广东省八校2024-2025学年高三上学期9月联合检测 数学试卷（含解析）

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1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 样本数据45，50，51，53，53，57，60的下四分位数为（ ）
A. 50B. 53C. 57D. 45
2. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
3. 已知向量，，若与平行，则实数值为（ ）
A. B. C. 6D.
4. 已知函数为偶函数，则（ ）
A. －2B. －1C. 0D. 2
5. 已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A. B. 0C. 1D.
6. 已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于四点，则下列各式结果为定值是
A. B.
C. D.
8. 已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，且的虚部为3，则（ ）
A.
B.
C. 为纯虚数
D. 在复平面内对应的点在第二象限
10. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则（ ）
A. B. 当n为奇数时，
C. 数列为等比数列D. 数列的前项和小于
11. 已知双曲线的左､右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于、两点，下列命题正确的有（ ）
A. 当点为线段中点时，直线的斜率为
B. 若，则
C.
D. 若直线的斜率为，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的常数项是10，则____________.
13. 中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体，对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为__________.
14. 随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的周长.
16. 已知函数，.
（1）当时，研究的单调性；
（2）若，当时，函数有极大值m；当时，有极小值n，求的取值范围.
17. 如图，四棱锥中，底面，底面为菱形，，，分别为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
18. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，点为坐标原点，线段的中点恰好为，点到直线的距离为．
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过作的垂线交椭圆于两点．记与面积分别为，求的值．
19. 某制药公司研制了一款针对某种病毒新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立
（1）若，求数学期望；
（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关.团队A提出函数模型为，团队B提出函数模型为.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示.

（i）试写出事件“”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）；
（ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：.