河南省开封市杞县高中2024−2025学年高二宏志班上学期开学检测 数学试卷（含解析）

这是一份河南省开封市杞县高中2024−2025学年高二宏志班上学期开学检测 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
2．在中，角的对边分别为，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，∥，则∥B．若，，则
C．若，，，则D．若，∥，则
4．向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是（ ）
A．4.5B．5.5C．6D．8
6．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
7．某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是（ ）
A．165.5B．166C．166.5D．168
8．在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知向量，满足，则以下说法正确的是（ ）
A．若，，则或
B．若，则
C．若，，则向量在向量上的投影数量为
D．向量在向量上的投影向量为
10．某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．则（ ）
A．a的值为0.018
B．估计员工平均服务时长为45小时
C．估计员工服务时长的中位数为48.6小时
D．估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人
11．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与所成的角的大小为
B．直线平面
C．平面平面
D．直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量的夹角为，且，则 .
13．某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为 人.
14．镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为 米.

四、解答题（本大题共5小题）
15．已知平面向量，.
(1)若，求；
(2)若，求.
16．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
(1)若，，求A；
(2)若，求周长的最大值．
17．某消防队为了了解市民对“消防基本常识”的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“消防之星”知识竞赛，满分100分（95分及以上为“消防之星”），共有100人荣获“消防之星”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数；
(2)若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率；
(3)若第三组的年龄的平均数与方差分别为36和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为46和4，据此计算这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差.
附：
18．如图，直三棱柱中，与交于点O，M为线段AC的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求三棱锥的体积．
19．如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为正方形，且，点为棱的中点，点为棱上一点.
(1)若点为中点，求证：平面；
(2)若点满足，
（i）求证：；
（ii）求直线与平面所成角的正切值.
参考答案
1．【答案】D
【分析】先求共轭复数，再根据复数代数形式的除法运算化简复数即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故选D.
2．【答案】D
【分析】利用两角和与差的余弦展开式化简可得，由正弦定理得，再利用正弦的二倍角公式可得答案.
【详解】因为
，
所以，
因为，所以，或舍去，可得，
因为，由正弦定理得，
所以，
因为，所以，可得，
，所以.
故选D.
3．【答案】D
【分析】对于ABC，举例判断，对于D，利用面面垂直的性质定理和判定定理分析判断即可.
【详解】对于A，如图当，，∥时，与相交，所以A错误，
对于B，如图，当，时，∥，所以B错误，
对于C，如图当，，时，∥，所以C错误，
对于D，设，在平面内作，因为，所以，
因为∥，所以，
因为，所以，所以D正确.
故选D.
4．【答案】A
【分析】根据向量的坐标运算求解.
【详解】因为，
则，且，
所以.
故选：A.
5．【答案】C
【分析】对这7个数按从小到大的顺序排列，然后根据百分位数的定义求解.
【详解】这7个数从小到大排列为：1，2，4，5，6，8，10，
因为，
所以第60百分位数是第5个数，即是6.
故选C.
6．【答案】D
【分析】利用点、线、面的位置关系即可得出答案.
【详解】对于A，若，，则可能相交，故A错误；
对于B，若，，则可能，故B错误；
对于C，若，，则可能，故C错误；
对于D，若，在平面内能找到直线，使得，
由，可得，又因为，则，故D正确.
故选：D.
7．【答案】B
【分析】由样本均值计算公式，代入数据即可求得；
【详解】抽取的样本的均值近似于总体的均值，
由题意可得：，，
抽取的样本的均值为.
故选B.
8．【答案】D
【分析】利用两个独立事件及对立事件来解决问题.
【详解】此时灯亮由两个独立事件组成，即开关同时闭合和开关同时闭合，
由这两个独立事件至少有一组闭合，灯就一定亮，
而它的对立事件是这两个独立事件同时都不满足闭合，
所以灯亮的概率为.
故选D.
9．【答案】ABD
【分析】A选项，计算出，根据向量垂直得到方程，求出或，A正确；B选项，两边平方，求出；C选项，根据垂直关系得到，从而根据投影向量的模长公式求出C正确；D选项，在C选项基础上，根据投影向量的公式进行求解.
【详解】A选项，，
因为，所以，
解得或，A正确；
B选项，两边平方得，，
因为，所以，
故，则，B正确；
C选项，因为，所以，
，故，
则向量在向量上的投影数量为，C错误；
D选项，由C选项知，，
向量在向量上的投影向量为，D正确.
故选ABD.
10．【答案】AC
【分析】对于A项，根据各组的频率和为1可求出；对于B项，利用平均数的定义求解判断；对于C项，先判断中位数的位置，然后列方程求解即可；对于D项，根据频率分布直方图求出服务时长超过50小时的频率，再乘以800进行判断.
【详解】对于A项，由频率分布直方图得，
解得，所以A正确，
对于B项，员工平均服务时长为，所以B错误，
对于C项，因为前2组的频率和为，前3组的频率和为，
所以中位数在第3组，设中位数为，则，
解得，所以C正确，
对于D项，因为服务时长超过50小时的频率为，
所以本单位员工中服务时长超过50小时的约有人，所以D错误.
故选AC.
11．【答案】ABD
【分析】利用平移法可求出直线与所成的角，判断A；根据线面平行的判定定理可判断B；采用反证法可判断C；根据线面角的定义求出直线与平面所成角的正弦值，判断D.
【详解】对于A，连接，则，即为正三角形，
又，分别为，的中点，故，
故直线与所成的角即为所成角或其补角，而，
故直线与所成的角的大小为，A正确；
对于B，由于，故四边形为平行四边形，
故，而，故,
又平面，平面，故平面，B正确；
对于C，取EF中点为M，连接DM，显然，故，
假设平面平面，而平面平面，
平面，则平面，又平面，
则，这与二者交于D点矛盾，C错误；
对于D，不妨设正方体棱长为2，点C到平面的距离为d，
则，
而，
则，解得，
设直线与平面所成角为，则，D正确，
故选：ABD
12．【答案】
【分析】由平面向量数量积的定义可得，再由，结合平面向量数量积的运算律即可得解.
【详解】因为向量，的夹角为，，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
13．【答案】68
【分析】计算出参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率，进而得到出参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数.
【详解】今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为
，
故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为.
故答案为：68
14．【答案】
【分析】设，利用三角函数分别表示,然后分别中利用余弦定理表示,因为,所以,
求出h即可.
【详解】设，
在中，，.
在中， ,,
在中，,.
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：,
因为,
所以， 即，.
故答案为： .
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程，解出值，再利用向量的坐标表示即可得到答案；
（2）根据向量垂直的坐标表示得到，再利用向量夹角的坐标表示即可.
【详解】（1）因为，
又因为，所以，解得，
所以.
（2）因为，
所以，解得.
所以，
所以.
16．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理直接求解；
（2）根据余弦定理结合基本不等式得，从而可求出周长的最大值．
【详解】（1）由正弦定理知，所以，解得，
因为B为钝角，所以．
（2）由余弦定理得，
又由，，则，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
即的最大值为4，
所以周长的最大值为．
17．【答案】(1)平均年龄为34.5岁，第80百分位数为45；
(2)；
(3)26.8.
【分析】（1）根据频率分布直方图的平均值公式和百分位数的求法即可；
（2）利用古典概型公式，列出所有情况和满足题意的情况即可；
（3）根据分层方差公式计算即可.
【详解】（1）这些人的平均年龄为
(岁).
由频率分布直方图可知，年龄在的频率为，
在的频率为，
则第80百分位数为，由，解得.
所以估计这些人的平均年龄为34.5岁，第80百分位数为45.
（2）第三组，第四组，第五组的频率分别为0.3，0.2，0.1，
若从这三组中分层抽取6人，则从第三组抽取3人，记为；第四组抽取2人，
记为；第五组抽取1人，记为；
对应的样本空间，
，
所以；
设事件为“从6人中随机抽取两人，所抽取的2人年龄在不同组”，
则，
，所以，
所以.
（3）设第三组、第四组的年龄的平均数分别为，方差分别为.则.
由第三组有30人，第四组有20人，
设第三组和第四组所有人的年龄平均数为，方差为，
则，
.
所以这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差为26.8.
18．【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（1）根据线面平行判定定理证明；
（2）应用面面垂直判定定理证明；
（3）等体积法求三棱锥的体积.
【详解】（1）
连接，因为直三棱柱，，，又
所以是正方形且O为线段的中点，
又M为线段AC中点，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）因为，，平面平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（3）因为M为线段AC中点，
所以，
即三棱锥的体积为．
19．【答案】(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据条件可得，从而证得平面；（2）（i）首先证明平面PBC，从而证明平面DEF，即可得到；（ii）由（i）可知即为直线与平面所成的角，根据边长关系求出即可得到答案.
【详解】（1）中，点，分别为棱，的中点，
∴
又四边形是正方形，∴，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）（i）在四棱锥中，
平面，四边形为正方形,
,,
,平面，平面，
平面
平面
在中，，为中点
，，平面，平面
平面
平面
又，，平面，平面
平面，又平面
.
（ii）由（i）可知即为直线与平面所成的角，
在中，，，则
又，∴，
∴
故直线与平面所成的角的正切值为