方程，令，，为参数，，所以，当且仅当时，取得最大值，最大值为，故选C.
6．答案：A
解析：依题意可知圆心坐标为，又直线是圆的一条对称轴，所以圆心在该直线上，即，解得，故选A.
7．答案：A
解析：如图所示，过点A作，垂足为O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
设，，，.
因为，所以，所以，又因为，所以，即，所以.又，故为等腰三角形.
8．答案：A
解析：方法一：连接OA，由题可知，，因为，所以由勾股定理可得，则.设直线OP绕点P按逆时针方向旋转角后与直线PD重合，则，，且.所以，故选A.
方法二：以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系，则圆，设点，因为，且，所以，不妨设.
设直线PD的方程为，，，由得，由，解得，则，，所以.因为，，所以.设，则，，当且仅当时等号成立，故选A.
9．答案：BD
解析：依题意可设,则点P到直线的距离为,
解得或0,故答案选B、D.
10．答案：CD
解析：圆O的圆心为，半径为，圆M的圆心为，半径，
由题意得，圆O与圆M的半径之和为，半径之差为0，因为，所以圆O与圆M相交.
由题意得，因为圆O与圆M的半径相等，所以公切线的斜率为2.
设公切线的方程为，即，由，得，
所以公切线的方程为或.故选CD.
11．答案：ABC
解析：圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，则，，.当时，，两圆外离；当时，，两圆相交；
当时，，两圆内切；当时，，两圆外切.
综上所述，两圆可能外离，可能相交，可能内切，可能外切，不可能内含.故选ABC.
12．答案：
解析：解方程组得
所以两条直线交点的坐标为.
故答案为：.
13．答案：
解析：由题意,切点弦AB所在直线的方程为:
,
化简得:.
故答案为:.
14．答案：5或
解析：，，
，或
，或
故答案为5或.
15．答案：(1)
(2)
(3)
(4)
解析：(1)由
因为,所以或.
所以原方程的解集为：.
(2)将代入得：,
整理得：,解得：或;
当时,;当时,.
所以原方程组的解集为：
(3)由或或.
所以原不等式的解集为：.
(4)由
所以.
所以原不等式的解集为：.
16．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由，，，可得的重心，即.
，，
边上的高所在直线为，边上的高所在直线为，即.
由得即的垂心，
连接GH，则GH所在直线为的欧拉线，
，则的欧拉线的方程为，即.
（2）设，圆E的半径为r，，，
，解得或.
①当时，，圆心E到直线的距离，
，解得，圆E的方程为.
②当时，，圆心E到直线的距离，
，解得，圆E的方程为.
综上所述，圆E的标准方程为或.
17．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）取中点P,连接NP,MP,由N是的中点,得,且,
由是的中点,得,且,
则有,四边形是平行四边形,于是,
又平面平面,
所以平面.
（2）四棱柱中,平面ABCD,,则直线AB,AD,两两垂直,
以A为原点,直线AB,AD,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,
有,,,,,,
则有,,,
设平面与平面的法向量分别为,,
则有,令,得,
,令,得,
因此.
所以平面与平面的夹角余弦值为.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)已知直线,整理得,
由故直线l过定点,
点到直线l的距离最大,可知点Q与定点的连线的距离就是所求最大值,
即为最大值.
,的斜率为,
可得,解得;
(2)若直线l分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,
则可设直线l的方程为,,则,,
.
（当且仅当时,取“=”）,
故面积的最小值为12,此时直线l的方程为.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）证明：因为，，，
所以，，
因为，所以，
因为，平面PBC，所以平面PBC，
因为平面，所以，
因为，，，
所以，，
取的中点，则，且，
所以点A到的最短距离为3，
因为，所以点E，重合，，
因为，平面，平面，所以平面，
因为在平行四边形中，，所以平面.
（2）
由（1）知，，，两两垂直，
以点P为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则有得
取，则，，得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.