北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月统练1 数学试题（含解析）

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1. 已知集合，，则（ ）．
A. B.
C. D.
2. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是
A. B.
C. D.
3. 已知，，，则（ ）．
A. B. C. D.
4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）
A. 向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B. 向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
C. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D. 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
5. 设且,则“”是“”成立的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知，，且，那么实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 设函数，则不等式的解集是（ ）
A B. C. D.
8. 若函数的图像如图所示，则实数的值可能为
A. B. C. D.
9. 德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为（ ）（参考数据：）
A. 2小时B. 0.8小时C. 0.5小时D. 0.2小时
10. 已知函数当时，方程根的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（每题5分，共25分）
11. 计算__________．
12. 已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是__________．
13. 若不等式的解集是，则不等式的解集为__________．
14. 已知t为常数，函数在区间[0，3]上最大值为2，则_____________
15. 已知函数，（），（），给出下列四个命题，其中真命题有________．（写出所有真命题的序号）
①存在实数k，使得方程恰有一个根；
②存实数k，使得方程恰有三个根；
③任意实数a，存在不相等的实数，使得；
④任意实数a，存在不相等的实数，使得．
三、解答题（共35分）
16. 已知二次函数常数，且 满足条件：，
且方程有等根.
（1）求的解析式；
（2）是否存在实数、，使定义域和值域分别为［m，n］和［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.
17. 已知函数．
（1）若在上单调递增，求a的最大值；
（2）若，是否存在，，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？说明理由．（参考数据：，）
18. 已知：集合，其中
．，称为的第个坐标分量．若，且满足如下两条性质：
①中元素个数不少于个．
②，，，存在，使得，，的第个坐标分量都是．则称为的一个好子集．
（）若为的一个好子集，且，，写出，．
（）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过．
（）若为的一个好子集且中恰好有个元素，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是．