九年级上学期期中数学试题（人教版） (9)

这是一份九年级上学期期中数学试题（人教版） (9)，共27页。
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查中心对称和轴对称的知识，熟练掌握中心对称和轴对称的知识是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称，中心对称图形是图形绕某一点旋转后与原来的图形重合．
【详解】解：A、选项中的图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
B、选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
C、选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D、选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
2. 在下列函数关系式中，二次函数的是（ ）
A. B. y＝x+2
C. y＝x+1D. y＝（x+3）﹣x
【答案】C
【解析】
【分析】分别利用反比例函数、一次函数、二次函数的定义分析得出答案．
【详解】A、y＝，是反比例函数，故此选项不符合题意；
B、y＝x+2，是一次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝x2+1，是二次函数，故此选项符合题意；
D、y＝（x+3）2﹣x2＝6x+9，是一次函数，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
3. 若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则a＋c的值为（ ）
A. 8B. 9C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先配方得，根据题意得，进行计算算出a，c的值，即可得．
【详解】解：
，
，
∵配方后得到方程，
∴
解得，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法，代数式求值，解题的关键是掌握配方法，正确计算．
4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是直线
C. 与轴交点为D. 顶点坐标是
【答案】D
【解析】
【分析】二次函数，时，开口向上；顶点坐标为，对称轴为；将点坐标代入解析式，验证是否经过该点；
【详解】解：，
，开口向上，对称轴为，顶点坐标是，
当时，；
故选：D
【点睛】本题考查二次函数的解析式顶点式；掌握二次函数的性质是解题的关键．
5. 如图，△ABC与关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A. B.
C. 点B的对称点是D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵△ABC与关于O成中心对称，
∴，，点B的对称点，
故A，C，D正确，不符合题意．
∵和不是对应角，
∴不一定相等，故B错误，符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查中心对称．掌握中心对称的性质是解题关键．
6. 设是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象及性质．根据题意可知二次函数对称轴是，根据对称性将点转化到对称轴右侧即与所对的值相等，再利用函数的增减性即可得到本题答案．
【详解】解：∵是抛物线上的三点，
∴二次函数对称轴是，
∵根据对称性将点转化到对称轴右侧即与所对的值相等，
又∵，
∴时，随增大而减小，
∵，
∴，
故选：C．
7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A. 且B. 且a≠10C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程定义，根的判别式．根据题意可知若方程是一元二次方程则二次项系数，再根据有两个不相等的实数根，则列式得到a的取值范围，继而得到本题答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，，
∴，即：，
∴且，
故选：C．
8. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且BD＝CD，BE与CD相交于F，下列结论中：
①DF＝DA；②∠A＋∠DFE＝180°；③BF＝AC；④若BE平分∠ABC，则CE＝BF．

正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】由“角角边”证明△BDF≌△CDA，其性质得DF＝DA，BF＝AC，判断结论①③；垂直的定义和四边形的内角和等于360°求出∠A＋∠DFE＝180°，判断结论②；不等边三角的定义，角平分线概念，线段等量代换综合证明CE＝BF，判断结论④．
【详解】∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠CDA＝90°，∠BEA＝90°．
又∵∠ABE＋∠A＋∠BEA＝180°，∠ACD＋∠A＋∠CDA＝180°，
∴∠DBF＝∠ACD，
在△BDF和△CDA中，
∵
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴DF＝DA，BF＝AC，
∴结论①③正确．
∵∠FDA＋∠A＋∠AEF＋∠EFD＝360°，∠FDA＝∠AEF＝90°，
∴∠A＋∠DFE＝180°，
∴结论②正确．
∵CD⊥AB，BD＝CD，
∴∠ABC＝45°．
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝22.5°．
又∵∠BEA＝90°，∴∠A＝67.5°．
又∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝67.5°，
∴△ABC是等腰三角形，
∴CE＝AC．
又∵BF＝AC，
∴CE＝BF，
∴结论④正确．
综上所述，正确的结论为①②③④．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质．
9. 如图，正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴负半轴上，顶点C在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，若，那么经过第609次旋转后，顶点E的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，连接，根据勾股定理得到，根据直角三角形的性质得到，求得，推出经过第609次旋转后，顶点E的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，得到E与关于原点对称，于是得到结论．
【详解】解：如图，连接，
由正六边形，可知：，
，
在中，，
，
，
，
，
将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，
次一个循环，
，
经过第609次旋转后，顶点E的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，
与关于原点对称，
，
经过第609次旋转后，顶点E的坐标，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形的性质及其旋转，掌握旋转规律中的周期问题，利用点的坐标，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
10. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. a>0B. b>0C. c0
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的图像可判断各字母的符号，再根据与x轴交点可判断b2-4ac的符号．
【详解】解：由图可知：
抛物线开口向上，则a＞0，故A不符合；
抛物线对称轴在y轴右侧，则b＜0，故B符合；
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，故C不符合；
抛物线与x轴有两个交点，则b2-4ac>0，故D不符合；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数个数△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 若点与点B关于原点对称，则点B的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数解答．
【详解】解：∵点与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，掌握“关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数”是关键．
12. 已知抛物线y＝x2﹣（k+3）x+9的顶点在坐标轴上，则k＝______．
【答案】3，﹣9，﹣3
【解析】
【分析】由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．
【详解】解：当抛物线y＝x2﹣（k+3）x+9的顶点在x轴上时，△＝0，
即△＝[－（k+3）]2﹣4×9＝0，解得k＝3或k＝﹣9；
当抛物线y＝x2﹣（k+3）x+9的顶点在y轴上时，x＝，解得k＝﹣3．
故答案为：3，﹣9，﹣3．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
13. 边长为3的正方形的对角线长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形四边相等，四个角是直角，勾股定理，即可求出对角线的长．
【详解】∵正方形的边长为3
∴对角线长：
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质，勾股定理．
14. 已知是关于的一元二次方程的两个解，若则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】由根与系数的关系可知，，代入后面方程，最后求出的值即可．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个解，
∴由根与系数的关系可得：，，
∴代入，可得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程 的两根，则，．
15. 两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得四边形是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，易得，，然后根据勾股定理可得，则，，进而可得，要使为最小，即的值为最小，则可过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，最后根据“胡不归”问题可求解．
【详解】解：∵纸条的对边平行，即，
∴四边形是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都为，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，如图所示：
∴，
要使的值为最小，则需满足为最小，根据三角不等关系可得：，所以当B、P、M三点共线时，取最小，即为BM的长，如图所示：
∴，
∴，
∴的最小值为，即的最小值为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用“胡不归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；（2），．
【解析】
【分析】（1）用因式分解法解方程即可；
（2）用因式分解法解方程即可．
【详解】解：（1），
，
或，
解得，；
（2）
或，
解得，或．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，正确理解因式分解法是解题的关键．
17. 如图，已知中，，，将绕点A顺时针方向旋转60°到，点B，C的对应点分别为点，，连接，
（1）依题意，尺规作图补全图形；（保留作图痕迹，不写作法与证明）
（2）求的长．
【答案】（1）见图
（2）
【解析】
【分析】（1）旋转图形，先确定旋转中心，旋转方向，后确定旋转角度。根据题意旋转中心点 ,顺时针旋转60°。将三角形各顶点与旋转中心点连接后，各连接线进行顺时针旋转60°，即顺时针旋转60°，得到旋转后的对应点,连接各对应点，便得到旋转后的.
（2）将绕点顺时针旋转 可以得到 是等边三角形，由此得，即平分，将延长交 于，则是等边 的角平分线，利用“三线合一”也即垂直平分 ，后通过勾股定理便可解得 .
【详解】解（1）
（2）
∵图形旋转后，对应各边相等，绕顺时针旋转，可得
∴ 是等边三角形
又∵在 和 中

∴，即平分
延长交 于
因为中，，所以
∵ 是等边三角形， 平分
∴根据等腰三角形“三线合一”得垂直平分
所以
由于 ，又是等腰直角三角形，垂直平分，则
所以
故答案为： .
【点睛】本题旨在考查图形旋转的应用，图形旋转的性质以及等腰三角形“三线合一”，直角三角形勾股定理的运用是解题的关键.
18. 如图，在直角坐标平面内，已知点A坐标．
（1）图中点B的坐标是 ；
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 ；点A关于y轴对称的点D的坐标是 ；
（3）的面积是 ．
【答案】（1）
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）直接在坐标系中读出坐标即可；
（2）关于原点对称点特征：横坐标和纵坐标都互为相反数；关于y轴对称点特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变；依此作答即可；
（3）先根据勾股定理求出 ， ，，再根据勾股逆定理得出是直角三角形，且，即可求出的面积．
【小问1详解】
根据图示知，点B的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
由（1）知，B，
∴点B关于原点对称的点C的坐标是；
∵点A的坐标，
∴点A关于y轴对称的点D的坐标是；
故答案为：；；
【小问3详解】
由勾股定理求得 ， ，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，熟练掌握轴对称，中心对称和勾股定理以及逆定理是解题的关键．
19. 小琴的父母承包了一块荒山地种植一批香梨树，今年收获一批香梨，小琴的父母打算以元/斤的零售价销售5000斤香梨；剩余的斤香梨以比零售价低1元的批发价批给外地客商，总共的销售额为55000元．
（1）小琴的父母今年共收获这种香梨多少斤？
（2）批发商买回这批香梨后，零售平均每天可售出200斤，每斤盈利2元．为了加快销售和获得较好的利润，采取了降价措施，发现销售单价每降低0.1元，平均每天可多售出40斤，应降价多少元使得每天销售利润为600元？
【答案】（1）小琴的父母今年共收获香梨25000斤（2）应降价1元使得每天销售利润为600元
【解析】
【分析】（1）根据销售毛利润与单价、数量之间的关系可列方程，求出m的值，进而求出总产量．
（2）由于降价，日销售量增加，用含有的代数式表示每斤的销售利润和日销售量，根据日销售利润可列方程求解即可，注意结果的合理性．
【详解】（1）由题意得，
，
解得：，（舍去），
当时，斤，
答：小琴的父母今年共收获香梨25000斤；
（2）设应降价元，使每天的利润达到600元，由题意得，
，
解得，，，
加快销售，即销售量较多，不合题意舍去，
，
答：应降价1元使得每天销售利润为600元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
20. 如图，直线：与坐标轴交于A、D两点，以为边在右侧作正方形，过点C作轴于G点．过点C的反比例函数与直线交于E、F两点．
（1）求E、F两点坐标；
（2）填空：不等式的取值范围是 ．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先求出，；再利用同角的余角相等判断出，推导出，进而求出，，求出点C的坐标，进而求出反比例函数顺序，再联立直线解析式求解，即可得出结论；
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方直接得出结论．
【小问1详解】
解：直线：，
令，则，
∴，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，，
∴
再代入中，得，
∴反比例函数的解析式为①，
∵直线的解析式为②，
联立①②得，，
解得，或，
∴，；
【小问2详解】
由图象知，不等式，
∴或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，待定系数法，解方程组，求出点C的坐标是解本题的关键．
21. 某景区纪念品超市以50元每个的价格新进一批工艺摆件，经过一段时间的销售发现日销量（个）与单个售价（元）之间的函数关系如下图．（景区规定任何商品的利润率不得高于）
（1）根据图象，直接写出与的函数关系式；
（2）该超市要想每天获得2400元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）；（2）销售单价应定为70元；（3）销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元
【解析】
【分析】（1）设y=kx+b，将点(60，140)，(70，120)代入即可求出y与x的函数关系式；
（2）由题意得：利润=单个利润×日销量，根据等量关系列方程，即可求解．
（3）设每天获得的利润为W元，由题意得W与x的二次函数关系式，分析二次函数的图像与性质，以及二次函数的最值，即可求解．
【详解】解：（1）设（，为常数）将点，代入得，
解得
∴y与x的函数关系式为：y=−2x+260；
（2）由题意得：，化简得：，
解得：，，
∵，且，
∴（舍去），
答：销售单价应定为70元．
（3）设每天获得的利润为元，由题意得，
∵，抛物线开口向下，
∴有最大值，当时，，
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确列出函数关系式，是解题的关键.
22. 【给出问题】：已知：是正方形外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数．
【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题：
（1）①尺规作图，中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）．
②原题中 ．
【深入思考】：
（2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明．
（3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）．
（4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．

【答案】（1）①见解析；②；（2），证明见解析；（3），证明见解析；（4）；
【解析】
【分析】（1）①利用垂直平分线定义即可作出正方形；②利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到结论；
（2）根据题意过点C作交于E，利用圆周角定理得到，再判定，证明出和是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形三边关系即可；
（3）根据题意过点B，作，在上截取，连接，再证明，再利用含的直角三角形三边关系即可得到本题答案；
（4）根据题意以为边，作正方形，连接，设，则，，再分别在和和中应用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】解：（1）①如图所示，作直径的垂直平分线交于点A，C，则四边形是正方形；

②如图所示，

，
故答案为：．
（2），证明如下：
如图，过点C作交于E，

∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴（ASA），
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即，
如图所示，过点C作交于F，

同理可得是等腰直角三角形，，
∴，；
（3），
如图，过点B，作，在上截取，连接，

∵，，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（4）如图，以为边，作正方形，连接，，
根据（1）可得P在上，则，

∴，
设，则，，
在中，，
在中，，
在 中，，
∴，
解得 （负值舍去），
∴，
∴矩形面积为．
【点睛】本题考查角平分线定义及画法，圆周角定理，全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质，勾股定理，含的直角三角形三边关系．掌握圆周角定理是关键．
23. 如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（2，0）和B（3，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M在第二象限的抛物线上，且∠MBO＝∠ABO．
①直线BM交x轴于点N，求线段ON长；
②延长BO交抛物线于点C，点P是平面内一点，连接PC、OP，当△POC∽△MOB时，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）；（2）①ON＝6；②点P坐标为或
【解析】
【分析】（1）把点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①证明△BOL≌△BOA，利用即可求解；②当△POC∽△MOB时，点P的位置可能第二象限也可能在第四象限，分别求解即可．
【详解】解：（1）把点A、B坐标代入二次函数表达式：
，解得： ，
故：抛物线的表达式为：……①；
（2）①过点B分别向x轴、y轴作垂线，交于点S、K，连接A、L，
点B坐标为（3，3）则：四边形OSBK为正方形，
∵∠MBO＝∠ABO，BO是正方形OSBK的对角线，BO＝BO，
∴△BOL≌△BOA（AAS），
∴OA＝OL＝2，∴AL⊥BO，
sinα＝＝＝，则csα＝，tanα＝ ，
∵OL∥BS，∴，即：，
则：ON＝6；
②则点N坐标为（﹣6，0），
把点L（0，2）、N坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，
解得：y＝x+2…②，
联立①、②解得：x＝﹣3或3（舍去3）
即点M坐标为（﹣3，1），
BC所在的直线的表达式为：y＝x…③，
联立①、③解得：x＝﹣或3（舍去3），
则点C坐标为（﹣，﹣），
则：OM＝ ，OB＝3 ，OC＝ ，MB＝2
当△POC∽△MOB时，点P的位置可能第二象限也可能在第四象限，
当点P在第二象限时，如下图，过点P作PH⊥x轴，
△POC∽△MOB，∠PCO＝∠MBO＝α，
∴＝=，即：＝ ，
解得：OP＝ ，PC═ ，
AB所在直线表达式中的k值为3，
∵∠PCO＝∠MBO＝∠OBA＝α，
∴PC所在直线表达式中的k值为3，
则：PC所在的直线表达式为：y＝3x+ ，
令y＝0，则x＝﹣，
即Q点坐标为（﹣，0），即：OQ＝，
则：CQ＝，则：PQ＝PC﹣CQ，
而PH2＝OP2﹣OH2＝PQ2﹣QH2＝PQ2﹣（OQ﹣OH）2，
其中，OP＝ ，PQ＝PC﹣CQ，OQ＝，
解得：OH＝，
则点P坐标为（﹣，），
当点P在第四象限时，同理可求点P坐标为，
故点P坐标为或．