四川省遂宁市射洪中学校2024−2025学年高二（强基班）上学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省遂宁市射洪中学校2024−2025学年高二（强基班）上学期开学考试 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数满足（i为虚数单位），则（ ）
A．2B．4C．D．
2．，，若//，则（ ）
A．0B．C．4D．2
3．甲、乙两人独自破译密码，两个人都成功地破译密码的概率为0.3，甲成功且乙没有成功破译密码的概率为0.2，则甲成功破译密码的概率为（ ）
A．0.5B．0.6C．0.06D．
4．已知m，n是空间两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．，，，则
B．，，，则
C．，，，则
D．，，，则
5．已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示：

令，分别表示甲、乙射中环数的均值；，分别表示甲、乙射中环数的方差，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．如图，在长方体中，，，，，，则直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
7．已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．在直角梯形中，分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（ ）
A．事件，，两两互斥
B．事件与事件对立
C．
D．事件，，两两独立
10．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：
用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ）
A．54周岁以上参保人数最少B．18～29周岁人群参保总费用最少
C．丁险种更受参保人青睐D．30周岁以上的人群约占参保人群
11．在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则（ ）

A．
B．三棱锥的体积不变
C．的最小值为
D．当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
三、填空题（本大题共1小题）
12．已知数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为 ；
四、单选题（本大题共1小题）
13．同时抛掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为4的概率为 ；
五、填空题（本大题共1小题）
14．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点N到平面的距离为 .
六、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与、的夹角都等于60°，M在棱上，，设，，．

(1)试用，，表示出向量；
(2)求．
16．已知函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求的解析式：
(2)求的单调递增区间；
(3)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，当时，求的值域．
17．已知的内角的对边分别为，且．
(1)求角；
(2)设是边上一点，为角平分线且，求的值．
18．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
(1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
19．已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)若为的中点
①求与平面所成角的正弦值；
②求二面角的平面角的余弦值．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据复数的除法法则求得，再利用模长公式即可求解.
【详解】由可得，
所以.
故选：D
2．【答案】B
【分析】根据向量共线的条件进行求解
【详解】由//，则，使得，即，解得.
故选：B
3．【答案】A
【分析】利用独立事件，列概率的方程，利用解方程求解即可.
【详解】因为甲、乙两人独自破译密码，故甲、乙两人破译密码为独立事件.
设甲､乙､两人独立破译的事件分别记为A，B，则
则
解得：
故选：A.
4．【答案】C
【分析】对于由线面平行的性质定理即可判定；对于,可利用排除的思想；
对于,根据条件可直接判定或者与相交，错误；
对于，通过构造平面，利用平面与平面所成角的大小即可判定.
【详解】对于由线面平行的性质定理可知正确；
对于,，，或者，又则，故正确；
对于,由，，，则或者与相交或者异面，则不一定成立，故错误；
对于,若，，，则与一定不平行，否则有，与已知矛盾，
通过平移使与相交，设与确定的平面为，则与和的交线所成的角即为和所成的角，
又，所以与所成的角为，故正确.
故选:.
5．【答案】D
【分析】根据频率分布图分别计算，，比较大小可得.
【详解】由图可知，
，
，
所以，.
故选：D.
6．【答案】B
【分析】取上靠近的三等分点F，取上三等分点，可知直线与所成角即为直线与所成角，求出，在中，由余弦定理求解即可.
【详解】取上靠近的三等分点F，取上三等分点，
连接，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，所以直线与所成角即为直线与所成角，
，
由正方体的性质可得：平面，平面，
所以平面，所以，，
，，
，
在中，，
所以直线与所成角的余弦值为.
故选：B.

7．【答案】A
【分析】由面积公式得到，再将切化弦，结合两角和的正弦公式、诱导公式得到，利用正弦定理将角化边得到，由余弦定理得到，最后利用余弦定理计算可得.
【详解】因为，又，
所以，又，所以，
所以，即，显然，所以，
因为，，
又，所以，
所以，由正弦定理可得，
又由余弦定理，即，
所以，则，
由余弦定理，
又，所以.
故选A.
【思路导引】本题解答的关键是推导出、，再由余弦定理计算可得.
8．【答案】B
【详解】
建立如图所示平面直角坐标系，
则，
设，
，
因为，所以，
可得，解得，
所以
，
因为，所以，
可得，
所以.
故选B.
【方法总结】向量平行(共线)、垂直、线性运算与三角函数的综合此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系、线性运算得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．
9．【答案】ABC
【详解】依题意抛掷一次可能出现的结果有，，，，
事件包含的基本事件有，，则；
事件包含的基本事件有，，则；
事件包含的基本事件有，，则；
显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生，
故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误；
事件包含的基本事件有，，，
事件包含的基本事件有，
当出现时事件与事件均发生，故事件与事件不互斥，
显然不对立，故B错误；
又事件包含的基本事件有，所以，
所以，故C错误；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
即事件，，两两独立，故D正确.
故选ABC
10．【答案】AC
【分析】
根据选项逐一对相应的统计图进行分析判断即可.
【详解】
解：对A：由扇形图可知，54周岁以上参保人数最少，故选项A正确；
对B：由折线图可知，18～29周岁人群人均参保费用最少，但是由扇形图知参保人数并不是最少的，所以参保总费用不是最少，故选项B错误；
对C：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故选项C正确；
对D：由扇形图可知，30周岁以上的人群约占参保人群，故选项D错误.
故选：AC.
11．【答案】ABD
【分析】由线面垂直证明线线垂直证明选项A；，由底面积和高判断体积验证选项B；转化为点和点到点的距离之和，计算验证选项C；通过构造直角三角形求截面半径，计算体积验证选项D.
【详解】连接，如图所示，

直三棱柱中，，
为正方形，，
，平面，平面，，
平面，，平面，
平面，，A选项正确；
由直三棱柱的结构特征，，故三棱锥的体积为定值，B选项正确；
设，，，
，
，
，其几何意义是点和点到点的距离之和，最小值为点到点的距离，为，C选项错误；
当是的中点时，，，，
，
，，
，设点到平面的距离为，由，
得，，
直三棱柱是正方体的一半，外接球的球心为的中点，外接球的半径，点到平面的距离为，
则过三点的平面截三棱柱外接球所得截面圆的半径为，截面面积为，D选项正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：
对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键；与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，通过构造直角三角形求半径.
12．【答案】20
【分析】根据公式计算即可.
【详解】因为数据，，，，的方差为，
所以数据，，，，的方差为.
故答案为：20
13．【答案】
【分析】按古典概型概率公式求解.
【详解】同时抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个；
设两枚骰子点数之和为4为事件，则事件包含：，，共3个基本事件，
所以.
故答案为：
14．【答案】
【分析】以为原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法，即可求解点N到平面的距离，得到答案.
【详解】由题意，以为原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，
所以点N到平面的距离.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了点到平面的距离的求法，以及空间中点、线、面的位置关系等知识的应用，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力.
15．【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由向量对应线段的位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义用，，表示出即可；
（2）应用数量积的运算律及其定义求即可.
【详解】（1）由图知：，，
.
（2）
.
16．【答案】(1)
(2)单调递增区间是，
(3)
【详解】（1）由图象可知：，解得：，，
又由于，可得：，所以，
由图象知，，又因为，
所以，．所以．
（2）由，，得，．
函数的单调递增区间是，．
（3）依题可得，因为，
则，所以，
即的值域为．
【方法总结】根据图象求函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式:
(1)A=ymax-ymin2:振幅A可以利用图象最高点与最低点纵坐标的差来求;
(2)B=ymax+ymin2:B可以利用图象最高点与最低点纵坐标的和(或对称中心的纵坐标)来求;
(3)ω=2πT:角频率ω可以利用周期T来求,周期T的求法(观察图象):①相邻对称轴(最值)之间相距T2;②相邻对称中心之间相距T2;③相邻对称轴与对称中心之间相距T4;④相邻最高(低)点之间相距T;
(4)φ:初相φ可以通过特殊值(最大值,最小值,零点等)来求.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解；
（2）在中，，得到，再由为角平分线，得到，然后利用余弦定理求解.
【详解】（1）解：由正弦定理得，
即，
利用余弦定理可知，
因为，所以；
（2）在中，，
所以，
即，
因为为角平分线，所以，所以，
由余弦定理，得，
则，
因此．
18．【答案】(1)岁；
(2)；
(3)10.
【分析】(1)由频率分布直方图的平均数算法可得；
(2)根据古典型概念公式可得；
(3)根据分层抽样平均数和方差公式可得.
【详解】(1)设这人的平均年龄为，则
(2)由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，，
第五组抽取人，记为（乙），，
对应的样本空间的样本点为：
设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，则
，
所以.
(3)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，
则，
，
因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10.
据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差为10.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)①；②．
【分析】（1）利用面面垂直证明线面垂直，再证明线线垂直，从而可证明线面垂直；
（2）因为线面垂直可证明更多的空间垂直关系，所以本题的线面角和二面角都可以通过作图，得到它们的平面角，从而解三角形即可得到平面角的三角函数值.
【详解】（1）因为，，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以．
取的中点，连接，，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以．
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为,，，平面，所以平面．
（2）①过点作，垂足为．如图所示，
由（1）知，平面．因为平面，所以．
，所以平面，
所以就是与平面所成角的平面角．
由（1）知，平面，平面，所以．
在中，，，，
因为为的中点，所以．
在中，，
在中，，
在中，，
所以由同角三角函数的基本关系得．
所以与平面所成角的正弦值为．
②取的中点为，连接，因为为线段的中点，
所以，
由（1）知，平面，所以平面，平面．
所以．
过点作，垂足为，连接，，，平面，
所以平面．平面，所以，
所以为二面角的平面角．
在中，，
由（1）知，为等边三角形，为线段的中点，
所以
由（1）知，平面，平面．所以，
在中，，由（2）知，，
即，解得．
因为平面，平面，所以．
在中，．
，
所以二面角的平面角的余弦值为．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据二面角的定义找出二面角，再利用勾股定理定义求出相关线段，最后根据三角函数的定义即可得到答案.