2025届福建省高中毕业班高三上学期10月适应性练习卷（二）数学试题

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考生注意：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和练习卷的指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本练习卷上无效．
3．考试结束后，将练习卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．在中，点是边上一点，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．7
4．将函数图象向右平移后，再将所得图象上各点横坐标扩大为原来的4倍，得到的图象，若方程在π内有两不等实根，则( )
A．B．C．D．
5．已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为π，则其外接球表面积为( )
A．49πB．56πC．65πD．130π
6．设数列的前面和为，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．设曲线的方程为（，为系数），则（ ）
A．曲线一定经过第一象限B．当，曲线可能为抛物线
C．曲线一定经过第三象限D．当，曲线一定关于直线对称
8．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，记的导函数为，则下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．设是非空的实数集，若，则（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数值域为RD．函数无极值
10．已知一组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，现在丢失了其中一个数据，另外六个数据分别是7，9，10，7，15，7．将丢失数据的所有可能值从小到大排列成数列，记，则|（ ）
A．B．C．是等差数列D．是等比数列
11．若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则是3阶聚合点集
B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集
C．若，则不是阶聚合点集
D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡的相应位置．
12．正八面体中，以其顶点为顶点的三棱锥的个数为___________（用数字作答）．
13．将一装有适量水的圆柱容器斜靠在墙面，已知墙面与水平地面垂直，若圆柱轴线与水平地面所成角为60°，则液面所呈椭圆的离心率为___________．
14．已知函数，则曲线的对称中心为___________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在，角所对的边分别为，已知．
（1）证明：；
（2）是否存在内一点使得且？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
16．（15分）
如图，在圆锥中，高，底面圆的直径，是的中点，点在圆上，平面平面．
（1）证明：；
（2）若点是圆上动点，求平面与平面所成角余弦值的取值范围．
17．（15分）
已知函数．
（1）讨论函数的零点个数；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
18．（17分）
为庆祝祖国75周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动．盒中装有5个除颜色外均相同的小球，其中2个是红球，3个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出1球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回盒中．
（1）在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率；
（2）记为第个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列的通项公式；
（3）设事件为第个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使发生概率最大，求的值．
19．(17分)
贝塞尔曲线是由法国数学家Pierre Bézier发明的，它为计算机矢量图形学奠定了基础．贝塞尔曲线的有趣之处在于它的“皮筋效应”，即随着控制点有规律地移动，曲线会像皮筋一样伸缩，产生视觉上的冲击．
（1）在平面直角坐标系中，已知点在线段上．若，，，求动点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，已知，，，点在线段上，若动点在线段上，且满足，求动点的轨迹方程；
（3）如图，已知，若点分别在线段上，且，求动点的轨迹方程．