北京市朝阳区六校联考2024-2025学年高三上学期9月 数学试题（含解析）

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第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用交集的概念计算即可.
【详解】根据交集的概念可知。
故选：C
2．下列函数在区间上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据基本函数的单调性即可判断.
【详解】对于A，在上单调递减，故A错误；
对于B，在上单调递减，故B错误；
对于C，在上单调递增，故C正确；
对于D，在上单调递减，故D错误.
故选：C.
3．在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对称可得，进而根据三角函数的定义即可求解.
【详解】角与角终边关于原点对称，且若角的终边与单位圆⊙交于点，所以角的终边与单位圆⊙交于点，
故，
故选：B
4．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对数运算求得正确答案.
【详解】依题意，，所以.
故选：D
5．已知且，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．D．8
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】且，则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，的最小值为8.
故选：D
6．已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的定义域及单调性计算即可.
【详解】由题意可知，解不等式得.
故选：D
7.若，则“”成立是“”成立的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】D
【分析】先对“”进行化简，再根据充分条件和必要条件定义判断即可.
【详解】设函数，可得恒成立，
所以在上为增函数，由，所以，可得.
又“”无法推得“”， “”也无法推得“”，
所以“”成立是“”成立的既不充分也不必要条件.
故选：D.
8．已知函数的一个零点是，且在上单调，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的零点和单调区间求解即可.
【详解】，
函数的一个零点是，故，,
所以，
在上单调，则，
故，解得，
且，故，
结合
故
故选：B
9．成书于约两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》中记载了通过加减消元求解元一次方程组的算法，直到拥有超强算力计算机的今天，这仍然是一种效率极高的算法.按照这种算法，求解元一次方程组大约需要对实系数进行（为给定常数）次计算.1949年，经济学家莱昂提夫为研究“投入产出模型”（该工作后来获得1973年诺贝尔经济学奖），利用当时的计算机求解一个42元一次方程组，花了约56机时.事实上，他的原始模型包含500个未知数，受限于机器算力而不得不进行化简以减少未知数.如果不进行化简，根据未知数个数估计所需机时，结果最接近于（ ）
A．机时B．机时C．机时D．机时
【答案】C
【分析】设1机时能进行a次计算，由题意得,设所需机时为t，得出,两式相比,可得,化间计算可得答案.
【详解】设1机时能进行a次计算，则由题意得，
原始模型包含500个未知数，如果不进行化简，设所需机时为t，
则,故 ,
故结果最接近于机时,
故选:C
10．已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，将问题转化为有且只有一个负整数解，分别构造与，做出函数图像，结合图像可得，即可求解.
【详解】

已知函数，
则有且只有一个负整数解，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值为，
且时，，时，，
设，则恒过点，
在同一坐标系中分别做出与图像，如图所示，
显然，由题意可得，解得，
所以，即的取值范围是.
故选：A
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知，则 ．
【答案】
12．已知函数的部分图象如图所示.
①函数的最小正周期为 ；
②将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为偶函数，则的最小值是 .
【答案】 ； .
【分析】由函数图象结合五点法，求函数解析式得最小正周期，利用图象平移得函数的解析式，由函数为偶函数，求的最小值.
【详解】①由函数的部分图象可得函数的图象经过点，
故有，结合图象由五点法可得，.
再把点代入，可得，即.
结合图象由五点法可得，∴，
故函数的最小正周期为；
②将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，
若函数为偶函数，则，即，.
则正数的最小值是，此时，.
故答案为：；.
13. 在中，若边上的高为，则 的一个取值为_________.
【答案】答案不唯一，填写内的任意值都可以.
由三角形面积公式得，
即，
由余弦定理得，故，
，其中，
当且仅当，即时，等号成立，
又，当且仅当时，等号成立，
此时，
得
即时，取得最小值4
故.
14．如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当 时，矩形花坛的面积最小．
【答案】4
【分析】设，由，列比例式可求得，从而可表示出的面积，化简后利用基本不等式可求得其最小值，从而可求得答案.
【详解】设，因为，
所以，所以，解得,
所以矩形的面积为
，
当且仅当，即时等号成立．
故当时，矩形花坛的面积最小．
故答案为：4
15.已知函数，给出下列四个结论.
①若函数有4个零点，则实数k的取值范围为
②关于x的方程有个不同的解
③对于实数，不等式恒成立
④当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①③④
【详解】当时，；
当 时，；
当，则， ；
当，则， ；
当，则， ；
当，则，；
依次类推，作出函数的图像：

对于①，函数有4个零点，即与有4个交点，
如图，直线的斜率应该在直线m， l之间，
又，，，故①正确；
对于②，当时，有3个交点，与不符合，故②错误；
对于③，对于实数，不等式恒成立，即恒成立，
由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故③正确；
对于④，当时， 由图象可知：所求图象为高为的三角形，
所以函数的图像与x轴围成的图形的面积为，故④正确；
故选：①③④
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题14分）
【详解】（1）解：由函数
， ………………………………………………2分
………………………………………………3分
所以的最小正周期为， ………………………………………………4分
令，可得，
所以的单调减区间为. ……………………………………6分
（2）解：由(1)知，函数的单调递增区间为，
因为，所以在上单调递增，在上单调递减，…7分
且，，，所以，.……………11分
（3）解：由函数，可得，
因为，
所以
……………………………………………………………13分
.………………………………………………………………………14分
17．（本小题13分）
【详解】（1）由图可得，即，解得.……………………2分
函数过点，
所以，则，……………………………………4分
解得，…………………………………………………………………5分
又，则，
所以；…………………………………………………………………6分
（2）因为，所以，……………………………………7分
则，………………………………………………………………………8分
令，
设，函数图象开口向上，恒过定点.
由题意，恒成立，由二次函数的图象性质可知，
只需，………………………………………………………11分
解得，故的取值范围为.…………………………………………13分
18．（本小题14分）
【答案】选②③；面积为．
【分析】选①②，由已知得，求出现两解，选①③，三角形不可解（边长求不出）．
选②③，由余弦定理求得，求出，再由已知求出，根据正弦定理求得，然后利用余弦定理解方程求得，解唯一，再由三角形面积公式得面积．
【详解】解：
若选①②，由已知得，，则，三角形有两解，不合题意，
若选①③，由已知得，，，，，则角也唯一确定，但三角形的边长不可求，三角形不唯一．不合题意，
只能选②③．………………………………………………………………………………2分
在中，由余弦定理，得，
因为（*），所以，……………………………………4分
又，故．…………………………………………………………………6分
因为，，
，所以．…………………………………………………………8分
在中，由正弦定理，得．…………………………10分
又，代入（*）得，，解得（负舍），于是存在且唯一．
……………………………………………………………………………………………12分
所以．…………………………………………14分
【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理、同角间的三角函数关系，三角形面积公式，在用正弦值求角时可能会出现两解的情形，要注意判断．本题是一种开放性探索性命题．考查学生的分析问题解决问题的能力．
19.（本小题15分）
【详解】
（1）
所以；…………………………………………………………………………………2分
（2）∴∴……………3分
令，则，………………………………4分
∴在上单调递减，…………………………………………………………5分
∴，∴，…………………………………………………………6分
故在上单调递增，……………………………………………………………7分
∴，…………………………………………………………………8分
∴，即.………………………………………………………………………9分
（3）由题可知，故切点为，∵，∴
所以切线方程为：，……………………………………………………………11分
交轴于，交轴于，
设切线交函数于点，因为，故，
又，故B的位置只能在C的上方.
如图，则ΔABO的面积为
，……………………………………………13分
或（舍），故，……………………………………………14分
所以函数过点，
∴
∴．……………………………………………………………………………………15分
20.（本小题14分）
【详解】
（1）解：函数．．……………………………………………1分
所以：时，，
时，，…………………………………………………………2分
所以：在上单调递增，在上单调递减，………………………………3分
当时，在递增，所以最小值为，
当时，在递增，在递减，……………………………………4分
所以：，
所以：时，最小值为，………………………………………5分
时，最小值为，……………………………………………………6分
综上所述，时，最小值为，
时，最小值为，
（2）解：由不等式得：，
当时，得到：或， …………………………7分
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以最大值为：，且当时，，………………………8分
所以：的解集为：，无整数解．…………………………………………9分
若关于的不等式只有三个整数解，
所以有且仅有三个整数解，
所以，
此时整数解为2，3，4．…………………………………………………………………11分
所以：，所以：，……………………………………12分
当时，得，
此时关于的不等式有无数个整数解，不满足题意，舍去，……13分
当时，，得到：或，
所以，有无数个整数解，舍去．………………………………………………14分
综上所述，实数的取值范围为：．
21．（本小题15分）
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据定义直接进行计算即可
（2）根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明
（3）首先证明：1∈A，然后根据条件分别判断A中元素情况即可得到结论．
【详解】（1）若集合A={0，1，2}，则S（A）=T（A）={0，1，2，3，4}．分
（2）令．不妨设．
充分性：设是公差为的等差数列．
则 分
且．所以共有2n-1个不同的值．即d（S（A））=2n-1．分
必要性：若d（S（A））=2n-1．
因为．
所以S（A）中有2n-1个不同的元素：
任意（1≤i，j≤n） 的值都与上述某一项相等．分
又，且．
所以，所以是等差数列，且公差不为0． 分
（3）首先证明：1∈A．假设1∉A，A中的元素均大于1，从而1∉S（A），
因此1∉T（A），1∉S（T（A）），故1∉T（T（A）），与{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A））矛盾，因此1∈A．分
设A的元素个数为n，S（A）的元素个数至多为C+n，从而T（A）的元素个数至多为C+n+n=．
若n=2，则T（A）元素个数至多为5，从而T（T（A））的元素个数至多为=20，
而T（T（A））中元素至少为26，因此n≥3．分
假设A有三个元素，设，且，
则1，2，，，
从而1，2，3，4∈T（T（A））．若，T（T（A））中比4大的最小数为，则5∉T（T（A）），与题意矛盾，故≤5．
集合T（T（A））．中最大数为，由于26∈T（T（A）），故≥26，从而≥7，..3分
（i）若A={1，a2，7}，且≤5．此时1，2，，+1，7，8，2，7+，14∈T（A），则有8+14=22，2×14=28∈T（T（A）），在22与28之间可能的数为14+2，21+．
此时23，24，25，26不能全在T（T（A））．中，不满足题意．分
（ii）若A={1，，8}，且≤5．此时1，2，，+1，8，9，2，8+，16∈T（A），则有16+9=25∈T（T（A）），
若26∈T（T（A）），则16+2=26或16+（8+）=26，
解得=5或=2．分
当A={1，2，8}时，15，21，23∉T（T（A））．不满足题意．
当A={1，2，8}时，
T（T（A））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，满足题意．
故元素个数最少的集合A为{1，5，8}分