山西省忻州市五台县第二中学校2024-2025学年九年级上学期期中学情评估数学试题

这是一份山西省忻州市五台县第二中学校2024-2025学年九年级上学期期中学情评估数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(共10题，共30.0分)
1．(3分)一元二次方程5x2-2x+5=0的一次项系数是（ ）
A. 5 B. -2 C. 6 D. 2
2．(3分)把图中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A. 30° B. 60° C. 90° D. 150°
3．(3分)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
4．(3分)《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长为x尺，绳子长为y尺，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
5．(3分)秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（ ）
A. 1+x=121 B. （1+x2）=121
C. 1+x+x2=121 D. 1+x+x（1+x）=121
6．(3分)小明去买2元一支和3元一支的两种圆珠笔（每种圆珠笔至少买一支），恰好花掉20元，则购买方案有（ ）
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
7．(3分)已知二次函数y=a（x-h）2+k（其中a,h,k是实数，a≠0），当x=1时，y=8；当x=8时，y=1，（ ）
A. 若h=4，则a＞0 B. 若h=5，则a＜0
C. 若h=6，则a＞0 D. 若h=7，则a＜0
8．(3分)若关于x的一元二次方程x2-x-m=0的一个根是x=3，则m的值是（ ）
A. -6 B. -3 C. 3 D. 6
9．(3分)对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c=0，则方程必有一根为x=1；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0无实根；
③若方程ax2+bx+c=0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a=0（c≠0），必有实根，；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则．
其中正确的（ ）
A. ①② B. ①④ C. ②③④ D. ①③④
10．(3分)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h=20时，t=1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②③
二、填空题(共5题，共15.0分)
11．(3分)如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为，∠C=120°，则EF=_____cm.
12．(3分)如图，将△ABD绕顶点B顺时针旋转30°得到△CBE，点C刚好落在边AD上，若∠CBD=28°，则∠E=_____°．
13．(3分)第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以为 _____度．（写出一个即可）
14．(3分)已知二次函数y=-x2+2x+m的图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的根为 _____；不等式-x2+2x+m＞0的解集是 _____；当x _____时，y随x的增大而减小．
15．(3分)如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（0，3），点P（-1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2022次，点P的坐标变为 _____．
三、解答题(共8题，共75.0分)
16．(9分)在关于x、y的二元一次方程y=kx+b中，当x=2时，y=3；当x=-1时，y=9．
（1）求k、b的值；
（2）当x=5时，求y的值．
17．(10分)已知抛物线y=ax2经过点（1，3）．
（1）求a的值；
（2）当x=3时，求y的值；
（3）说出此二次函数的三条性质．
18．(10分)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到，请画出﹔
（2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到，请画出．
19．(10分)如图1，线段CD是由线段AB平移得到的．分别连接BD，AC．直线BE⊥AC于点E，延长DC与BE相交于点F．点P是射线FD上的一个动点，点P不与点F、点C、点D重合．连接BP，EP．
​
（1）线段AC，BD的关系是 _____；
（2）如图1，当点P在线段FC上运动时，∠DBP，∠CEP，∠BPE之间的数量关系是 _____；
（3）如图2，当点P在线段CD上运动时，∠DBP，∠CEP，∠BPE之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由；
（4）如图3，当点P在点D上方运动时，请直接写出∠DBP，∠CEP，∠BPE之间的数量关系：_____．
20．(9分)对于抛物线y=x2-4x-6．
（1）将抛物线的解析式化为顶点式．
（2）完善下列表格中的数据，在坐标系中利用五点法画出此抛物线．
（3）结合图象，当-2＜x＜3时，y的取值范围 _____．
（4）结合图象及所学习的知识，估算x2-4x-6=0的两个根为 _____（精确到0.1，误差不超过0.2）．
21．(9分)解方程组．
22．(9分)在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a,得到的解为，乙看错了方程组中的b,得到的解为．
（1）求正确的a,b的值；
（2）求原方程组的解．
23．(9分)如图，直线y=-x+4与抛物线y=-x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限的抛物线上存在一点P，使得△PBO的面积是△ABO面积的两倍，求P点的坐标以及△ABP的面积．
试卷答案
1．【答案】B
【解析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a,b,c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
解：一元二次方程5x2-2x+5=0的一次项系数是-2．
故选：B．
2．【答案】B
【解析】根据图形的对称性，用360°除以6计算即可得解．
解：∵360°÷6=60°，
∴旋转的角度是60°的整数倍，
∴旋转的角度至少是60°．
故选：B．
3．【答案】C
【解析】根据轴对称图形定义及“将图形绕着某一点旋转180°与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可．
解：A．图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B．图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C．图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D．图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
4．【答案】B
【解析】设木长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可列出关于x,y的二元一次方程组，此题得解．
解：设木长为x尺，绳子长为y尺，
∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x+4.5=y；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴x-1=y.
联立两方程组成方程组．
故选：B．
5．【答案】D
【解析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，结合“有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染．
根据题意得：1+x+x（1+x）=121．
故选：D．
6．【答案】A
【解析】根据题意列出二元一次方程，再结合实际情况求得正整数解．
解：设买x支2元一支的圆珠笔，y支3元一支的圆珠笔，
根据题意得：2x+3y=20，且x,y为正整数，
符合条件的整数解有：，，，
故共有3种购买方案，
故选：A．
7．【答案】C
【解析】当x=1时，y=8；当x=8时，y=1；代入函数式整理得a（9-2h）=-1，将h的值分别代入即可得出结果．
解：当x=1时，y=8；当x=8时，y=1；代入函数式得：，
∴a（8-h）2-a（1-h）2=-7，
整理得：a（9-2h）=-1，
若h=4，则a=-1，故A错误；
若h=5，则a=1，故B错误；
若h=6，则a=，故C正确；
若h=7，则a=，故D错误；
故选：C．
8．【答案】D
【解析】根据题意可得：把x=3代入方程x2-x-m=0中得：32-3-m=0，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：把x=3代入方程x2-x-m=0中得：
32-3-m=0，
解得：m=6，
故选：D．
9．【答案】D
【解析】①由a+b+c=0，可得出x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的解；
②由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，可得出Δ=-4ac＞0，结合偶次方的非负性，可得出Δ=b2-4ac＞0，进而可得出方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根；
③由根与系数的关系，可得x1+x2=-，x1x2=，变形得出-==+，==•，即可得出方程cx2+bx+a=0（c≠0），必有实根，；
④利用求根公式，可得出x0=，变形后即可得出b2-4ac=（2ax0+b）2．
解：①∵a+b+c=0，
∴当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，
∴x=1为方程ax2+bx+c=0的一根，故说法①正确；
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴-4ac＞0，
∴b2-4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根，故说法②错误；
③∵若方程ax2+bx+c=0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∴-==+，==•，
∴方程cx2+bx+a=0（c≠0），必有实根，，故说法③正确；
④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=，
∴±=2ax0+b,
∴b2-4ac=（2ax0+b）2，故说法④正确．
∴正确的结论有①③④．
故选：D．
10．【答案】A
【解析】由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h=a（t-3）2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可．
解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），
设函数解析式为h=a（t-3）2+40，
将（0，0）代入得：0=a（0-3）2+40，
解得：a=-，
∴h=-（t-3）2+40．
①∵顶点为（3，40），
∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2=80m,故②正确；
③令h=20，则20=-（t-3）2+40，
解得t=3±，故③错误；
④令t=2，则h=-（2-3）2+40=m,故④错误．
综上，正确的有①②．
故选：A．
11．【答案】3
【解析】连接AC，BD，AC交EF于点M，利用轴对称图形和菱形对角线互相垂直平分的性质可知EF∥BD，再由平行线分线段成比例可得F是AD中点，E是AB中点，于是EF是△ABD的中位线，因此，在Rt△AOD中利用勾股定理求得OD即可．
解：如图，连接AC，BD，AC交EF于点M，
∵折叠，
∴EF垂直平分AO，
∵菱形的对角线互相垂直平分，对角相等，
∴BD⊥AO，∠BAD=∠C=120°，
∴EF∥BD，
∵M是AO中点，EF∥BD，
∴，
∴F是AD中点，E是AB中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴，
∵菱形的每一条对角线平分一组对角，∠BAD=120°，
∴∠OAD=60°，
Rt△AOD中，∠ADO=30°，，
∴，，
∴EF=3cm.
故答案为：3．
12．【答案】47
【解析】由旋转的性质可得AB=BC，∠ABC=30°，∠D=∠E，由等腰三角形的性质可求∠BAC=∠BCA=75°，由外角的性质可求解．
解：∵将△ABD绕顶点B顺时针旋转30°得到△CBE，
∴AB=BC，∠ABC=30°，∠D=∠E，
∴∠BAC=∠BCA=75°，
∵∠ACB=∠D+∠DBC，
∴∠D=75°-28°=47°=∠E，
故答案为：47．
13．【答案】60（答案不唯一）．
【解析】先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．
解：360°÷6=60°，
则这个图案绕着它的中心旋转60°后能够与它本身重合，
故答案为：60（答案不唯一）．
14．【答案】(1)x=-1或x=3;(2)-1＜x＜3;(3)＞1;
【解析】根据二次函数y=-x2+2x+m的图象可以得到其对称轴和与x轴一个交点，由此可以得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后就可得m的值，那么解方程就能求得一元二次方程的解，可得到函数与x轴的交点，那么x轴上方的函数图象所对应的x的取值即为不等式-x2+2x+m＞0的解集，对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
解：∵对称轴为x=1，一个根为3，
∴=1，
∴x=-1，
∴-x2+2x+m=0的根为x1=-1，x2=3，
∴不等式-x2+2x+m＞0的解集是-1＜x＜3，
当x＞1时，y随x的而减小．
15．【答案】（6064，1）
【解析】首先求出P1～P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．
解：第一次P1（2，1），
第二次P2（4，1），
第三次P3（7，2），
第四次P4（11，2），
第五次P5（14，1），
…
发现点P的位置4次一个循环，
∵2022÷4=505余2，
P2022的纵坐标与P2相同为1，横坐标为4+12×505=6064，
∴P2022（6064，1），
故答案为：（6064，1）．
16．【解析】（1）把已知x、y的对应值代入二元一次方程y=kx+b中，求出k、b的值即可；
（2）根据（1）中k、b的值得出关于x、y的二元一次方程，把x=5代入该方程求出y的值．
解：（1）由题意，得，
解得 ；

（2）把代入y=kx+b,得y=-2x+7．
当x=5时，y=-2×5+7=-10+7=-3．
17．【解析】（1）将已知点的坐标代入解析式即可求得a值；
（2）把x=3代入求得的函数解析式即可求得y值；
（3）增减性、最值等方面写出有关性质即可．
解：（1）∵抛物线y=ax2经过点（1，3），
∴a×1=3
∴a=3；
（2）把x=3代入抛物线y=3x2得：y=3×32=27；
（3）抛物线的开口向上；
坐标原点是抛物线的顶点；
当x＞0时，y随着x的增大而增大；
抛物线的图象有最低点，当x=0时，y有最小值，是y=0等．
18．【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】（1）根据平移方式确定出点A1，B1，C1的位置，再顺次连接即可得到；
（2）根据旋转可得出确定出点A2，B2，C2的位置，再顺次连接即可得到．
【小问1详解】
如图，即为所作；
【小问2详解】
如图，即为所作；
【点睛】本题考查作图-旋转变换与平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．【答案】(1)AC=BD，AC∥BD;(2)∠DBP=∠CEP+∠BPE;(3)∠CEP=∠DBP+∠BPE;
【解析】（1）由平移的性质可得AB=CD，AB∥CD，由“对边平行且相等的四边形为平行四边形”可得四边形ABCD为平行四边形，进而可得线段AC，BD的关系；
（2）由平行线的性质可得∠DBP=∠CGP，由三角形外角性质可得∠CGP=∠CEP+∠BPE，进而可得∠DBP，∠CEP，∠BPE之间的数量关系；
（3）过点P作PH∥BD交AB于点H，易得AC∥HP∥BD，由平行线的性质可得∠DBP=∠BPH，∠CEP=∠EPH，由∠BPE=∠BPH+∠EPH得到∠BPE=∠DBP+∠CEP，以此即可求解；
（4）由平行线的性质可得∠CEP=∠DMP，由三角形外角性质可得∠DMP=∠DBP+∠BPE，进而得到∠DBP，∠CEP，∠BPE之间的数量关系．
解：（1）∵线段CD是由线段AB平移得到的，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AC=BD，AC∥BD；
故答案为：AC=BD，AC∥BD；
（2）如图，设AC与BP交于点G，
∵AC∥BD，
∴∠DBP=∠CGP，
∵∠CGP=∠CEP+∠BPE，
∴∠DBP=∠CEP+∠BPE；
故答案为：∠DBP=∠CEP+∠BPE；
（3）当点P在线段CD上运动时，∠DBP，∠CEP，∠BPE之间的数量关系不会发生变化，理由如下：
如图，过点P作PH∥BD交AB于点H，
∵AC∥BD，
∴AC∥HP∥BD，
∴∠DBP=∠BPH，∠CEP=∠EPH，
∵∠BPE=∠BPH+∠EPH，
∴∠BPE=∠DBP+∠CEP；
（4）如图，设PE交BD于点M，
∵AC∥BD，
∴∠CEP=∠DMP，
∵∠DMP=∠DBP+∠BPE，
∴∠CEP=∠DBP+∠BPE．
故答案为：∠CEP=∠DBP+∠BPE．
20．【答案】(1)-10≤y＜6;(2)x=-1.2或5.2;
【解析】（1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）利用列表、描点、连线的方法画出图形即可；
（3）根据函数图象回答即可；
（4）根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．
解：（1）y=x2-4x-6=（x2-4x+4）-4-6=（x-2）2-10．
∴抛物线的顶点式为：y=（x-2）2-10．
（2）列表：
函数图象如图所示：
；
（3）根据函数图象可知：当-2＜x＜3时，y的取值范围-10≤y＜6．
故答案为：-10≤y＜6．
（4）由图象可知方程有两个根，一个在-2和-1之间，另一个在5和6之间．
当x=-1.1时，y=-0.39；当x=-1.2时，y=0.24；
因此，x=-1.2是方程的一个近似根，
同理，x=5.2是方程的另一个近似根．
故一元二次方程x2-4x-6的近似根为x=-1.2或5.2．
故答案为：x=-1.2或5.2．
21．【解析】本题只有y的系数有倍数关系，可考虑消去y.
解：，
由①×3得：6x-3y=15③，
由②-③得：x=5，
把x=5代入①×3得：y=5，
所以原方程组的解为．
22．【解析】（1）把甲的结果代入第二个方程求出b的值，把乙的结果代入第一个方程求出a的值即可；
（2）将a与b的值代入方程组，求出解即可．
解：（1）由题意得：，
解得：；
（2）把代入方程组得：，
解得：．
23．【解析】（1）由直线表达式求出点A、B的坐标，把A、B点坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）设P点坐标为（x,-x2+x+4），根据三角形面积公式列方程求得P点坐标，然后求出直线PB的解析式及它与y轴的交点，最后再求△ABP的面积，
解：（1）在直线y=-x+4中，
当x=0时，y=4，
当y=0时，x=4，
∴A（0，4），B（4，0），
将A（0，4），B（4，0）代入y=-x2+bx+c中，
可得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+4；
（2）设P点坐标为（x,-x2+x+4），
∵△PBO的面积是△ABO面积的两倍，
∴×4×丨-x2+x+4丨=2××4×4，
解得：x1=6，x2=-4，
又∵点P位于第三象限，
∴x=6舍去，
当x=-4时，y=-x2+x+4=-8，
∴P点坐标为（-4，-8），
设直线PB的解析式为y=kx+b1，将P（-4，-8），B（4，0）代入，
可得，
解得：，
∴直线PB的解析式为y=x-4，
在y=x-4中，当x=0时，y=-4，
∴直线PB与y轴交于点（0，-4），
如图，过点P作PM⊥y轴，连接PB交y轴于点N，连接AP，
∴△ABP的面积=AN•（PM+OB）=×8×8=32．
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得分
. .
评卷人
得分
. .
评卷人
得分
. .
x
…
0
2
6
…
y
…
…
x
…
-2
0
2
4
6
…
y
…
6
-6
-10
-6
6
…