广东省2024届学业水平考试（春季高考）数学科模拟

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1．集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
1．【答案】B
【解析】因为，，所以．故选B．
2．石室中学高一年级有男生570名，若用分层随机抽样的方法从高一年级学生中抽取一个容量为110的样本其中女生53人，则高一年级学生总数为（ ）
A．950B．1000C．1050D．1100
【答案】D
【分析】根据分层抽样的抽样比的性质进行求解即可.
【详解】设高一年级学生总数为N,根据分层抽样，则.
故选：D.
3. 复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得，利用复数乘法运算求得正确答案.
【详解】依题意.
故选：D
4．已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】先求得，然后求得.
【详解】因为，所以.
故选：D
5．“sin A＝eq \f(1,2)”是“A＝30°”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
B [因为sin 30°＝eq \f(1,2)，所以“sin A＝eq \f(1,2)”是“A＝30°”的必要条件．又150°，390°等角的正弦值也是eq \f(1,2)，故“sin A＝eq \f(1,2)”不是“A＝30°”的充分条件．故“sin A＝eq \f(1,2)”是“A＝30°”的必要不充分条件．
6．过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C．D．
6．【答案】B
【解析】如图所示，截面正方形ABCD的面积为16，故边长，即底面半径，侧棱长为，则圆柱的侧面积是．故选B．
7. 若不等式的解集为，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，是方程的两个根，且，利用韦达定理运算求解.
【详解】由题意知，是方程的两个根，且，
则，解得，
所以.
故选：D.
8.设，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由指数、对数函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：，，所以，
，
所以.
故答案为：A.
9. 函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令指数为，求出，再代入计算可得；
【详解】解：令，解得，
所以当时，，
所以函数过定点.
故选：B
10. 在中，点D在边AB上，．记，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
解析：因点D在边AB上，，所以，即，
所以． 故选：B．
11.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( )
A．8 B．6eq \r(2) C．8eq \r(2) D．8eq \r(3)
C 解析：如图，连接AC1，BC1，AC．
因为AB⊥平面BB1C1C，
所以∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，
所以∠AC1B＝30°．又AB＝BC＝2，
所以在Rt△ABC1中，AC1＝eq \f(2,sin 30°)＝4．
在Rt△ACC1中，
CC1＝eq \r(AC\\al(2,1)－AC2)＝eq \r(42－(22＋22))＝2eq \r(2)，
所以V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq \r(2)＝8eq \r(2)．
12. 已知是奇函数，且当时，.若，则实数（ ）
A. -4B. -3C. -2D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数的定义及对数的运算即可求解.
【详解】解：因为是奇函数且，所以，
又当时，，
所以，解得，
故选：A.
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.
13.甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则2人都射中的概率为 ．
【答案】
【分析】利用独立事件乘法公式计算即可.
【详解】甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次，互不影响，互相独立，
故2人都射中的概率为
故答案为：
14．若正数满足，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式直接求解即可.
【详解】，，，（当且仅当时取等号），
的最小值为.
故答案为：.
15．对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式 ．
【答案】
【分析】将点的坐标代入函数解析式，求出的值，由此可得出所求函数的解析式.
【详解】由已知条件可得，可得，因为且，所以，.
因此，所求函数解析式为.
故答案为：.
16．若为第二象限角，且，则tan＝ ．
【答案】－
【分析】由平方关系求出，再由商数关系求得．
【详解】因为为第二象限角，且，所以，
所以．
故答案为：．
17．已知函数，若，则 .
【答案】
【分析】代入，求出，得到.
【详解】，故，
所以，
则.
故答案为：
18.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB＝AD＝2eq \r(3)，CC1＝eq \r(2)，则二面角C1—BD—C的大小为__________．
30° 解析：如图，连接AC交BD于点O，连接C1O．
因为C1D＝C1B，O为BD的中点，所以C1O⊥BD．
因为AC⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1BDC的平面角．
在Rt△C1CO中，C1C＝eq \r(2)，CO＝eq \f(1,2)AC＝eq \r(6)，
则C1O＝2eq \r(2)，所以sin∠C1OC＝eq \f(C1C,C1O)＝eq \f(1,2)．
由图可知，二面角C1­BD­C为锐二面角，
所以∠C1OC＝30°，即二面角C1­BD­C的大小为30°．
三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.
19.某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在）
（1）求居民月收入在的频率；
（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；
【详解】（1）月收入在的频率为．………………2分
（2）从左数第一组的频率为；
第二组的频率为；
第三组的频率为；………………4分
∴中位数位于第三组，设中位数为，则
∴ ………………7分
样本数据的中位数为2400（元）
由，
样本数据的平均数为2400（元）．………………10分
20.如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．
（1）求证：；
（2）若，求三棱锥的体积．
20．【解析】（1）∵三棱柱是直三棱柱，∴平面，
∵平面，∴，………………1分
∵在中，，，，
∴，∴，
∴．………………2分
，………………3分
∴平面，………………4分
∵平面，∴．………………5分
（2）∵是中点，∴………………7分
∵平面，，………………8分
∴．………………10分
21. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表：
（1）甲用户某月的用水量为，求甲用户该月需要缴纳的水费；
（2）乙用户某月缴纳的水费为54元，求乙用户该月的用水量．
解：（1）甲用户该月需要缴纳的水费：元.………………3分
（2）设用水量为，需要缴纳的水费为，
由题可知，………………5分
整理得，………………6分
当时，，………………7分
当时，，………………8分
当时，，………………9分
所以令，
解得，因此乙用户该月的用水量为.………………10分
22. 如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.
（1）求、两地之间的距离；
（2）求.
解：（1）由余弦定理可得：
…………4分
所以，.………………6分
（2）由余弦定理可得，………………8分
所以，，则为锐角，故，………………10分
因此，.………………12分
19．在△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求B的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用余弦定理结合已知条件可求出角B的值；
（2）由已知求出的值，再利用诱导公式和两角和的正弦公式可求得结果
【详解】（1）在中，由余弦定理可知，因为，所以，又，得，
（2）因为，所以，
在中，，
则
9. 在中，，点P是的中点，则（ ）
A. B. 4C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算计算可得；
【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则，，，
所以，，所以
故选：C
下列命题为真命题的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．【答案】B
【解析】对于A，若，则，当时不成立，故A错误；对于B，若，所以，则，故B正确；对于C，若，则，取，计算知不成立，故C错误；对于D，若，则，取，计算知不成立，故D错误．
故选B．
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元
超过的部分但不超过的部分
6元
超过的部分
9元