吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析）

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说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. 0B. C. πD. 不存在
2. 下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 2，且过原点的圆的是 （ ）
A B.
C. D.
3. 如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（ ）

A. B. C. D.
4. 已知直线：，：若，则实数（ ）
A. 或B. C. D. 与
5. 若点在圆的外部，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 圆与直线的交点个数为（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 与k的取值有关
7. 如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
二､多选题（本大题共3小题，每小題6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，部分选对给部分分，有选错的或不答的得0分．）
9. 过点作圆的切线，所得切线方程为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 周长为8B. 存在点，使得
C. 的取值范围为D. 的取值范围为
11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ）
A. 与平面的夹角的正弦值为B. 点到的距离为
C. 线段长度的最大值为D. 与的数量积的范围是
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量，，，若，，共面，则______．
13. 圆与圆相交所得公共弦长为__________．
14. 加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是_________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分）
15. 已知点和直线.
（1）若直线经过点P，且，求直线方程；
（2）若直线经过点P，且在两坐标轴上截距相等，求直线的方程.
16. 已知圆与轴相切，圆心在射线，且被直线截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）若点在圆上，求点到直线的距离的最小值.
17. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段AB的中点，
（1）求点M的轨迹方程；
（2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C的中心记为点C，求面积的最大值，并求此时直线l的方程．
18. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，，．
（1）证明：平面；
（2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由．
19. 阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题.其内容为：若将直线绕与的交点逆时针方向旋转到与直线第一次重合时所转的角为，则称为到的角，当直线与不垂直且斜率都存在时，（其中分别为直线和的斜率）.结合阅读材料，回答下述问题：
已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，，四边形的面积为为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的角平分线所在的直线的方程；
（3）过点的且斜率存在的直线分别与椭圆交于点（均异于点），若点到直线的距离相等，证明：直线过定点