江西省景德镇市乐平中学2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析）

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一、单选题
1. 已知向量，若，则（ ）
A. 5B. 4C. D.
2. 麒麟山位于三明市区中部，海拔262米，原名牛垄山．在地名普查时，发现山腰有一块“孔子戏麒麟”石碑，故更现名．山顶的麒麟阁仿古塔造型是八角重檐阁．小李为测量麒麟阁的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得，，米，则麒麟阁的高度CD约为（参考数据：，）（ ）

A. 米B. 米C. 米D. 米
3. 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是（ ）
A. B. 1C. D.
4. 对于不同直线以及平面，下列说法中正确的是（ ）
A. 如果，则B. 如果，则
C. 如果，则D. 如果，则
5. 如图，在正方体中，点E，F为棱上的中点，则异面直线EF与BD所成角的大小为（ ）
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
6. 如图，在正方体中，二面角的平面角等于（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，则该四棱锥外接球体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知正方体棱长为3，点分别在棱上，满足，点在正方体的面内，且平面，则线段长度的最小值为（ ）
A. B. 3C. D.
二、多选题
9. 已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A. 的最小正周期为π；
B. 函数的图象关于对称；
C. 在区间上单调递减；
D. 将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合．
10. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A.
B 若，则有两解
C. 若为锐角三角形，则取值范围是
D. 若为边上中点，则的最大值为
11. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（ ）

A. B. 平面ABCD
C. 三棱锥的体积为定值D. 的面积与的面积相等
三、填空题
12. 法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为______．
13. 在正方体中，点分别是的中点．
①；
②与所成角为；
③平面；
④与平面所成角的正弦值为．
其中所有正确说法的序号是________．

14. 如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，平面平面ABCD，中BC边上的高，则该几何体的体积为__________．
四、解答题
15. 已知，函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，求的值域.
16. 如图所示，在三棱锥中，平面，，过点分别作，，，分别为垂足．
（1）求证：平面 平面；
（2）求证：．
17. 已知分别为的内角的对边，且.
（1）求角A；
（2）若，求出边并求出的面积
18. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，平面平面.

（1）证明：；
（2）证明：∥平面；
（3）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出值；若不存在，请说明理由.
19. 如图，在平面五边形中，，，，，的面积为.现将五边形沿向内进行翻折，得到四棱锥.
（1）求线段的长度；
（2）求四棱锥的体积的最大值；
（3）当二面角的大小为时，求直线与平面所成的角的正切值.