山西省忻州市五台县第二中学校2024-2025学年八年级上学期期中学情评估数学试题

这是一份山西省忻州市五台县第二中学校2024-2025学年八年级上学期期中学情评估数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(共10题，共30.0分)
1．(3分)已知a≠0，下列运算中正确的是（ ）
A. a+a2=a3 B. a3÷a2=a C. （a3）2=a5 D. a3•a2=a6
2．(3分)画△ABC中BC边上的高，下列画法中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3．(3分)要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线上取两点C、D，使BC=CD，再作出BF的垂线DE，使E与A、C在一条直线上（如图所示），可以测得DE的长就是AB的长（即测得河宽），可由△EDC≌△ABC得到，判定这两个三角形全等的理由是（ ）
A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 边边角
4．(3分)如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，DE是AC的中垂线，则△ABD的周长为（ ）
​
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
5．(3分)如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B.
C. D.
6．(3分)一个三角形的两边长分别为3cm和7cm,则此三角形第三边长可能是（ ）
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 10cm
7．(3分)如图所示，在△ABC中，∠A=30°，M为线段AB上一定点，P为线段AC上一动点．当点P在运动的过程中，满足PM+AP的值最小时，∠AMP 的大小等于（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
8．(3分)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD和CD上，AF⊥BE，垂足为G，若，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
9．(3分)剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
10．(3分)如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，边BC上的高AD=3，则边AB上的高CE为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题(共5题，共15.0分)
11．(3分)如图，有一圆经过△ABC的三个顶点，且弦BC的中垂线与相交于D点，若∠B=74°，∠C=46°，则的度数是_____．
12．(3分)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,∠ABC的平分线BD交AC于D，DC=4cm,则△ABD的面积是_____．
13．(3分)如图所示，△ABC为等边三角形，D为BC边上的一点，△ABD经过旋转后，到达△ACP的位置，旋转中心是 _____，旋转角度是 _____，△ADP是 _____三角形．
14．(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q；②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BE=5，则AE=_____．
15．(3分)如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，连接OE．下列结论：
①△ODC是等边三角形；
②CD=BE；
③BC=2AB；
④S△AOE=S△COE．其中正确的有 _____（填序号）．
三、解答题(共8题，共75.0分)
16．(10分)在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点分别为A（-4，5），B（-3，2），C（-2，3）．
（1）画出△ABC及关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）求出△ABC的面积．
17．(10分)已知22m=16，23n=27，2a=12（其中m,n,a为任意实数）
（1）m=_____，2n=_____；
（2）先化简再求值：x（x+a）-x（x+n），其中x=2；
（3）若6b=12，请判断（a+b）4×（ab）4是否为同底数幂的乘法运算，试说明理由．
18．(10分)如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，3），按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）作出△ABC关于x轴的对称图形△A'B'C'；（不用写作法）
（3）求△A'B'C'的面积．​
19．(9分)在边长为9的等边三角形ABC中，点P是AB上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若点Q是BC上一定点，BQ=6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
20．(9分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（4，0），B（-1，4），C（-3，1）．
（1）在图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称；
（2）写出点A'，B'，C'的坐标．
21．(9分)化简：
（1）（a3）2▪a3；
（2）（a+2b）（a－2b）－（2a+b）2；
（3）（5x+y）（3x－y）；
（4）（2xy2－8x2）÷（2x）；
（5）a3▪a5+（﹣a2）4－3a8；
（6）2y（x－2y）－2xy；
22．(9分)如图，在△ABC中，CA=CB，D是BC上的一点，AB=10，BD=6，AD=8．求△ABC的面积．
23．(9分)已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）求证：△ADC≌△ECD；
（3）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．
试卷答案
1．【答案】B
【解析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、幂的乘方运算依次计算判断即可．
解：A．a与a2不是同类项，不能进行合并，选项错误，不符合题意；
B．a3÷a2=a,选项正确，符合题意；
C．（a3）2=a6，选项错误，不符合题意；
D．a3⋅a2=a5，选项错误，不符合题意；
故选：B．
2．【答案】D
【解析】根据三角形的高的定义：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高解答．
解：表示△ABC中BC边上的高的是D选项．
故选：D．
3．【答案】B
【解析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
解：因为证明在△EDC≌△ABC用到的条件是：CD=BC，∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即角边角这一方法．
故选：B．
4．【答案】B
【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵DE是AC的中垂线，
∴DA=DC，
∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC，
∵AB=4，BC=7，
∴△ABD的周长=4+7=11，
故选：B．
5．【答案】D
【解析】作AF⊥BC，再根据勾股定理求出AF，然后根据阴影部分的面积=得出答案．
过点A作AF⊥BC，交BC于点F．
∵△ABC是等边三角形，BC=2，
∴CF=BF=1．
在Rt△ACF中，．
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，涉及等边三角形的性质，勾股定理及扇形面积计算等知识，将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键．
6．【答案】C
【解析】首先设第三边长为x cm,根据三角形的三边关系可得7-3＜x＜7+3，再解不等式即可求解．
解：设第三边长为x cm,根据三角形的三边关系可得：
7-3＜x＜7+3，
解得：4＜x＜10．
只有5cm适合，
故选：C．
7．【答案】A
【解析】构造胡不归模型解题即可．
解：如图所示，构造胡不归模型：
过点A作∠CAN=30°，过点P作PN⊥AN，MN1⊥AN交于AC于点P1，
∵∠CAN=30°，PN⊥AN，
∴PN=PA，
∴PM+AP=PM+PN，
仅当点M，P，N三点共线，且MN⊥AN时，PM+PN的值最小，即为线段MN1，
PM+AP的值最小时为线段MN1，
此时∠MAN=60°，∠AN1M=90°，
∴∠AMP1=30°．
故选：A．
8．【答案】C
【解析】设AB=m,由=2，得AE=DA=m,可证明△ABE≌△DAF，得DF=AE=m,则AF==m,再证明△GAE∽△DAF，得==，所以AG=AD=m,GF=AF-AG=m,即可求得=，于是得到问题的答案．
解：设AB=m,
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA=m,∠BAE=∠D=90°，
∵=2，
∴AE=DA=m,
∵AF⊥BE于点G，
∴∠AGE=90°，
∴∠ABE=∠DAF=90°-∠AEB，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴DF=AE=m,
∴AF===m,
∵∠AGE=∠D=90°，∠GAE=∠DAF，
∴△GAE∽△DAF，
∴===，
∴AG=AD=m,
∴GF=AF-AG=m-m=m,
∴==，
故选：C．
9．【答案】B
【解析】关于某条直线对称的图形是轴对称图形．
解：A、选项不是轴对称图形，不符合题意；
B、选项关于某条直线对称，是轴对称图形，符合题意；
C、选项不是轴对称图形，不符合题意；
D、选项不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
10．【答案】B
【解析】此题考查了高的有关计算，利用三角形的面积计算方法即可求解．
解：∵AB=4，BC=5，边BC上的高AD=3，CE为△ABC的边AB上的高，
∴，
∴，
故选：B．
11．【答案】28°
【解析】首先连接OB，OC，AO，设DO交BC于点E，由∠B=74°，∠C=46°，即可求得∠BAC的度数，又由△ABC的边BC的垂直平分线与△ABC的外接圆相交于点D，根据圆周角定理，即可求得∠AOB与∠BOE的度数，继而求得答案．
解：如图，连接OB，OC，AO，设DO交BC于点E，
∵OD是△ABC的边BC的垂直平分线，
∴∠BOE=∠BOC，
∵∠BAC=∠BOC，
∴∠BOE=∠BAC，
∵∠ABC=74°，∠ACB=46°，
∴∠BOE=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°，
∴∠BOD=180°-∠BOE=180°-60°=120°，
∵∠AOB=2∠ACB=92°，
∴的度数为：92°，
∴的度数为：120°-92°=28°．
故答案为：28°．
12．【答案】20cm2
【解析】作出图形，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DC，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，
∴DE=DC=4cm,
∴△ABD的面积=AB•DE=×10×4=20cm2．
故答案为：20cm2．
13．【答案】(1)A;(2)60°;(3)等边;
【解析】观察图形，找旋转中心，旋转方向，旋转角；由旋转角是60°，对应点到旋转中心的距离AD与AP相等，可证△ADP为等边三角形．
解：根据题意分析可得：图中旋转中心是点A；
旋转角度即∠DAP的大小，易得∠DAP=60°；故旋转角度60度．
根据旋转的性质；可得AD=AP，且∠DAP=60°；故△ADP为等边三角形．
故填：A，60°，等边．
14．【答案】5
【解析】由题意可知，直线PQ是线段AB的垂直平分线，可得AE=BE，即可得到AE的长．
解：由题可知，直线PQ是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵BE=5，
∴AE=5，
故答案为：5．
15．【答案】①②④
【解析】根据矩形的性质，可知∠BAD=∠ABE=90°，OA=OB=OC=OD，AB=CD，根据平分线的定义可得，继而得到∠BAO=60°，所以△OAB是等边三角形，可知∠COD=∠AOB=60°，可得△ODC是等边三角形，故①正确；证明△ABE是等腰直角三角形，可得BE=AB，所以CD=BE，故②正确；由△OAB是等边三角形得AB=OA，又因为OA=OC，所以AC=2AB，根据直角三角形中直角边小于斜边可知BC＜AC，可得BC＜2AB，故③错误；△AOE和△COE是等底等高的三角形，所以S△AOE=S△COE，故④正确，即可得出答案．
解：∵在矩形ABCD中，∠BAD=90°，AE平分∠BAD，
∴，OA=OB=OC=OD，
∵∠CAE=15°，
∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°，
又∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠COD=∠AOB=60°，
又∵OC=OD，
∴△ODC是等边三角形，故①正确；
∵在矩形ABCD中，∠ABE=90°，AB=CD，
又∵∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB，
∴CD=BE，故②正确；
∵△OAB是等边三角形，
∴AB=OA，
又∵OA=OC，
∴AC=2AB，
∵BC＜AC，
∴BC＜2AB，故③错误；
∵△AOE和△COE的底边OA=OC，点E到AC的距离相等，
∴S△AOE=S△COE，故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
16．【解析】（1）由点A，B，C的坐标描点连线即可得△ABC，再由根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
解：（1）如图，△ABC及△A1B1C1即为所求．
点B1的坐标为（3，2）．
（2）△ABC的面积为=2．
17．【答案】(1)2;(2)3;
【解析】（1）根据幂的乘方法则计算；
（2）根据同底数幂的除法法则得到a-n=2，根据整式的混合运算法则把原式化简，把已知数据代入计算即可；
（3）根据幂的乘方法则得到（b-1）（a-1）=1，整理得到ab=a+b,根据同底数幂的乘法法则解答即可．
解：（1）∵24=16，22m=16，
∴2m=4，
解得，m=2，
∵33=27，23n=（2n）3=27，
∴2n=3，
故答案为：2；3；
（2）∵2n=3，2a=12
∴2a÷2n=4，即2a-n=22，
∴a-n=2，
∴x（x+a）-x（x+n）=x2+xa-x2-xn=xa-xn=x（a-n），
当x=2时，原式=2×2=4；
（3）（a+b）4×（ab）4是同底数幂的乘法运算，
理由如下：∵6b=12，
∴6b=6×2，
∴6b-1=2，
∵2a=12，
∴2a-1=6，
∴（6b-1）a-1=6，
∴（b-1）（a-1）=1，
整理得，ab=a+b,
∴（a+b）4×（ab）4是同底数幂的乘法运算．
18．【解析】（1）根据点A的坐标为（0，3），即可建立正确的平面直角坐标系；
（2）分别作点A，B，C关于x轴的对称点A′，B′，C′，连接A′B′，B′C′，C′A′则△A′B′C′即为所求；
（3）利用割补法求面积即可．
解：（1）所建立的平面直角坐标系如下所示；
（2）所作△A'B'C'如图所示；
（3）△A'B'C'的面积=4×4-×4×2-1×2-×3×4=5．
19．【解析】（1）由平行线的性质得∠BQP=∠C=60°，∠BPQ=∠A=60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；
（2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．
解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP=∠C=60°，∠BPQ=∠A=60°，
又∠B=60°，
∴∠B=∠BQP=∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP=BQ，
由题意可知：AP=t,则BP=9-t,
∴9-t=6，
解得：t=3，
∴当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）如图2，①当点Q在边BC上时，
此时△APQ不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，
若△APQ为等边三角形，则AP=AQ，
由题意可知，AP=t,BC+CQ=2t,
∴AQ=BC+AC-（BC+CQ）=9+9-2t=18-2t,
即：18-2t=t,解得：t=6，
∴当t=6时，△APQ为等边三角形．
20．【解析】（1）根据轴对称的性质即可在图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称；
（2）结合（1）即可写出点A'，B'，C'的坐标．
解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）A'（4，0），B'（-1，-4），C'（-3，-1）．
21．【答案】（1）a9 （2）﹣3a2－5b2－4ab
（3）15x2－2xy－y2
（4）y2－4x （5）－a8
（6）－4y2
【解析】（1）先乘方，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
（2）分别用平方差公式与完全平方公式化简，然后合并同类项即可；
（3）多项式乘多项式，逐个相乘展开即可；
（4）多项式除以多项式即可得到结果；
（5）同底数幂相乘，幂的乘方，合并同类项即可得到结果；
（6）先拆括号，再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：原式=
=；
【小问2详解】
解：原式=
=；
【小问3详解】
解：原式=
=；
【小问4详解】
解：原式=
=；
【小问5详解】
解：原式=
=；
【小问6详解】
解：原式=
=．
【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘，完全平方式，平方差公式，多项式的乘除法，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则．
22．【解析】先根据勾股定理的逆定理确定△ABC是直角三角形且∠ADB=90°，再根据勾股定理解决此题．
解：∵BD2+AD2=62+82=100，AB2=102=100，
∴BD2+AD2=AB2．
∴△ABC是直角三角形且∠ADB=90°．
设CA=CB=x,则CD=x-6．
在Rt△ADC中，CD2+AD2=AC2．
∴（x-6）2+82=x2，解得：，即 ．
∴S△ABC=．
23．【解析】（1）利用等腰三角形的性质以及平行四边形的性质可以证得∠1=∠2；
（2）根据平行四边形的性质与AB=AC证得AC=ED，根据全等三角形的判定定理即可证得结论；
（3）根据平行四边形性质推出AE=BD=CD，AE∥CD，得出平行四边形，根据AC=DE推出即可．
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠2，
又∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE，
∴∠B=∠1，
∴∠1=∠2；
（2）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=ED，
∵AB=AC，
∴AC=ED，
在△ADC和△ECD中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（3）解：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，理由如下：
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，AE∥BC，
∵D为边长BC的中点，
∴BD=CD，
∴AE=CD，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵△ADC≌△ECD，
∴AC=DE，
∴四边形ADCE是矩形．
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得分
. .
评卷人
得分
. .
评卷人
得分
. .