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江苏省启东中学2023-2024学年高二上学期10月考试 数学试题
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这是一份江苏省启东中学2023-2024学年高二上学期10月考试 数学试题，文件包含高二数学10月考试数学-教师用卷docx、高二数学10月考试数学-学生用卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若方程x2+y2−x+y+m=0表示一个圆，则实数m的取值范围是()
A. m<12B. m≤12C. m<2D. m≤2
2.已知双曲线x2m+y23=1的焦距为4，则m的值为()
A. 1B. −1C. 7D. −7
3.已知两点M(−1,−3)，N(2,−3)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线的斜率k的取值范围是( )
A. k≤−4或k≥2B. −4≤k≤2C. k≥2D. −4≤k
4.已知数列{an}满足an=sin2nπ4(n∈N∗)，则{an}的前10项的和为()
A. 132B. 6C. 5D. 112
5.直线l:4x+3y−2=0关于点A(1,1)对称的直线方程为( )
A. 4x+3y−4=0B. 4x+3y−12=0
C. 4x−3y−4=0D. 4x−3y−12=0
6.已知数列an和n2an均为等差数列，Sn是数列an的前n项和，则S5a10=( )
A. 1B. 32C. 2D. 52
7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，O为坐标原点，M为椭圆上一点．F1M与y轴交于一点N，|OM|=|OF2|= 3|ON|，则椭圆C的离心率为()
A. 13B. 53C. 32D. 3−1
8.若圆M:(x−csθ)2+(y−sinθ)2=1(0≤θ<2π)与圆N:x2+y2−2x−4y=0交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为()
A. 12B. 34C. 45D. 43
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知直线l过P(1,2)，且A(2,3)，B(4,−5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是()
A. 4x+y−6=0B. x+4y−6=0C. 3x+2y−7=0D. 2x+3y−7=0
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差d≠0，若对于任意正整数n，Sn≥S2022，则
A. a1>0B. d>0C. a2022=0D. S4045≥0
11.圆F:x2+y2−2x=0，抛物线C:y2=4x，过圆心F的直线l与两曲线的四个交点自下向上依次记为P,M,N,Q，若PM,MN,NQ构成等差数列，则直线l的方程可能是( )
A. x−y−1=0B. x+y−1=0
C. 2x−y− 2=0D. 2x+y− 2=0
12.泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点F(1,0)，直线l:x=4，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半．若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是()
A. 点P的轨迹方程是x24+y23=1
B. 直线l1:x+2y−4=0是“最远距离直线”
C. 平面上有一点A(−1,1)，则|PA|+2|PF|的最小值为5
D. 点P的轨迹与圆C:x2+y2−2x=0是没有交汇的轨迹(也就是没有交点)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.双曲线y22−x24=1的渐近线方程为__________.
14.等差数列an中，a5−a3=a7−10，则an的前9项和为_____
15.已知点A(−2,0)，B(2,0)，若圆(x−a)2+(y−3)2=4上存在点P，使得∠APB=90∘，则实数a的取值范围是____________.
16.P是抛物线x2=4y准线为l上一点，A，B在抛物线上，PA，PB的中点也在抛物线上，直线AB与l交于点Q，则PQ的最小值为_________.
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
等差数列an中，a10=30,a20=50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn=242，求n.
18.(本小题12分)
已知点A−1,0，B3,0，动点P满足PA2+PB2=26.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)直线l过点Q−2,3且与点P的轨迹只有一个公共点，求直线l的方程．
19.(本小题12分)
记Sn为数列an的前n项和，已知a1=1,Snan是公差为13的等差数列．
(1)求an的通项公式；
(2)证明：1a1+1a2+⋯+1an<2.
20.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e= 63，过左焦点F的直线l与椭圆交于点M、N.当直线l与x轴垂直时，ΔMON的面积为2 63(O为坐标原点).
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)设直线l的倾斜角为锐角且满足OM⋅ON=4 63tan∠MON，求直线l的方程．
21.(本小题12分)
已知正项数列an，对任意n∈N∗，都有2Sn=an2+an,Sn为数列an的前n项和．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=3n+(−1)n−1⋅λ⋅2an，若数列bn是递增数列，求实数λ的取值范围．
22.(本小题12分)
已知C:x2a+y2b=1的上顶点到右顶点的距离为 7，离心率为12，过椭圆左焦点F1作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：x=−2a，过点M作ME垂直于直线m交直线m于点E.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证线段NE必过定点P，并求定点P的坐标．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若方程x2+y2−x+y+m=0表示一个圆，则实数m的取值范围是()
A. m<12B. m≤12C. m<2D. m≤2
2.已知双曲线x2m+y23=1的焦距为4，则m的值为()
A. 1B. −1C. 7D. −7
3.已知两点M(−1,−3)，N(2,−3)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线的斜率k的取值范围是( )
A. k≤−4或k≥2B. −4≤k≤2C. k≥2D. −4≤k
4.已知数列{an}满足an=sin2nπ4(n∈N∗)，则{an}的前10项的和为()
A. 132B. 6C. 5D. 112
5.直线l:4x+3y−2=0关于点A(1,1)对称的直线方程为( )
A. 4x+3y−4=0B. 4x+3y−12=0
C. 4x−3y−4=0D. 4x−3y−12=0
6.已知数列an和n2an均为等差数列，Sn是数列an的前n项和，则S5a10=( )
A. 1B. 32C. 2D. 52
7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，O为坐标原点，M为椭圆上一点．F1M与y轴交于一点N，|OM|=|OF2|= 3|ON|，则椭圆C的离心率为()
A. 13B. 53C. 32D. 3−1
8.若圆M:(x−csθ)2+(y−sinθ)2=1(0≤θ<2π)与圆N:x2+y2−2x−4y=0交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为()
A. 12B. 34C. 45D. 43
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知直线l过P(1,2)，且A(2,3)，B(4,−5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是()
A. 4x+y−6=0B. x+4y−6=0C. 3x+2y−7=0D. 2x+3y−7=0
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差d≠0，若对于任意正整数n，Sn≥S2022，则
A. a1>0B. d>0C. a2022=0D. S4045≥0
11.圆F:x2+y2−2x=0，抛物线C:y2=4x，过圆心F的直线l与两曲线的四个交点自下向上依次记为P,M,N,Q，若PM,MN,NQ构成等差数列，则直线l的方程可能是( )
A. x−y−1=0B. x+y−1=0
C. 2x−y− 2=0D. 2x+y− 2=0
12.泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点F(1,0)，直线l:x=4，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半．若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是()
A. 点P的轨迹方程是x24+y23=1
B. 直线l1:x+2y−4=0是“最远距离直线”
C. 平面上有一点A(−1,1)，则|PA|+2|PF|的最小值为5
D. 点P的轨迹与圆C:x2+y2−2x=0是没有交汇的轨迹(也就是没有交点)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.双曲线y22−x24=1的渐近线方程为__________.
14.等差数列an中，a5−a3=a7−10，则an的前9项和为_____
15.已知点A(−2,0)，B(2,0)，若圆(x−a)2+(y−3)2=4上存在点P，使得∠APB=90∘，则实数a的取值范围是____________.
16.P是抛物线x2=4y准线为l上一点，A，B在抛物线上，PA，PB的中点也在抛物线上，直线AB与l交于点Q，则PQ的最小值为_________.
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
等差数列an中，a10=30,a20=50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn=242，求n.
18.(本小题12分)
已知点A−1,0，B3,0，动点P满足PA2+PB2=26.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)直线l过点Q−2,3且与点P的轨迹只有一个公共点，求直线l的方程．
19.(本小题12分)
记Sn为数列an的前n项和，已知a1=1,Snan是公差为13的等差数列．
(1)求an的通项公式；
(2)证明：1a1+1a2+⋯+1an<2.
20.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e= 63，过左焦点F的直线l与椭圆交于点M、N.当直线l与x轴垂直时，ΔMON的面积为2 63(O为坐标原点).
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)设直线l的倾斜角为锐角且满足OM⋅ON=4 63tan∠MON，求直线l的方程．
21.(本小题12分)
已知正项数列an，对任意n∈N∗，都有2Sn=an2+an,Sn为数列an的前n项和．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=3n+(−1)n−1⋅λ⋅2an，若数列bn是递增数列，求实数λ的取值范围．
22.(本小题12分)
已知C:x2a+y2b=1的上顶点到右顶点的距离为 7，离心率为12，过椭圆左焦点F1作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：x=−2a，过点M作ME垂直于直线m交直线m于点E.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证线段NE必过定点P，并求定点P的坐标．
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