黑龙江省富锦市某校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

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满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题p：，，则命题p的否定形式是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
4．已知是幂函数，则“α是正偶数”是“的值域为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知是定义在R上的奇函数，若，则（ ）
A．-10B．-4C．2D．3
6．若两个正实数x，y满足，若至少存在一组x，y使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数为定义在R上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．若函数在定义域上的值域为，则称为“Ω函数”．已知函数是“Ω函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．和表示同一个函数
C．函数的值域为
D．函数满足，则
10．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．点在第二象限
C．的最小值为2
D．关于x的不等式的解集为
11．已知函数，的图象分别如图1，2所示，方程，，，的实根个数分别为a，b，c，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数的定义域为______．
13．“”是“”的充分不必要条件，则实数p的取值范围是______．
14．定义：对于非空集合A，若元素，则必有，则称集合A为“m和集合”．已知集合，则集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有______个．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知，．
（1）求集合A；
（2）求，．
16．（15分）已知命题：“，使等式成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式的解集为N，若是的必要条件，求a的取值范围．
17．（15分）某奶茶店今年年初花费16万元购买了一台制作冰淇淋的设备，经估算，该设备每年可为该奶茶店提供12万元的总收入．已知使用x年（x为正整数）所需的各种维护费用总计为万元（今年为第一年）．
（1）试问：该奶茶店第几年开始盈利（总收入超过总支出）？
（2）该奶茶店在若干年后要卖出该冰淇淋设备，有以下两种方案：
①当盈利总额达到最大值时，以1万元的价格卖出该设备；
②当年均盈利达到最大值时，以2万元的价格卖出该设备．
试问哪一种方案较为划算？请说明理由．
18．（17分）已知函数经过，两点．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
（3）若对任意恒成立，求实数m的取值范围．
19．（17分）若函数与满足：对任意，，都有，
则称函数是函数在集合上的“约束函数”．已知函数是函数）在
集合D上的“约束函数”．
（1）若，，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，，，求实数a的取值范围。
答案
1．C
【解析】因为全集，，所以，
根据元素与集合的关系可知，ABD错误，C正确．
故选：C．
2．C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论．
【详解】命题p：，，为全称量词命题，
则该命题的否定为：，．
故选：C．
3．D
【分析】根据不等性质分别判断各选项．
【详解】A选项：当时，，A选项错误；
B选项：当，时，成立，，B选项错误；
C选项：，，，所以，C选项错误；
D选项：，则，又，所以，D选项正确；
故选：D．
4．A
【分析】利用幂函数的性质结合充分、必要条件的定义判定即可．
【详解】当α是正偶数时，显然，即其值域为．
当时，的值域为，但α不是正偶数．
故“α是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件．
故选：A
5．C
【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出函数的性质，进而求出．
【详解】由是定义在R上的奇函数，得，
即，令，则，而，
所以．
故选：C
6．C
【解析】至少存在一组x，y使得成立，即，
又由两个正实数x，y满足，可得，
当且仅当，即时，等号成立，∴，
故有，解得，故，所以实数m的取值范围是．
故选：C．
7．D
【分析】先根据奇函数性质确认函数零点，再根据已知单调性可以求出函数在各个区间符号，由不等式性质可得解．
【详解】因为为定义在R上的奇函数，所以，且
又因，所以，
又因在为增函数，在上，
在上，
又因在为减函数，所以上，
综上，当时，，当时，
当时，则，所以，则，
当时，则，所以，则，
不等式可化简变形为，
综上所述可知当时，．
故选：D
8．C
【分析】根据“Ω函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案．
【详解】由题意可知的定义域为，
又因为函数是“Ω函数”，故其值域为；
而，，则值域为；
当时，，
当时，，此时函数在上单调递增，则，
故由函数是“Ω函数”可得，
解得，即实数m的取值范围是，
故选：C
9．A，C，D
【解析】对于A，因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，定义域为，定义域为R，不是同一函数，故B不正确；
对于C，令，则，，
所以，，
所以当时，该函数取得最大值，最大值为，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D，∵，
∴化简得
两式相加得，解得，故D正确．
故选：ACD．
10．A，C，D
【解析】原不等式等价于，因为其解集为，所以且，，故A正确；
因为，，则点在第一象限，故B错误；
由可得，，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为2，故C正确；
由可得，不等式即为，化简可得，则其解集为，故D正确；
故选：ACD
11．A，B
【解析】由图，方程，，此时对应4个解，故；
方程，得或者，此时有2个解，故；
方程，取到4个值，如图所示：
即或或或，则对应的x的解，有6个，故．
根据选项，可得A，B成立．
故选：AB．
12．
【解析】令，解得或，
所以函数的定义域为．故答案为：．
13．
【解析】由，解得；
由，即，解得或；
又“”是“”的充分不必要条件，
故可得，解得．
故答案为：．
14．15
【解析】由题意，集合B的子集中，1、7，2、6，3、5，4一定成组出现，
当集合B的子集中只有1个元素时，即为{4}，共1个；
当集合B的子集中有2个元素时，即为，，，共3个；
当集合B的子集中有3个元素时，即为，，，共3个；
当集合B的子集中有4个元素时，即为，，，共3个；
当集合B的子集中有5个元素时，即为，，，共3个；
当集合B的子集中有6个元素时，即为，共1个．
当集合B的子集中有7个元素时，即为，共1个．
则集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有15个．故答案为：15．
15．见解析
【解析】（1）因为，
所以解不等式可得：，故集合
（2）由（1）可知：，又，
所以，所以或．
或，或．
16【答案】（1）
（2）或
【解析】（1）由题意，方程在上有解，
令，只需m在值域内，
当时，，当时，，
所以值域为，
∴m的取值集合为；
（2）由题意，，显然N不为空集．
①当，即时，，
，∴；
②当，即时，，不合题意舍去；
③当，即时，．
，∴；
综上可得或．
17．【答案】见解析
【解析】（1）由题意可知，总收入扣除支出后的纯收入，
，解得，
由，所以从第三年开始盈利．
（2）方案①：
纯收入，则5年后盈利总额达到最大值9万元，
以1万元的价格卖出该设备，共盈利10万元；
方案②：
年均盈利，
由，，当且仅当，即时等号成立，
，
当4年后年均盈利达到最大值2万元时，以2万元的价格卖出该设备，
共盈利万元．
两种方案盈利总数一样，但方案②时间短，较为划算．
18．（1）
（2）在上单调递减，证明见解析
（3）
【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可；
（2）利用单调性的定义证明即可；
（3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解．
【详解】（1）∵，，
∴，解得，
∴．
（2）在上单调递减，证明如下：
任取，，且，
则
∵，，且，
∴，，∴，
∴，即，
所以函数在上单调递减．
（3）由对任意恒成立得，
由（2）知在上单调递减，
∴函数在上的最大值为，∴，
所求实数m的取值范围为．
19．（1）偶函数，理由见解析
（2）
【分析】（1）先分析得到，然后根据得到，的关系，由此完成证明；
（2）根据题设条件将问题转化为“时，”，然后构造并进行分类讨论，由此求解出结果；
【详解】（1）因为，所以对有，
令，，且，，
因为，
所以，
所以，
所以，且定义域为R关于原点对称，
所以是偶函数；
（2）当时，对称轴且开口向上，对称轴且开口向上，
所以在上单调递增，在上单调递增，
不妨假设，
所以
即，
设，
当时，，在上单调递增，显然满足要求，
当时，为二次函数，对称轴，开口向上，故只需即可，解得，
当时，为二次函数，对称轴，开口向下，此时不满足要求，
综上可知，a的取值范围是；