北京市北京师范大学第二附属中学2025届高三上学期10月 数学统练2（含解析）

这是一份北京市北京师范大学第二附属中学2025届高三上学期10月 数学统练2（含解析），共13页。试卷主要包含了下列各式化简运算结果为1的是，若，，，则，，的大小关系为，已知，“”是“”的，已知函数，则不等式的解集是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题（共10小题）
1．设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3}，集合A={-1,0,1,2}, B={-3,0,2,3}，则（ ）
A．B．C．D．{-3,-2,-1,1,3}
2．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知a，b，c满足，且，那么下列各式中不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列各式化简运算结果为1的是（ ）
A．B．
C．（且）D．
5．若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是
A．B．C．D．
7．已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
8．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
9．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为Hz；为信噪比. 香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（ ）
A．B．C．D．
10．已知数列满足，，，，，该数列的前项和为，则下列论断中错误的是（ ）
A．B．
C．非零常数，使得D．，都有
二､填空题（共5小题）
11．不等式的解集是 .
12．为等比数列，为数列的前项和，，则 .
13．函数的值域为 .
14．甲乙两人射击，每人射击一次.已知甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.7，两人每次射击是否命中互不影响.设事件为“两人至少命中一次”，事件为“甲命中”，则条件概率的值为 .
15．若存在实常数k和b，使得函数对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线的“隔离直线”，已知函数(e为自然对数的底数)，有下列命题：
①内单调递增；
②之间存在“隔离直线”，且b的最小值为；
③之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是；
④之间存在唯一的“隔离直线”．
其中真命题的序号为 ．(请填写正确命题的序号)
三､解答题（共2小题）
16．某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了、、、、、共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：
(1)在试运营期间，从在站上车的乘客中任选1人，估计该乘客在站下车的概率；
(2)以频率估计概率，在试运营期间，从在站上车的所有乘客和在站上车的所有乘客中各随机选取1人，设其中在站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望；
(3)为了研究各站客流量的相关情况，用示所有在站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，”表示下车．相应地，用，分别表示在站，站上、下车情况，直接写出方差，，大小关系．
17．设函数，其中.
（Ⅰ）若，讨论的单调性；
（Ⅱ）若，
（i）证明恰有两个零点
（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.
下车站上车站
合计
5
6
4
2
7
24
12
20
13
7
8
60
5
7
3
8
1
24
13
9
9
1
6
38
4
10
16
2
3
35
2
5
5
4
3
19
合计
36
36
56
26
21
25
200
1．C
【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
【详解】由题意结合补集的定义可知：∁UB=-2,-1,1，则A∩∁UB=-1,1.
故选：C.
【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.
2．C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
3．C
【分析】由已知可得，，再由不等式的基本性质逐一判断即可．
【详解】解：因为，且，所以，，
对于，，，所以，所以，故正确；
对于，，故正确；
对于，当时，，故错误；
对于，，，所以，故正确．
故选：．
4．D
【分析】根据对数的性质进行计算即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
5．D
【分析】分别根据对数函数以及指数函数的单调性判断出三数的取值范围，即可得答案.
【详解】由题意得，，
，
故,
故选：D
6．C
【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.
考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
7．B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
8．A
【分析】利用导数及导函数的单调性判断极小值点在，再由函数的单调性及可得不等式的解集.
【详解】因为单调递增，且，，
所以存在唯一，使得，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，且，
所以由可得，
故选：A
9．D
【解析】根据定义，代入数据分别求和，再根据换底公式计算的值.
【详解】由条件可知，
，
.
故选：D
10．C
【分析】由已知可得A正确；由已知递推关系化简可得B正确；由已知递推关系总结数列的规律，再用反证法得到C错误；由已知递推关系找到前项和的规律再结合等比数列的前项和可得D正确.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，，
所以，故B正确；
对于C，由可得，
由可得，
由可得，
而，所以，
设存在非零常数，使得，
则，矛盾，
所以不存在非零常数，使得，故C错误；
对于D，当时，，
当时，，
即时，有相邻两项的和为零，
即有接下来个项和为零；
当时，
，
即时，有相邻两项的和与相邻四项为零，
即有接下来个项和为零；
总结发现规律为：当时，
即有接下来的项和为零，
所以，故D正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于能理解的意义，即表示数列中前两项和为外的到项，到项，到项和分别为零.
11．或}
【分析】分式不等式变式成，等价于，求解即可
【详解】，所以，解得或，所以不等式的解集是或}.
故答案为：或}
12．
【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得的值.
【详解】设公比为，
由，得，
即，解得，
所以.
故答案为：.
13．
【分析】分和两种情况，结合幂函数以及指数函数单调性求值域.
【详解】解：当时，单调递减，所以函数的值域为，
当时，单调递增，所以函数的值域为，
综上所述，函数的值域为.
故答案为：
14．
【分析】根据对立事件的关系和独立性可求得、，再根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】，
，
所以.
故答案为：.
15．①②④
【分析】由题意结合“隔离直线”的定义逐一考查所给的说法是否正确即可.
【详解】结合题意逐一考查所给命题的真假：
①∵m(x)=f(x)−g(x)=x2−,，则，
∴F(x)=f(x)−g(x)在内单调递增，故①对；
②、③设f(x)、g(x)的隔离直线为y=kx+b,则x2⩾kx+b对一切实数x成立,即有△1⩽0,k2+4b⩽0，b⩽0，
又⩽kx+b对一切x0时恒成立.
∴函数f(x)和g(x)存在唯一的隔离直线，故④正确.
故答案为①②④.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
16．(1)
(2)分布列见解析；期望为
(3)
【分析】（1）利用频率来求概率即可；
（2）由题意可知，可取0，1，2，求出相应的概率，从而可求出随机变量的分布列及数学期望；
（3）利用两点分布的方差公式依次求出进行比较即可.
【详解】（1）设选取的乘客在站上车、在站下车为事件，
由已知，在站上车的乘客有60人，其中在站下车的乘客有20人，
所以．
（2）从在站上车的所有乘客中任选1人，该乘客在站下车的概率为
由题意可知，可取0，1，2
，
，
，
随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望为
．
（3）因为在站上车的有60人，下车的有36人，
所以，
所以，
因为在站上车的有24人，下车的有56人，
所以，
所以，
因为在站上车的有38人，下车的有26人，
所以，
所以，
所以.
17．（I）在(0,+∞)内单调递增.；
（II）（i）见解析；（ii）见解析.
【分析】（I）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果；
（II）（i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果；
（ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果.
【详解】（I）解：由已知，的定义域为(0,+∞)，
且，
因此当时，，从而，
所以在(0,+∞)内单调递增.
（II）证明：（i）由（I）知，，
令，由，可知在(0,+∞)内单调递减，
又，且，
故在(0,+∞)内有唯一解，
从而在(0,+∞)内有唯一解，不妨设为，
则，当时，，
所以在内单调递增；
当时，，
所以在内单调递减，
因此是的唯一极值点.
令，则当时，，故在内单调递减，
从而当时，，所以，
从而，
又因为，所以在内有唯一零点，
又在内有唯一零点1，从而，在(0,+∞)内恰有两个零点.
（ii）由题意，，即，
从而，即，
因为当时，，又，故，
两边取对数，得，
于是，整理得，
【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.
0
1
2