四川省自贡市蜀光中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 图中的直线的斜率分别为，则有（）
A. B.
C. D.
2. 从24名数学教师，16名物理教师，8名化学教师中，用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，则抽取数学教师的人数是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
3. 若直线与直线互相垂直，则实数的值是（）
A 1B. －1C. 4D. －4
4. 如图，在边长为1的正方体中，若点是侧面的中心，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则（）
A. B. C. D.
5. 某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入，小军、小明从不同大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是（）
A. B. C. D.
6. 设A为圆上的动点，是圆的切线且，则P点的轨迹方程是（）
A. B.
C. D.
7. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为底面的中心，为的中点，且，则点到直线的距离为（）
A. B. C. D.
8. .已知点为直线上动点，过P点作圆的切线，，切点为，则周长的最小值为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题错误的是（）
A. 若，则B. 若，则n平行于内的无数条直线
C. 若，则D. 若，则
10. 已知点，若圆上存在点M满足，则实数的值为（）
A. B. C. 2D. 0
11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（）
A. 当时，平面
B. 任意，三棱锥的体积是定值
C. 存在，使得与平面所成的角为
D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为
三、填空题:本题共小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，分别是直线方向向量，若，则___________．
13. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______．
14. 已知，则的最小值为______
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.
（1）试用表示向量；
（2）求BM的长.
16. 在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.

（1）求直线方程；
（2）求直线的方程及点的坐标.
17. 某地区工会利用“健步行APP”开展健步走活动.为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中抽取了100名会员，统计了当天他们的步数（千步为单位），并将样本数据分为，，，…，，九组，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计样本数据的70%分位数；
（2）据统计，在样本数据，，的会员中体检为“健康”的比例分别为，，，以频率作为概率，估计在该地区工会会员中任取一人，体检为“健康”的概率.
18. 已知圆．
（1）求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）若点是圆上两点，
①若共线，求的面积最大值及此时直线的方程；
②若直线斜率存在，且直线与斜率互为相反数，证明：直线经过定点．
19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D.

（1）求证：平面；
（2）若点F为棱的中点，求三棱锥的体积；
（3）在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由.