重庆市第八中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份重庆市第八中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷（Word版附解析），文件包含重庆市第八中学2024-2025学年高三上学期高考适应性月考卷二10月数学试题Word版含解析docx、重庆市第八中学2024-2025学年高三上学期高考适应性月考卷二10月数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
注意事项:
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题（本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1. 设是非零向量，则“”是“共线”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及共线向量的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由，得，整理得，
而向量均为非零向量，则反向共线且，有；
反之，若，可能同向共线，也可能反向共线，即，
所以“”是“共线”的充分而不必要条件.
故选：A
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意先求，进而用复数的除法运算即可求解.
【详解】由得，
则.
故选：C.
3. 已知函数的定义域为R且导函数为f′x，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的增区间是
B. 函数的减区间是
C. 是函数的极大值点
D. 是函数的极大值点
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值.
【详解】根据的图象可得：
当时，，时，，时，，时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因此函数在处取得极小值，在处取得极大值.
故选：C.
4. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两角和差的正弦公式，化简求的值，再根据二倍角的余弦公式，并用正切表示，即可求解.
【详解】由条件可知，，
即，得，
所以.
故选：D
5. 设等差数列an的前项和为，已知，则（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】结合等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出结果.
【详解】设设等差数列的公差为，因为，，
所以，所以，解得.
故选：B.
6. 已知函数.将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象平移求出，分析的单调性和值域，画出的图象数形结合求解.
【详解】由函数ℎx向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，
所以，
当时，ℎx即单调递增，又，则，
又时，单调递增，又，则，
作出的图象如图，
由，，
则，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
7. 如果数列对任意的，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，则正整数的最大值为（ ）
A. 62B. 63C. 64D. 65
【答案】C
【解析】
【分析】根据“速增数列”的定义，结合累加法建立不等式并求解即得.
【详解】由数列为“速增数列”，，，且.
得对，，，
则，，，，
相加得，，
于是，即，
而，，数列单调递增，
所以的最大值为64.
故选：C
8. 已知，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当时，不等式恒成立，设，，利用导数研究的零点，并由两个函数有相同零点结合韦达定理，经变形构造出函数，再利用导数求出最小值.
【详解】当时，原不等式化为恒成立，
令，，求导得，
由得，；由得，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而，当时，，当时，，
则函数在上有两个零点，记为，
显然当或时，，当时，
要使恒成立，则也是的两个零点，
于是，由，得，即，因此，
令，求导得，由，得，由得，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以的最小值为.
故选：A
【点睛】关键点点睛：将原不等式恒成立转化为函数，在上有相同的零点是求解的关键.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知点与点关于点对称.若，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则这组数满足（ ）
A. 平均数为B. 中位数为
C. 方差为D. 极差为
【答案】AD
【解析】
分析】首先由条件确定，，再结合平均数，中位数，方差，极差公式，即可求解.
【详解】由条件可知，，，，
A.由题意可知，数据的平均数为，所以数据的平均数为，故A正确；
B.设数据按从小到大排列，中位数为，则数据按从小到大排列为，中位数为，故B错误；
C.由，且数据的方差为，所以数据的方差为，故C错误；
D.由B可知，数据的极差为，故D正确.
故选：AD
10. 若是平面内两条相交成角的数轴，和是轴、轴正方向上的单位向量，若向量，则规定有序数对为向量在坐标系中的坐标，记作，设，则（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若构成锐角三角形，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用向量坐标的定义逐项运算求解可判断其正误.
【详解】由，得，
所以，故A错误；
由，所以，，
所以，
所以，故B正确；
由，可得，，
所以，又，，
所以，所以，
由平面向量基本定理可得，解得，故C正确；
由题意可得，，，
因为构成锐角三角形，则为锐角，
则可得，解得，
所以与显然不共线，
若为锐角，则，
解得，若与共线，则可得，所以且，
若为锐角，则，
解得或，可得与不共线，则可得，所以或，
综上所述：构成锐角三角形，则，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ）
A. 的取值范围是
B. 若的图象关于点对称，则在上单调递增
C. 在上的最小值不可能为
D. 若的图象关于直线对称，函数是常数，有奇数个零点，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意可得，求得即可判断A；利用三角函数的对称中心，结合求出，即可判断B；由和，结合三角函数的单调性即可判断C，由题意可得，函数与的图象在共9个交点，计算可判断D.
.
【详解】对于A：因为的图象在上有且仅有两条对称轴，
因为，所以，所以，
所以，故A错误；
对于B：因为的图象关于点对称，则，
即，因为，所以，
当时，，则上单调递增，故B正确；
对于C：当时，，因为，
所以，所以在上的最小值小于，故C正确．
对于D：因为的图象关于直线对称，则，
即，又，所以，所以，
令函数的根即为函数与的交点的横坐标，
作出图象如图所示，因为，，
要使有奇数个零点，则，
由，得，
函数与的图象在共9个交点，
所以，
所以，故D正确
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：求解正弦函数的对称轴、对称中心和值域的问题时，常利用整体代换法和验证法将问题转化到我们熟悉的正弦函数上，利用正弦函数的图象与性质解答，数形结合一种常用方法.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知双曲线的虚轴长为2，则双曲线的渐近线方程是_____.
【答案】
【解析】
【分析】首先求，再求双曲线的渐近线方程.
【详解】由条件可知，，所以双曲线的渐近线方程为.
故答案：
13. 设等比数列的前项和为.令，若也是等比数列，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】首先求，再求，根据等比数列的性质，，求得的值，再验证等比数列的定义，即可求解.
【详解】若，则，，则是等差数列，不是等比数列，所以，
则，所以，且，
，，
，
因为数列是等比数列，所以，
即，，
当时，，，数列是等比数列.
所以.
故答案为：
14. 曲率在数学上是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值.对于半径为的圆，定义其曲率，同样的，对于一般曲线在某点处的曲率，我们可通过该点处的密切圆半径计算.其中对于曲线在点处的密切圆半径计算公式为，其中表示的导数，表示的导数.已知曲线，则曲线在点处的曲率为_____；C上任一点处曲率的最大值为_____.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】首先求处的，再代入曲率公式，即可求解；代入公式，利用导数求函数的最小值，即可求解曲率的最大值.
【详解】，，，，
,所以曲线在点处的曲率为；
上任一点处的，，
，
得（舍）或，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，此时曲率取得最大值，最大值为.
故答案为：；
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 的内角的对边分别为、已知.
（1）求角；
（2）若平分交于点，求的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先由正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式及特殊角的函数值，即可求解；
（2）根据余弦定理求，面积公式表示，即可求解.
【小问1详解】
由正弦定理可知，，
即，则，
，
，且，
所以，，所以；
【小问2详解】
由余弦定理可知，，
即，解得：或（舍），
由，
可知，，
所以.
16. 已知正项数列的前项和为、且.
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列的前项和为，且，证明:.
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
当时，，又，解得，
当时，由，可得，
两式相减可得，
所以，又数列是正项数列，
所以，所以奇数项是以为首项，6为公差的等差数列，
所以，
由，可得偶数项是以为首项，6为公差的等差数列，
所以，
所以；
【小问2详解】
由（1）可得，
所以
.
17. 在平面直角坐标系中，已知动点到直线的距离与点到点的距离的比是
（1）求动点P的轨迹方程E；
（2）若轨迹E与x轴的交点分别为.过点的直线分别与轨迹相交于点M和点N，求四边形AMBN面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据轨迹法，结合条件，即可求解；
（2）根据坐标写出直线和的直线方程，并求出点的坐标，即可表示四边形的面积，并根据换元法和基本不等式求面积的最大值.
【小问1详解】
由题意可知，，
整理为，
所以动点的轨迹方程；
【小问2详解】
如图，设A−2,0，，，
则直线，，
联立，得，
则，得，
联立，得，
则，得，，
所以四边形的面积
,
设，
则，函数在区间单调递增，
当时，取得最小值，此时面积取得最大值，最大值为.
所以四边形面积的最大值为.
18. 某企业生产的产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表:
为了解该产品的经济效益，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件.将其质量指标值的数据作为样本，绘制如图的频率分布直方图:
（1）若样本数据中质量指标值的中位数和平均值分别为87.5和87，求的值;
（2）若每件产品的质量指标值与利润（单位:万元）的关系如下表:
以频率作为概率，期望作为决策依据，若，对任意的，生产该产品一定能盈利，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用中位数、平均数的意义列式求解.
（2）以频率作为概率，求出利润的期望，由“，恒成立”构造函数，利用导数求出的范围.
【小问1详解】
由中位数为87.5，得，则，
由平均值为87，得，
则，联立解得，
所以.
【小问2详解】
以频率作为概率，每件产品的质量指标值与利润（单位:万元）及对应概率关系为：
依题意，，即，
每件产品的利润，，
由对任意的，生产该产品一定能盈利，得，恒成立，
此时，令，，
求导得，令，，
求导得，而，，
当，即时，，函数在上单调递增，
，函数在上单调递增，，符合题意；
当时，则存在，使得，
由在上单调递增，得当时，，函数在上单调递减，
，，函数在上单调递减，，不符合题意，
由，及，得，因此，
所以的取值范围是.
19. 已知函数在上有两个极值点.
（1）求的取值范围;
（2）求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将问题转化为与在1,+∞上有两个不同交点，利用导数可作出的图象，采用数形结合的方式可求得结果；
（2）由可求得的范围，根据极值点偏移的基本思想，构造函数、，通过导数可证得，，进而证得结论.
【小问1详解】
，令得：，
令，
在1,+∞有两个极值点，与在1,+∞上有两个不同交点；
，令，则在1,+∞上恒成立，
在1,+∞上单调递增，又，
当时，；当x∈2,+∞时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，，当时，，
大致图象如下图所示，
结合图象可知：当时，与在1,+∞上有两个不同交点，
，即的取值范围为.
【小问2详解】
令，解得：或，；
①先证：；
要证，只需证，
，，又，在上单调递增，
只需证，又，即证，
令，则，
令，
则，
令，则，
上单调递增，，
在上单调递减，在上单调递减，
，，
在上单调递减，，，
在上单调递增，，
又，，即，则得证；
②再证：
若，则由知：；
若，只需证，
又，在上单调递增，只需证，
，只需证，
令，则，
令，则，
令，则，
当时，，在上单调递增，
，，
，使得，且当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
又，，
，使得，且当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
又，，
当时，，，
即，则得证；
综上所述：.
【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点个数求解参数范围、极值点偏移的问题；处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得Fx恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
质量指标值
质量指标等级
废品
合格
废品
质量指标值
利润（万元）
质量指标值
利润（万元）
0.05
0.1
5a
5b
0.3