福建省2024-2025学年高二上学期10月月考模拟数学试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量是直线的方向向量，是平面的一个法向量，则直线与平面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，若，，共面，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．如图，在棱长均相等的四面体中，点为的中点，，设，则（ ）
A．B．
C．D．
4．设，向量，，且，则（ ）
A．B．C．3D．4
5．已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）

A．B．C．D．
6．已知正三棱柱的各棱长都为2，以下选项正确的是（ ）

A．异面直线与垂直
B．与平面所成角的正弦值为
C．平面与平面夹角的余弦值为
D．点C到直线的距离为
7．在正方体中，在正方形中有一动点P，满足，则直线与平面所成角中最大角的正切值为（ ）
A．1B．C．D．
8．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍薨”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体是一个刍薨，其中四边形为矩形，其中，，与都是等边三角形，且二面角与相等，则长度的取值范围为（ ）

A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知正方体，点P满足，，，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱倠的体积为定值
B．当时，平面
C．当时，存在唯一的点P，使得与直线的夹角为
D．当时，存在唯一的点P，使得平面
10．已知四面体，则下列说法正确的是（ ）
A．若为的中点，为的中点，则
B．若四面体是棱长为1的正四面体，则
C．若，，，则向量在上的投影是
D．已知，，，则向量，，不可能共面
11．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点与点B到平面的距离相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．设空间向量，，若，则 .
13．已知正三棱柱的底面边长为6，三棱柱的高为4，则该三棱柱的外接球的表面积为 .
14．如图，已知，，则以OA，OB为邻边的平行四边形的两条高的长度分别为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（13分）．四棱锥中，平面，，，，已知是四边形内部一点，且二面角的平面角大小为，求动点的轨迹的长度.
16．（15分）如图，长方体中，，是的中点．
(1)求证：；
(2)求证：平面 .
17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是棱上的动点，且，，M是边中点.

(1)当时，证明：平面.
(2)当点E到直线距离最近时，求点D到平面的距离.
18．（17分）如图，在四棱锥中，面，，，，点E是线段中点.

(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的为30°，求平面与平面夹角的余弦值.
19．（17分）如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.

(1)求证：平面；
(2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
注 意 事 项
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.