九年级上学期期中数学试题（人教版） (21)

这是一份九年级上学期期中数学试题（人教版） (21)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
※ 考试时间120分钟 满分120分
考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效．
第一部分 选择题（共20分）
一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 方程的根是（ ）
A B. ，C. D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解，即可作出判断．
【详解】解：
即
∴，
∴或，
解得：，，
故选：B．
2. 点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：C．
3. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根的情况，如果方程有两个不等实数根，直接利用根的判别式计算即可选出正确答案．
【详解】解：；
；
∴此方程没有实数根；
故选：D．
4. 等边三角形、平行四边形、直角三角形、五边形中，是中心对称图形的是（ ）
A. 等边三角形B. 平行四边形C. 直角三角形D. 五边形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
【详解】A．等边三角形不是中心对称图形，不符合题意；
B．平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，符合题意；
C．直角三角形不是中心对称图形，不符合题意；
D．五边形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B
5. 关于抛物线的叙述，正确的是( )
A. 开口向下，对称轴是直线B. 开口向下，对称轴是直线
C. 开口向上，对称轴是直线D. 开口向上，对称轴是直线
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次项系数可知抛物线开口向下，把解析式化成顶点时即可得到对称轴．
【详解】解：中，，
抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
故选项A正确．
故选：A．
6. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线，令，则，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：抛物线，令，则，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
故选：C．
7. 下列关于中心对称的描述不正确的是（ ）
A. 把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称B. 关于中心对称的两个图形是全等的
C. 关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心D. 如果两个图形关于点O对称，点A与是对称点，那么
【答案】A
【解析】
【分析】中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．据此作出判断．
【详解】解：A．一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．故选项错误，符合题意；
B．关于中心对称的两个图形是全等的，故选项正确，不符合题意；
C．关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心，故选项正确，不符合题意；
D．根据中心对称的性质可得此说法正确，故选项正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
8. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位长度，再向下2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握“自变量左加右减，函数值上加下减”是解题关键
【详解】解：将抛物线​向左平移1个单位长度，再向下2个单位长度,所得抛物线的解析式为：​，
故选：B．
9. 如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度随飞行时间的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象可直接得出答案．
【详解】解：∵函数图象的纵坐标表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度，
∴由函数图象可知这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m，
故选：D．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息的能力，准确识图是解题的关键．
10. 如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论①，②，③，④，⑤中，正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，理解图象的特征是解决问题的关键．根据图像的对称轴、与轴交点个数、与轴交点位置进行判断即可．
【详解】解：如图：
图象开口向下，
，
图象交轴于正半轴，
，
对称轴是直线，
，
，
，
，故①错；
，
，故②对；
图象与轴两个交点，
△，即，故③对；
根据图像可知关于对称的点为，
故图象与轴交点在和3之间，且开口向下，
时，，故④对；
由图象知：时，，
，
，即，故⑤对；共四个对，
故选：D．
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11. 时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过5分钟，分针旋转了________．
【答案】30
【解析】
【分析】本题主要考查了钟面角，先求出时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为，再求5分钟分针旋转的度数即可．
【详解】解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，
∴时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：，
∴经过5分钟，分针旋转了．
故答案为：30．
12. 抛物线的顶点坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
13. 如图，，把绕点O按逆时针方向旋转，若，则________．
【答案】##28度
【解析】
【分析】本题考查了角的计算，利用角的和差计算即可．
【详解】解：∵，把绕点O按逆时针方向旋转得到，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
14. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用根的判别式进行计算，根据题意关于的方程有两个不相等的实数根，可得，即可得到关于的不等式，解答即可．
【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
即，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，要熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题关键．
一元二次方程根的情况与判别式的关系是：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
15. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设出芦苇长度AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可．
【详解】解：依题意画出图形，
设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺，
在Rt△AB'C中，∵CB′2+AC2＝AB′2，
∴（x﹣1）2+52＝x2，
故答案为：（x﹣1）2+52＝x2．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应
16. 如图，，为射线上任意一点(点与点不重合)，分别以，为边在的内部作等边和等边，连接并延长交于点，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤．正确的有________(填序号)．
【答案】①③④⑤
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质证明，得，故①正确；得出，进而可以得出，可以得出，进而可以判断③④正确；根据勾股定理可以判断⑤正确；根据，不一定等于，得不一定等于，所以不一定成立，故②不一定正确，可得结论．
【详解】解：和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，故④正确；
，
是等腰三角形，故③正确；
，
，
，，
，故⑤正确；
，不一定等于，
不一定等于，
不一定成立，故②不一定正确，
综上所述：正确的有①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，构造直角三角形用勾股定理求线段的长度是本题的关键．
三、解答题（第17题6分，第18题6分，19题8分，共20分．）
17.
解方程
【答案】
【解析】
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程求解，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程．
18. 已知抛物线的顶点是，与y轴交于点，求该抛物线的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，先把二次函数解析式设为顶点式，再把代入解析式中求解即可．
【详解】解：设该抛物线的解析式为，
把代入中得：，解得，
∴该抛物线的解析式为．
19. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，以O为原点建立平面直角坐标系，点A，B的坐标分别是，．
（1）将绕点O逆时针旋转后得到，请在图中画出，则点的坐标是________．
（2）与关于点O成中心对称，请画出．
（3）连接，则的面积是________．
【答案】（1）图形见解析，
（2）见解析 （3）5
【解析】
【分析】本题考查作图一旋转变换、中心对称，利用网格求三角形面积，写出直角坐标系中点的坐标．
（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案；
（2）根据中心对称的性质作图即可；
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：如图：即为所求，
点的坐标为；
【小问2详解】
如图：即所求；
【小问3详解】
如图，连接，
，
故答案为：5．
四、解答题（第20题10分，第21题10分，共20分．）
20. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件．
（1）求该快递点这三天揽件日平均增长率．
（2）按这个增长率计算，第四天揽件数约为________(取整数)，
（3）按你的生活经验判断，这个快递点的揽件量能否始终按这个日均增长率增长________(填“能”或“不能”)．
【答案】（1）
（2）
（3）不能
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；
（1）设该快递点这三天揽件日平均增长率为利用第三天的揽件数第一天的揽件数该快递点这三天揽件日平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用第四天揽件数第三天的揽件数该快递点这三天揽件日平均增长率，可求出第四天揽件数，取其整数值，即可得出结论；
（3）由小区居民数变化不大，可得出这个快递点揽件量不能始终按这个日均增长率增长．
【小问1详解】
解：设该快递点这三天揽件日平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该快递点这三天揽件日平均增长率为；
【小问2详解】
解：根据题意得：（件）．
按这个增长率计算，第四天揽件数约为件．
故答案为：；
【小问3详解】
根据实际情况可得：这个快递点的揽件量不能始终按这个日均增长率增长．
故答案为：不能．
21. 已知抛物线．
（1）求这条抛物线与x轴交点的坐标．
（2）在平面直角坐标系中画出这条抛物线的草图．
根据图象回答：
（3）当时，x取值范围是________．
（4）当x取值满足________时，y随x的增大而减小．
【答案】（1），；（2）见解析；（3）或；（4）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程，
（1）中，令，则，进行计算即可得；
（2）列表，描点，连线即可得；
（3）观察函数图象即可得；
（4）观察函数图象即可得
掌握二次函数的性质，一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：（1）在中，令，
则，
，
，
∴这条抛物线与x轴交点的坐标，；
（2）
如图所示：
（3）当时，x取值范围是或；
故答案为：或；
（4）根据函数图象得，当x取值满足时，y随x的增大而减小，
故答案为：．
五、解答题（满分10分）
22. 如图，在中，，，是边上一点点与，不重合，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连结交于点，连结．
（1）求证：．
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．
（1）由旋转得，，因为，所以，而，即可根据全等三角形的判定定理证明；
（2）由等腰直角三角形的性质得，由全等三角形的性质得，，因为，所以，可求得．
【小问1详解】
证明：由旋转得，，
，
，
在和中，
，
．
【小问2详解】
解：，，
，
，
，，
，
，
，
的度数是．
六、解答题（满分10分）
23. 疫情结束后，实体经济复苏．某商场销售一种销售成本为40元/件的童装，若按50元/件销售，一个月可售500件，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10件．
（1）求月销售利润y（单位：元）与销售单价x（单位：元/件）之间的函数解析式．
（2）求当销售单价定为多少元时会获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）商场想使月销售利润达到8000元，求销售单价应定为多少元？
【答案】（1）
（2）销售单价定为元时，利润最大，最大利润为元
（3）销售单价应定为或元
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的应用；
（1）根据销售利润=每千克利润×数量，即可列出表达式；
（2）将（1）的解析式，配方成顶点式，即可求解．
（3）把代入（1）中的表达式，求出x的值，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意，得：
．
答：y与x之间的函数关系式为：；
【小问2详解】
解：
当时，，
∴销售单价定为元时，利润最大，最大利润为元
小问3详解】
由题意，得，
解得：，．
答：销售单价应定为或元．
七、解答题（满分10分）
24. 已知正方形和（点C，D，E在直线同侧），把绕点A按顺时针方向旋转，得到，由旋转的性质，可知，延长交于点G．
（1）如图1，若点E在正方形边上（），则与的位置关系是________．
（2）如图2，若点E在正方形内部（，）．
①（1）的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
②若，，请直接写出线段的长．
【答案】（1）
（2）①（1）的结论还成立，理由见解析；②或
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得，由，则，根据三角形内角和定理可计算出，于是可判断；
（2）①证出，则可得出；②连接，过点A作于点G，于点N，由勾股定理求出的长，证明，由全等三角形的性质得出，证，设，则，由勾股定理求出，则可得出答案．
【小问1详解】
解：，理由如下：
绕点A按顺时针方向旋转，得到，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
①（1）的结论还成立，理由如下：
证明：如图，与交于点O，
绕点A按顺时针方向旋转，
，
，
，
；
②如图，连接，过点A作于点G，于点N，
，，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
或，
或．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
八、解答题（满分12分）
25. 如图，抛物线与轴相交于点，与正半轴相交于点，负半轴相交于点．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）如图1，是第一象限抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足是点，与的交点为，设．
①用含的式子表示：________，________．
直接用①的结论求解②③
②若，请直接写出点的坐标．
③若，求点的坐标．
（3）如图2，若点在抛物线上，点在轴上，当以点，，，为边的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）①，；②点；③点；
（3）点F的坐标为：或或
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，平行四边形的性质、函数的图象和性质；
（1）由待定系数法即可求解；
（2）①根据点的坐标，即可求解；
②若，则，即可求解；
③若，则，即可求解；
（3）当为对角线时，由中点坐标公式得：，即可求解；当或为对角线时，同理可解．
【小问1详解】
解：由题意得：
，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
解：①设点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则点，
则；
则，；
故答案为：，；
②若，则，
解得：舍去或，
即点；
③若，则，
解得：舍去或，
即点；
【小问3详解】
解：设点，点，
当为对角线时，由中点坐标公式得：，
解得：舍去或，
即点；
当或为对角线时，同理可得：
或，
解得：舍去或或，
故点的坐标为：或或．
综上，点的坐标为：或或x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
0
3
…