黑龙江省富锦市某校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

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【解析】因为全集,所以,
根据元素与集合的关系可知,ABD错误,C正确.
故选:C.
2．C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论．
【详解】命题，，为全称量词命题，
则该命题的否定为：，.
故选：C．
3．D
【分析】根据不等性质分别判断各选项.
【详解】A选项：当时，，A选项错误；
B选项：当，时，成立，，B选项错误；
C选项：，，，所以，C选项错误；
D选项：，则，又，所以，D选项正确；
故选：D.
4．A
【分析】利用幂函数的性质结合充分、必要条件的定义判定即可.
【详解】当是正偶数时，显然，即其值域为．
当时，的值域为，但不是正偶数．
故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件．
故选：A
5．C
【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出函数的性质，进而求出.
【详解】由是定义在上的奇函数，得，
即，令，则，而，
所以.
故选：C
6.C
【解析】至少存在一组使得成立,即,
又由两个正实数满足,可得
,
当且仅当,即时,等号成立,,
故有,解得,故,所以实数的取值范围是
故选:C.
7．D
【分析】先根据奇函数性质确认函数零点，再根据已知单调性可以求出函数在各个区间符号，由不等式性质可得解.
【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，且
又因，所以，
又因在为增函数，在上，
在上，
又因在为减函数，所以上，
综上，当时，，当时，
当时，则，所以，则，
当时，则，所以，则，
不等式可化简变形为，
综上所述可知当时，.
故选：D
8．C
【分析】根据“函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】由题意可知的定义域为，
又因为函数是“函数”，故其值域为；
而，则值域为；
当时，，
当时，，此时函数在上单调递增，则，
故由函数是“函数”可得，
解得，即实数的取值范围是，
故选：C
9.A,C,D
【解析】对于A,因为的定义域为,所以,
解得,即的定义域为,故A正确;
对于B,定义域为,定义域为,不是同一函数,故B不正确;
对于C,令,则,,
所以,,
所以当时,该函数取得最大值,最大值为,
所以函数的值域为,故C正确;
对于D,,
化简得
两式相加得,解得
,故D正确.
故选:ACD.
10.A,C,D
【解析】原不等式等价于,因为其解集为,所以且
,,故A正确;
因为,则点在第一象限,故B错误;
由可得,,当且仅当时,即时,等号成立,所以的最小值为2,故C正确;
由可得,不等式即为,化简可得
,则其解集为,故D正确;
故选:ACD
11.A,B
【解析】由图,方程,,此时对应个解,故;
方程,得或者,此时有个解,故;
方程,取到个值,如图所示:
即或或或,则对应的的解,有个,故.
根据选项,可得成立.
故选:AB.
12.
【解析】令,解得或,
所以函数的定义域为.故答案为:.
13.
【解析】由,解得;
由,即,解得或;
又“”是“”的充分不必要条件,
故可得,解得.
故答案为:.
14.15
【解析】由题意,集合的子集中,1、7,2、6,3、5,4一定成组出现,
当集合的子集中只有1个元素时,即为,共1个;
当集合的子集中有2个元素时,即为,,,共3个;
当集合的子集中有3个元素时,即为,,,共3个;
当集合的子集中有4个元素时,即为,,,共3个;
当集合的子集中有5个元素时,即为,,,共3个;
当集合的子集中有6个元素时,即为,共1个.
当集合的子集中有7个元素时,即为,共1个.
则集合所有子集中,是“8和集合”的集合有15个.故答案为:15.
15.见解析
【解析】(1)因为,
所以解不等式可得:,故集合
(2)由(1)可知:,又,
所以,所以或.
或,或.
16【答案】(1)
(2)或
【解析】(1)由题意,方程在上有解,
令,只需在值域内,
当时,,当时,,
所以值域为,
的取值集合为;
(2)由题意,,显然不为空集.
①当,即时,,
, ;
②当,即时,,不合题意舍去;
③当,即时,.
, ;
综上可得或.
17.【答案】见解析
【解析】(1)由题意可知,总收入扣除支出后的纯收入,
,解得,
由,所以从第三年开始盈利.
(2)方案①:
纯收入,则5年后盈利总额达到最大值9万元,
以1万元的价格卖出该设备,共盈利10万元;
方案②:
年均盈利,
由,,当且仅当,即时等号成立,
,
当4年后年均盈利达到最大值2万元时,以2万元的价格卖出该设备,
共盈利万元.
两种方案盈利总数一样,但方案②时间短,较为划算.
18.．(1)
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可；
（2）利用单调性的定义证明即可；
（3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解.
【详解】（1），，
，解得，
.
（2）在0,1上单调递减，证明如下：
任取，且，
则，
，且，
，，
∴，
，即，
所以函数在0,1上单调递减.
（3）由对任意恒成立得，
由（2）知在0,1上单调递减，
函数在上的最大值为，
，
所求实数的取值范围为.
19．(1)偶函数，理由见解析
(2)
【分析】（1）先分析得到，然后根据得到的关系，由此完成证明；
（2）根据题设条件将问题转化为“时，”，然后构造并进行分类讨论，由此求解出结果；
【详解】（1）因为，所以对有，
令，且，
因为，
所以，
所以，
所以，且定义域为关于原点对称，
所以是偶函数；
（2）当时，对称轴x=−1a