重庆市西北狼联盟2024-2025学年高二上学期入学联考 数学试题(含解析)
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注意事项:
1.试题的答案书写在答题卡上,不得在试题卷上直接作答;
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项;
3.作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成;
4.考试结束,由监考人员将试题卷和答题卡一并收回.
一、单选题
1. 已知向量,,若,则实数的值为( )
A 1B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标运算即可求解.
【详解】因为,,,
所以,则.
故选:B
2. 已知复数(是虚数单位),则共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先化复数代数形式,再求共轭复数,最后根据复数几何意义确定选项.
【详解】,对应点为,在第四象限,选D.
【点睛】本题考查共轭复数定义以及复数几何意义,考查基本分析求解能力,属基础题.
3. 如图,四边形的斜二测直观图为平行四边形,已知,则该图形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用斜二测画法得到原图矩形中,为正方形,从而求出面积.
【详解】平行四边形,由斜二测画法得,在原图矩形中,,为正方形,故该图形的面积为.
故选:A.
4. 已知一组数据:121,123,124,125,125,126,127,128,129,130.则这组数据的第25百分位数是( )
A. 123B. 124C. 125D. 126
【答案】B
【解析】
【分析】把数据按从小到大的顺序排列,可计算出这组数据的第25百分位数是第3项即可.
【详解】数据从小到大排列是: 121,123,124,125,125,126,127,128,129,130.
共10个数据,,
所以这组数据的第25百分位数是第3项,即124.
故选:B.
5. 若,,,,为空间直线,,为平面,则下列说法错误的是( )
A. ,,则
B. ,,,则
C. ,,,则
D. ,是异面直线,则,在内的射影为两条相交直线
【答案】D
【解析】
【分析】根据线线、线面、面面垂直性质和判定定理可以判定ABC都正确,考虑到异面直线在同一平面内的射影不同情况,可知D错误.
【详解】由于两平行线与任意直线所成的角都相等可知A正确;
由平面垂直性质和面面垂直的判定定理可知B正确;
由平面平行的性质和线面垂直的性质可得C正确;
由于两异面直线在同一平面内的射影可能是平行直线,相交直线,一条直线和直线外的一点,故D错误,
综上不正确的是D,
故选:D.
6. 如图所示,在棱长为2的正方体中,E为的中点,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系,,进而求出线线角的向量公式即可求出结果.
【详解】如图,以D为原点,分别以所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
因为正方体的棱长为2,则.
所以,又
所以.
故选:C.
7. 如图,一架高空侦察飞机以的速度在海拔的高空沿水平方向飞行,在点处测得某山顶的俯角为,经过后在点处测得该山顶的俯角为,若点A,B,M在同一个铅垂平面内,则该山顶的海拔高度约为( )(,)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在中,由正弦定理求出,再由可求出结果.
【详解】依题意得,,
在中,米,,
由正弦定理得,得米,
又
所以该山顶海拔高度为米.
故选:B
8. 如图,在中,,E为线段AD上的动点,且,则的最小值为( )
A. 8B. 12C. 32D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得,,然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可.
【详解】因为,所以,因为,所以,
因为三点共线,所以,,
所以,
当且仅当,即时取等号,所以的最小值是32.
故选:C
二、多选题
9. 经过简单随机抽样获得的样本数据为,则下列说法正确的是( )
A. 若数据的方差,则所有数据圴相同
B. 若数据的均值为3,则数据的均值为6
C. 数据的极差不小于数据的极差
D. 若数据的众数为78,则可以说总体中的众数为78
【答案】AC
【解析】
【分析】根据数据的平均数,方差,极差及众数的性质逐项进行检验即可判断.
【详解】对于A,数据的方差时,说明所有的数据都相等,故选项A正确;
对于B,数据,的平均数为,数据的平均数为,故选项B错误;
对于C,设数据的极差为当不是时,数据的极差为当为时,的极差小于故选项C正确;
对于D,样本数据具有随机性,所以样本的众数不一定是总体的众数,故选项D错误,
故选:.
10. 若向量满足,则( )
A. B. 与的夹角为
C. D. 在上的投影向量为
【答案】BC
【解析】
【分析】由模与数量积的关系求得,再根据数量积的性质确定与的夹角,判断向量垂直,求解投影向量即可得结论.
【详解】因为,所以,
则,故A不正确;
又,,所以,即与的夹角为,故B正确;
又,所以,故C正确;
又在上的投影向量为,故D不正确.
故选:BC.
11. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池,垂直于底面,,底面扇环所对的圆心角为,弧的长度是弧长度的3倍,,则下列说法正确的是( )
A. 弧长度为B. 曲池的体积为
C. 曲池的表面积为D. 三棱锥的体积为5
【答案】ACD
【解析】
【分析】设弧所在圆的半径为,弧所在圆的半径为,根据弧的长度是弧长度的倍及求出、,再根据体积、表面积公式计算可得.
【详解】设弧所在圆的半径为,弧所在圆的半径为,
因为弧的长度是弧长度的倍,,即,
,,,
所以弧的长度为,故A正确;
曲池的体积为,故B错误;
曲池的表面积为
,故C正确;
三棱锥的体积为,故D正确.
故选:ACD.
三、填空题
12. 某校高一年级共有学生200人,其中1班60人,2班50人,3班50人,4班40人.该校要了解高一学生对食堂菜品的看法,准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈,若采取按比例分配的分层抽样,则应从高一2班抽取的人数是______.
【答案】10
【解析】
【分析】根据分层抽样原则直接计算即可
【详解】由题意,从高一年级200人中抽取40人访谈,按照年级分层,则高一2班应该抽人.
故答案为:10.
13. 如图,某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成,且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为的球面上,若圆柱的高为2,则圆锥的侧面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出该几何体的轴截面,如图,设是球心,是圆锥的顶点,是圆锥的母线,求出球的半径,从而可求出,进而可求得圆锥的侧面积.
【详解】其中,是球心,是圆锥的顶点,是圆锥的母线,
由题意可知,解得,
由于圆柱的高为2,,,,
母线,
∴圆锥的侧面积为.
故答案为:
14. 如图,这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成,若正方形的边长为4,点在四段圆弧上运动,则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】借助于正方形建系,利用平面向量数量积的几何意义,找到使在方向上的投影向量的数量最大和最小的点即得的取值范围.
【详解】
如图,以点为原点,分别以所在直线为轴建立坐标系.
因,
而表示在方向上的投影向量的数量,
由图不难发现,设过正方形的中心作与轴平行的直线与左右两个半圆分别交于点,
则当点与点重合时,投影向量的数量最大,当点与点重合时,投影向量的数量最小.
易得,则的最大值为6,最小值为,
故.
故答案为:.
四、解答题
15. 已知复数满足,的虚部是2.
(1)求复数;
(2)设,,在复平面上的对应点分别为,,,若点位于第一象限,求的面积.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】(1)设,结合条件求即可得z;
(2)结合(1)结论,利用复数的四则运算即可得的对应坐标,进而求它们构成的的面积;
【小问1详解】
,
则,
由题意得,
且,
解得或,
所以或.
【小问2详解】
因为位于第一象限,所以,
,
,
所以,,,
直线,所以且到的距离为1;
∴.
所以.
16. 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为菱形,△PAD为等边三角形,∠ABC=120°,点E,F分别是线段PA,AD的中点.
(1)求证:平面EBD;
(2)若AB=2,求四棱锥P-DFBC的体积.
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【解析】
【分析】(1)连接,连,证明,再利用线面平行的判定推理作答.
(2)证明平面,再利用锥体的体积公式求解作答.
【小问1详解】
在四棱锥P-ABCD中,连接,连,如图,
因四边形是菱形,则O是AC的中点,而E是PA的中点,则,又平面,平面,
所以平面.
【小问2详解】
在正中,F是线段AD的中点,则,而平面平面,平面平面,
平面,因此,平面,且,
在菱形中,,则,是正三角形,,,
显然四边形是直角梯形,其面积为,
所以四棱锥的体积.
17. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求,重庆市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准(吨),一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照,,…,分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图,其中.
(1)求直方图中,的值,并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表);
(2)设该市有40万居民,估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数,并说明理由;
(3)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计的值,并说明理由.
【答案】(1),,平均数为
(2)万,理由见解析
(3)5.8吨,理由见解析
【解析】
【分析】(1)由频率之和为1以及列方程组求得的值,并由频率分布直方图中间值作为代表,计算出平均数;
(2)计算不低于2吨人数对应的频率,求出对应的人数;
(3)由频率分布直方图计算频率,可判断,再根据频率列出方程,求出的值.
【小问1详解】
由频率分布直方图可得
,
又,则,,
该市居民用水的平均数估计为:
;
【小问2详解】
由频率分布直方图可得,
月均用水量不超过2吨的频率为:,
则月均用水量不低于2吨的频率为:,
所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为:
(万);
【小问3详解】
由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为:0.88,
月均用水量不超过5吨的频率为0.73,
则85%的居民每月的用水量不超过标准(吨),,
,解得,
即标准为5.8吨.
18. 的角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求角A;
(2)从三个条件:①;②;③的面积为中任选一个作为已知条件,求周长的取值范围.
【答案】(1);(2)答案不唯一,具体见解析.
【解析】
【分析】(1)利用正弦定理将角化边,可得,然后利用余弦定理,可得.
(2)若选①,使用正弦定理以及辅助角公式可得,根据的范围可得结果;选②,利用正弦定理可得,可得结果.选③结合不等式可得结果.
【详解】(1)因为,
所以,得,
所以,因为,所以.
(2)分三种情况求解:
选择①,因为,
由正弦定理得,
即的周长
,
因为,所以,
即周长的取值范围是.
选择②,因为,
由正弦定理得
即的周长
,
因为,所以,所以,
即周长的取值范围是(6,+∞).
选择③.
因为,得,
由余弦定理得,
即的周长,
因为,当且仅当时等号成立,
所以.
即周长的取值范围是.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式的应用,熟练掌握公式,边角互化化繁为简,考查分析问题的能力,属中档题.
19. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容,用曲率刻画空间的弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差,其中多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制.例如:正四面体每个顶点均有3个面角,每个面角均为,故其各个顶点的曲率均为.如图,在直三棱柱中,点A的曲率为,N,M分别为AB,的中点,且.
(1)证明:平面.
(2)证明:平面平面.
(3)若,求二面角的正切值.
【答案】(1)证明见解析;
(2)证明见解析; (3).
【解析】
【分析】(1)由题意可得,根据线面垂直的性质可得,结合线面垂直的判定定理即可证明;
(2)如图,易证,由(1)得平面,结合面面垂直的判定定理即可证明;
(3)如图,根据线面垂直的判定定理可得平面,则,易证,则∠AHF为二面角的平面角的补角.结合等面积法求得FH,即可求解.
【小问1详解】
在直三棱柱中,平面ABC,平面ABC,
则,,所以点A的曲率为,
所以.因为,所以△ABC为正三角形.
因为N为AB中点,所以.
又平面ABC,平面ABC,所以,
因为,平面,所以平面.
【小问2详解】
取的中点D,连接DM,DN.
因为N为AB的中点,所以且.
又且,所以且,
所以四边形CNDM为平行四边形,则.
由(1)知平面,则平面.
又平面,所以平面平面.
【小问3详解】
取BC的中点F,连接AF,则.
因为平面ABC,平面ABC,所以,
因为,平面,所以平面.
又平面,所以,过F作的垂线,垂足为H,连接AH,
则,又平面,所以平面,
又平面,,
所以∠AHF为二面角的平面角的补角.
设,,则,,.
由等面积法可得,则,
则,故二面角的正切值为.
【点睛】方法点睛:学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后,运用学过的知识,结合已掌握的技能,通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上,创造性地证明更新的性质,落脚点仍然是线面、面面垂直的判定定理与性质和求二面
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